2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数课件

第五讲指数与指数函数知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一指数与指数运算1．根式(1)根式的概念xn＝a正数负数两个相反数aa－aa3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝_______(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr知识点二指数函数的图象与性质指数函数的概念、图象和性质定义函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数×××√××题组二走进教材2．(必修1P109T1改编)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(

)BDA6．(2023·天津，3,5分)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(

)A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c[解析]

∵f(x)＝1.01x单调递增，∴f(0.5)<f(0.6)，即a<b.∵g(x)＝x0.5单调递增，∴g(1.01)>g(0.6)，即a>c，∴b>a>c，故选D.D考点突破·互动探究指数与指数运算——自主练透－452．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝____，(2α)β＝______.名师点拨：指数幂运算的一般原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图象与性质考向1指数函数的图象及应用——师生共研1.已知函数y＝ax－b(a>0，a≠1)的图象如图所示，则以下结论不正确的是(

)A．ab>1

B．ln(a＋b)>0C．2b－a<1 D．ba>1D[解析]

根据函数y＝ax－b(a>0，a≠1)的图象知，函数y＝ax－b是单调增函数，所以a>1，又x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0<b<1.所以y＝ax是单调增函数，ab>a0＝1，选项A正确；由a＋b>1，得ln(a＋b)>0，选项B正确；由b－a<0，得2b－a<20＝1，选项C正确；y＝bx是单调减函数，ba<b0＝1，选项D错误．故选D.2．(多选题)已知实数a，b满足等式2024a＝2025b，下列等式可以成立的是(

)A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a[解析]

如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.ABD3．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(

)A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2[解析]

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，D∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点_________.(2)若将本例3改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是_________.(3)若将本例3改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是_________.(1,4)(0,1)(－∞，0][解析]

(1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)．(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．【变式训练】1．(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(

)[解析]

由图象可知，b<－1,0<a<1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合．ACD3．若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则m的取值范围为________.[解析]

作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.(0，＋∞)考向2指数函数的性质及其应用——多维探究

角度1比较指数幂的大小(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(

)A．a>b>c

B．a>c>bC．b>c>a

D．c>b>aD2．(2022·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为___________.[1，＋∞)[－2，＋∞)0名师点拨：1．解指数方程的方法(1)同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．(2)化为ax＝b，利用对数定义求解x＝logab.(3)把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．2．解指数不等式的方法同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式，需对a进行讨论．3．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【变式训练】1．(角度1)下列各式比较大小不正确的是(

)A．1.72.5<1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1<1.250.2 D．1.70.3<0.93.1[解析]

对于A、B显然正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D不正确，故选D.DAC－3名师讲坛·素养提升指数函数中的分类与整合思想名师点拨：分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，