《新编高等数学》课件6高等数学-第六章 定积分及其应用

1定积分的概念及性质2微积分基本公式3定积分的计算4广义积分5定积分的应用第一节定积分的概念及性质3一、定积分问题举例曲边梯形的面积：设函数y=f(x)

在区间[a,b]

上连续，且f(x)≥0，则称由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的平面图形为曲边梯形。其中曲线弧称为曲边，x轴上对应区间[a,b]的线段称为底边。y=f(x)Oyab

x在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)

在区间[a,b]上是变动的，因此它的面积不能直接计算。但是，由于曲边梯形的高f(x)

在区间[a,b]上是连续变化的，所以在一个很小的区间上它的变化很小，近似于不变。4一、定积分问题举例所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯形）。Oyabxy=f(x)

把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值，所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。

5一、定积分问题举例abx

y=f(x)yO

分割越细，误差越小。

当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。确定曲边梯形面积的具体步骤如下：（1）分割用分点把区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度记为。设S为曲边梯形的面积，为第i个小曲边梯形的面积，则6一、定积分问题举例（2）取近似（3）求和把n个小矩形面积相加（即阶梯形面积）就得到曲边梯形面积S的近似值在每个小区间上任取一点，以为底，为高作矩形，其面积为，则得小曲边梯形的面积的近似值为7一、定积分问题举例（4）取极限取小区间长度的最大值，当分点数n无限增大，即

趋于零时，近似的误差趋向于零，则和式的极限就是曲边梯形面积S的精确值，即8二、定积分的定义从上述具体问题可以看出，通过“分割、取近似、求和、取极限”的方法可以把曲边梯形的面积转化为和式的极限。这就是定积分概念的实际背景，单从数学结构上来考虑问题，就可以抽象出定积分的定义。定义

设函数f(x)

在区间[a,b]上有定义，在区间[a,b]上任意插入n–1个分点，将区间[a,b]分成n个小区间，，……，记每个小区间的长度为（）。在每个小区间上任取一点（），作乘积的和式：9二、定积分的定义记，如果时，和S总是趋向于确定的极限，且这个极限值与[a,b]的分割及点的取法均无关，则称函数f(x)

在区间[a,b]上可积，此极限值称为函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分，记作，即其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限。10二、定积分的定义定积分的定义：积分号被积函数被积表达式积分变量积分和式积分下限积分上限（黎曼和）11二、定积分的定义（1）定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间[a,b]有关，而与积分变量采用什么字母无关，即定积分定义的说明：（2）定义中要求积分限a<

b，我们补充如下规定：当a=

b时，；当a>

b时，。（3）定积分的存在性（两个充分条件）定理

设f(x)

在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定义

设f(x)

在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。12三、定积分的几何意义Oyabxy=f(x)由定积分的定义可以知道，图中曲边梯形的面积为：可见，当f(x)≥0时，由曲线y=f(x)，直线

x=a，x=b及x

轴所围成的曲边梯形的面积A

等于函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分。即13三、定积分的几何意义如果

f(x)<0，则由曲线y=f(x)，直线

x=a，x=b及x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，此时曲边梯形面积A

的负值等于函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分，Oyabxy=f(x)即14三、定积分的几何意义如果f(x)

在区间[a,b]上的值有正有负，则f(x)

在区间[a,b]上定积分表示由曲线y=f(x)，直线

x=a，x=b及x

轴所围成的平面图形的面积的代数和，即位于

x

轴上方的面积减去位于x轴下方的面积，即x

yO

y=f(x)A2A1A315四、定积分的性质

性质1

函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即

性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即显然，这个性质可以推广到有限个函数。这两个性质是定积分的线性性质。16四、定积分的性质

性质3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a

<c<b，则

注：值得注意的是不论a，b，c的相对位置如何，上面的等式总成立。

如右图所示，a<c<b

时，等式同样成立。17四、定积分的性质例6-1已知

，求

性质4

如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则y1Oa

b

x解

因为所以18四、定积分的性质

性质5（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则yOa

b

xy

a

b

O

xyOa

b

x19四、定积分的性质

性质6（奇偶函数的定积分）如果f(x)

在区间[–a

,a]上连续且为奇函数，则如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为偶函数，则－aOaxy－aOaxy例6-220四、定积分的性质

性质7（积分估值定理）设M

与m

分别是f(x)

在区间[a,b]上的最大值与最小值，则即yMmOa

b

xy=f(x)21四、定积分的性质

性质8（积分中值定理）如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得这个公式称为积分中值公式。积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ

)的一个矩形的面积。由积分中值公式所可得Oaxbxyf

(x)y=f(x)这个公式称为函数f(x)

在区间[a,b]上的平均值。第二节微积分基本公式23一、积分上限的函数及其导数在上一节我们看到，如果直接根据定积分的定义计算定积分，一般来说是很复杂的，甚至是不可能的。因此有必要寻求一种计算定积分的简便而有效的方法。设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，x

为区间[a,b]上的一点。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍连续，因此定积分存在。这个定积分的写法有一个不方便之处，就是

x

既表示积分上限，又表示积分变量。24一、积分上限的函数及其导数为避免混淆，我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成了

