2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合课件

计数原理、概率、随机变量及其分布考

情

探

究考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅱ，12条件概率与全概率公式、相互独立事件相互独立事件的概率逻辑思维应用性数学运算逻辑推理2023新课标Ⅰ，21离散型随机变量及其分布列、均值与方差求均值逻辑思维应用性数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，5古典概型求概率运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅰ，20；2022新高考Ⅱ，19；2021新高考Ⅰ，8条件概率与全概率公式、相互独立事件独立性检验、条件概率、判断事件的独立性运算求解逻辑思维应用性数学运算数学建模考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，13正态分布求概率运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅰ，18离散型随机变量及其分布列、均值与方差离散型随机变量的分布列及期望数学建模应用性数学运算数学建模【命题规律与备考策略】本章内容在选择题、填空题中主要考查排列、组合、二项式定理、古典概型、正态分布等，解答题中常利用排列、组合考查离散型随机变量的分布列、期望、方差、超几何分布、二项分布和正态分布等问题，注意加强阅读理解与信息处理能力．结合本章内容特点，备考时需重视知识理论的应用思维过程，如概率模型的理解与应用，而关于随机变量的分布列、均值、方差问题则需理解解题思路与思维方向，对有关函数、不等式、数列的概率综合题应加强关注．第一讲两个计数原理、排列、组合知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．m1＋m2＋…＋mn2．分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．

m1×m2×…×mn不同顺序所有不同排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)

n！1不同作为一组所有不同组合1归

纳

拓

展1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．√××√×√题组二走进教材2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是__________.3123．(选择性必修3P27T17改编)在如图所示的五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(

)A．24 B．48C．72 D．96C[解析]

∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)，故选C．区域ABECD涂法432(与A同色)12与A不同色11题组三走向高考4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(

)A．12种

B．24种

C．36种

D．48种B5．(2023·高考全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(

)A．120 B．60C．40 D．30B考点突破·互动探究两个计数原理——自主练透1.若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则我们称M是一个“叔同数”，例如“125,710”都是“叔同数”．那么所有“叔同数”中的偶数的个数共有(

)A．17个

B．19个C．20个

D．29个C[解析]

三位数各位数的和为8的可能的组合有017,026,035,044,008,116,125,134,224,233，由008、116、233各能排出1个偶数的“叔同数”；由017、035、125、134、044各能排出2个偶数的“叔同数”；由224能排出3个偶数的“叔同数”；由026能排出4个偶数的“叔同数”．所以它们排出的“叔同数”的偶数个数共有20个，故选C．2.(2024·河北邢台质检联盟联考)某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成．若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有__________条．1203．(涂色问题)将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有(

)A．48种

B．72种C．96种

D．108种B[解析]

依次涂染各顶点，不用的涂法如下表：故不同的染色方法有4×3×2×(2＋1)＝72(种)．选B．顶点PABDC涂法432与B同色12

与B不同色11[引申1]若本例2中迷宫隧道猫爬架改为如图，则小猫从A点爬到C点的最短路径有________条．84[引申2]若给本例3中四棱锥各面染上一种颜色，且相邻面(有公共棱的面)不同色，则不同的染色方法有________种．72[解析]

依次涂色，底面ABCD的染色有4种选择，侧面PAB的染色有3种选择，侧面PBC的染色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所染颜色相同，则侧面PAD的染色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所染颜色不同，则侧面PCD的染色有1种选择，侧面PAD的染色有1种选择．综上，不同的染色种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.[引申3]本例3中若将“每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”改为“每条棱染上一种颜色且相交棱不同色”，则不同染色方法有________种．棱ABBCCDDA染色34124123知共有24×2＝48种染法．48名师点拨：两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每一步依次完成才算完成这件事情(每一步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可利用两个计数原理解题时的注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)对于复杂问题，一般是先分类再分步．【变式训练】1．(2023·广东江门调研改编)直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,4这五个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是________.12

2．(多选题)(2024·辽宁实验中学适应性考试)如图，小明、小红分别从街道的E、F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则()A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35C．若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32D．若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18ABD排列问题——师生共研1.3名男生4名女生站成一排，在下列条件下的不同排法分别为：(1)选其中5人排成一排；______________(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；______________(3)全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；______________(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__________2520

50401320

576

(5)全体排成一排，男生互不相邻；______________(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__________(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；______________(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．______________1440720252037202．(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为(

)A．240 B．480C．1440 D．2880B[引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__________种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__________种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有__________种；(4)3名男生相邻，4名女生相邻的站法有__________种；(5)4名女生不全相邻的站法有______________种．720

960960

2884464名师点拨：求解排列应用问题的常用方法【变式训练】1．(2024·九省联考试题)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(

)A．20种

B．16种C．12种

D．8种B2．(2024·四川绵阳突击班诊断)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有(

)A．288种

B．336种C．384种

D．672种D组合问题——师生共研ABC2．(2024·云南昆明一中双基检测)从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有________种(用数字作答)．12

名师点拨：组合问题常有以下两类题型变化：1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【变式训练】1．(2024·山西三重教育联盟联考)从3位女生，4位男生中选3人参加垃圾分类宣传活动，且至少有1位男生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写)．342．(2023·高考新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．64排列、组合的综合应用——多维探究角度1数字问题

在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为(

)A．512

B．192

C．240

D．108D[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为__________；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为__________个，其中比2310大的四位偶数的个数为__________个．(3)本例组成的四位数中1和3相邻的个数为________.252

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10960角度2分组、分配问题

如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有(

)A．450种

B．360种C．90种

D．70种A(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．【变式训练】1．(角度1)(2024·湖北荆州中学月考)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为(

)A．120种

B．108种C．96种

D．72种B2．(角度2)(2024·重庆渝中区期中)为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有(

)A．60种

B．150种C．180种

D．300种B名师讲坛·素养提升1.(多选题)(原创)下列说法正确的是(

)A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有35种CD[解析]

4封信投入3个信箱有34＝81种不同投法，故A不正确；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性，故C正确；8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定份数)将8个小球摆放一列，形成