2025版高考数学一轮总复习第6章数列第4讲数列求和课件

第四讲数列求和知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一公式法求和1.如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.3.等比数列的前n项和公式：注意等比数列公比q的取值情况，要分q＝1，q≠1.知识点二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和.知识点三倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.知识点四错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.知识点五裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.知识点六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和.如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解.形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解.归

纳

拓

展1.常见的裂项公式双

基

自

测题组一走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.()√√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()×√√(2)因为sin21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝sin244°＋sin246°＝2sin245°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.题组二走进教材A.2023 B．2024C.2025 D．2026C∴n＝2025.故选C.DB①－②得，解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确.an＝2(n＋1)[解析]

由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1).题组三走向高考[解析]

本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.考点突破·互动探究分组求和法——师生共研B(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.[解析]

(1)因为bn＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)当n为奇数时，an＝an＋1－1.设数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，故S20＝2×155－10＝300，即{an}的前20项和为300.名师点拨：分组转化法求和的常见类型1.若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.【变式训练】1.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－n)，前n项和为Sn，则满足S2n＋1≤－2023的最小正整数n的值为()A.28 B．30C．31 D．32DA.1121 B．1122C．1123 D．1124C裂项相消法——多维探究

求和：CD名师点拨：裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变.在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解的目的.1.直接考查裂项相消法求和.解决此类问题应注意以下两点：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；2.与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.【变式训练】AA.5 B．4C．10 D．9AA故选A.错位相减法——师生共研(2023·全国甲，理，17)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；[解析]

(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，(题眼)即(n－1)an－1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出Tn.用错位相减法求和应注意的问题1.如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.3.“Sn－qSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n－1项，一般是n－1项.4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解.【变式训练】(2020·课标全国Ⅰ，理)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.[解析]

(1)设{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，又a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(