3.7 整式的除法 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练

专题3.25整式的除法（知识讲解）【学习目标】1.会用同底数幂的除法性质进行计算．2.会进行单项式除以单项式的计算．3.会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.特别说明：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即特别说明：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、整式的除法➽➼科学记数法1．（2019秋·辽宁锦州·七年级统考期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（

）A．1.5×吨 B．1.5×吨 C．15×吨 D．1.5×吨【答案】A【分析】解答时，分两步走，把150写成1.5×吨；把1万亿写成，根据题意，列式计算即可．解：∵150＝1.5×吨；1万亿＝，∴它体重的万亿分之一为＝＝1.5×（吨），故选A．【点拨】本题考查了科学记数法的综合计算，同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法和同底数幂的除法法则是解题的关键．举一反三：【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．用含m，n的代数式表示Q；若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．（2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可．（1）解：由题意得，；（2）解：将代入，得：；（3）解：．【点拨】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写．类型二、整式的除法➽➼单项式除以单项式➽➼化简求值2．（2021春·八年级课时练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）将看做一个整体，利用单项式除以单项式的运算法则计算，再计算乘方即可．解：（1）；（2）．【点拨】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】（2021春·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据单项式除以单项式法则计算即可；（2）（3）根据单项式除以单项式法则计算即可；（4）把数字和幂分别相除，再将结果相乘．解：（1）原式==；（2）原式=；（3）原式==；（4）原式==．【点拨】本题考查单项式除以单项式法则，单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．【变式2】（2022春·福建福州·八年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】先算积的乘方，再算单项式÷单项式即可．解：原式．【点拨】本题考查单项式的除法．熟练掌握单项式除法的运算法则：把被除式与除式的系数和相同字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，是解题的关键．类型三、整式的除法➽➼多项式除以单项式➽➼化简求值3．（2021春·八年级课时练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．解：（1）（2）．【点拨】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·八年级课时练习）先化简，在求值，其中，．【答案】，．【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式、多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入，求解即可．解：，当，时原式．【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是能正确根据整式的运算法则进行化简，注意运算顺序．【变式2】（2021春·八年级课时练习）计算：（1）；

（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）先计算括号内的，逆用乘法分配律进行计算，根据整式的除法法则进行计算即可；（2）先根据乘法公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式的法则进行计算即可；（3）先计算括号内的，再计算除法，最后计算减法；解：（1）

；（2）；（3）．【点拨】本题考查了整式的混合运算，去括号，掌握整式的混合运算，正确的计算是解题的关键．类型四、整式的除法➽➼整式的混合运算✭✭化简求值4．（2022春·八年级课时练习）计算（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1)(2)(3)(4)－17－21m【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（3）原式利用单项式乘以多项式，以及整式的除法法则计算，即可得到结果；（3）原式先利用完全平方公式及平方差公式计算，再去括号及合并同类项即可得到结果；（4）原式先利用平方差公式及多项式乘多项式法则进行计算，再去括号及合并同类项即可得到结果．（1）解：＝＝（2）（3）＝（4）（1－2m）（2m＋1）－（3＋4m）（6－m）．＝＝＝－17－21m【点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·八年级课时练习）计算：；（用乘法公式简算）【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）先用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把结果合并同类项即可；（2）先把第二项变成平方差公式的形式，再根据平方差公式展开后去括号、合并同类项即可得解；（3）先把整个式子变成平方差公式的形式求解，再把第二项利用完全平方公式展开后再去括号即可得解．解：（1）

（2）

（3）

【点拨】本题考查整式的运算，熟练掌握多项式的乘法法则及多项式乘法公式的应用是解题关键．【变式2】（2022春·八年级课时练习）（1）先化简，再求值．，其中，．（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1），2.5；（2）；1．【分析】（1）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可；（2）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可．解：（1）原式＝，当，时，原式；（2）原式，当时，原式＝1．【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．中考真题专练【1】（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：原式．，，原式【点拨】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【2】（2022·江苏常州·统考中考真题）计算：；．【答案】(1)(2)2x+2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．解：（1）＝2﹣1+＝；（2）＝＝2x+2．【点拨】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数