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第七章微分方程7.1微分方程的基本概念7.2可分离变量的微分方程目录二、可分离变量的微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念例1.

一曲线通过点,且在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为，由题意得①(为任意常数)由②得,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为,求该曲线的方程.

一、微分方程的基本概念微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.一、微分方程的基本概念分类1:

常微分方程:未知函数为一元函数偏微分方程:未知函数为二元及以上函数分类2:一阶微分方程:阶为一高阶微分方程:阶为二及以上微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一、微分方程的基本概念一般地,n

阶常微分方程的形式是形如的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为n阶非线性微分方程.例如，是三阶线性微分方程．是一阶非线性微分方程．是二阶非线性微分方程.分类3:

线性与非线性微分方程.一、微分方程的基本概念微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.例如，一、微分方程的基本概念(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:

用来确定任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):引例

通解:特解:或二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程转化解可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且设y＝

(x)是方程①的解,

两边积分,得

①则有恒等式

②设函数G(y)和F(x)依次为和f(x)的原函数,

则有这说明方程①的解满足等式②二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解法总结如下：分离变量：两边积分：①②二、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量，得两边积分，得即(C

为任意常数)说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)或二、可分离变量的微分方程例2.求微分方程解:分离变量，得两边积分，得即由初值条件得C=1,(C

为任意常数)

故所求特解为满足初值条件的特解.二、可分离变量的微分方程例3：求微分方程满足初值条件的特解．两边积分故方程的通解为代入初值条件，得故所求特解为即解：分离变量，得，得

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