如果上限x

在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x

值，定积分就有一个对应的值，因此是积分上限

x

的一个函数，记作通常称之为积分上限的函数或变上限定积分。25一、积分上限的函数及其导数

定理（原函数存在定理）若函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，且其导数

定理若函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则函数就是它一个原函数。

该定理既肯定了连续函数的原函数一定存在，又揭示了定积分与原函数的关系。26一、积分上限的函数及其导数例6-3求下列函数的导数：（1）；（2）解（1）（2）27一、积分上限的函数及其导数例6-4求解这是一个型的未定式，可利用洛必达法则来计算，分子的导数为：因此28二、微积分基本公式

定理如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而F(x)

是f(x)

的一个原函数，则有上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。该公式常采用如下的格式：或29二、微积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式是积分学中的一个基本公式，在被积函数连续的条件下，它把定积分的计算转化为求原函数的计算，这就为定积分提供了一个有效而简便的计算方法：

先求出被积函数f(x)

的任意一个原函数F(x)，然后将积分上限b、积分下限a

分别代入原函数F(x)

中，再求F(b)与F(a)之差F(b)–

F(a)，所得的结果就是定积分的值。它揭示了定积分与不定积分的内在联系。30二、微积分基本公式例6-5计算定积分解例6-6计算定积分解例6-7计算定积分解31二、微积分基本公式

如果被积函数是分段函数，在计算时就要注意在积分区间上保证函数表达式的唯一性。例6-8计算解32二、微积分基本公式例6-9计算解33二、微积分基本公式例6-10已知，求解第三节定积分的计算35一、定积分的凑微分法

由牛顿-莱布尼茨公式可知，计算连续函数的定积分最终归结为求它的原函数。这说明连续函数的定积分计算与不定积分计算有着密切的联系。在不定积分的计算中有换元法和分部积分法，因此在一定条件下也可以在定积分的计算中应用。

若应用第一类换元积分法（即凑微分法）可以求出被积函数的原函数，即可直接凑微分求出原函数，然后应用牛顿-莱布尼茨公式求出结果。36一、定积分的凑微分法例6-11计算定积分解例6-12计算定积分解37二、定积分的换元积分法

定理设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而函数x=φ(t)满足下列条件：（1）x=φ(t)在[α,

β]（或[β,α]）上有连续导数；（2）φ(α)=a，φ(β)=b，且当t

在[α,

β]（或[β,α]）上变化时，x=φ(t)的值在[a,b]上单调变化，则有换元公式：定理中的条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积。应用公式计算时应注意，在做变量代换的同时必须相应地替换积分的上限和下限，即换元必须换限。38二、定积分的换元积分法例6-13计算解设，即，则dx=tdt；并且当x=0时t=1，x=4时t=3，于是39二、定积分的换元积分法例6-14计算解设，即，则dx=–2tdt；并且当x=0时t=1，

时

，于是40二、定积分的换元积分法例6-15计算解设，即，则

；并且当x=0时t=0，x=ln2时t=1，于是41三、定积分的分部积分法

定理设函数u(x)，v(x)

在区间[a,b]有连续导数，则有使用该公式时要注意，把先积出来的那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分。这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些。这就是定积分的分部积分公式。例6-16计算解42三、定积分的分部积分法例6-17计算解43三、定积分的分部积分法例6-18计算解44三、定积分的分部积分法例6-19计算解45三、定积分的分部积分法例6-20计算解46三、定积分的分部积分法例6-21计算解设，即，则

；并且当x=0时t=0，x=4时t=2，于是第四节广义积分48前面研究的定积分，其实都隐含了两个条件：积分区间有限，且被积函数有界。

但在实际应用中，还会遇到积分区间是无限区间，或者被积函数含有无穷间断点的情况。

在上述两种情形下对定积分的定义加以推广，得到广义积分的概念。49一、积分区间是无限区间的广义积分

定义设函数

f(x)

在[a,+∞)上连续，取b>a，我们把极限称为函数

f(x)

在无限区间[a,+∞)上的广义积分，记为若极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散。50一、积分区间是无限区间的广义积分类似的，设函数

f(x)

在(–∞,b]上连续，可定义

f(x)

在无限区间(–∞,b]上的广义积分为设函数

f(x)

在(–∞,+∞)上连续，可定义

f(x)

在无限区间(–∞,+∞)上的广义积分为其中c

为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的，否则是发散的。

51一、积分区间是无限区间的广义积分按照无穷区间的广义积分定义，应先求定积分，再求极限。因此，可以把微积分基本公式用到广义积分的计算中：

若

F(x)

是

f(x)的一个原函数，则有52一、积分区间是无限区间的广义积分例6-22计算广义积分解

y1O

xy=e–x

该广义积分值的几何意义是：当b→+∞时，虽然图中阴影部分是向右无限延伸的，但是其面积却是有限值1，即表示位于y轴右侧、曲线y=e–x

的下方、x轴上方的图形面积。53一、积分区间是无限区间的广义积分例6-23计算广义积分解例6-24讨论广义积分的敛散性。解由于不存在，所以此广义积分发散。54一、积分区间是无限区间的广义积分例6-25计算广义积分解55二、被积函数含有无限间断点的广义积分称为函数

f(x)

在(a,b]上的广义积分，记为若极限存在，则称此广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散。

定义设函数

f(x)

在(a,b]上连续，点a

为f(x)

的无穷间断点，即。取t>a，我们把极限56二、被积函数含有无限间断点的广义积分设函数

f(x)

在[a,b]上除c

点外连续，点c

为f(x)

的无穷间断点，即

。可定义函数

f(x)

在[a,b]上的广义积分为右端两个广义积分都收敛时，广义积分才收敛。

类似的，设函数

f(x)

在[a

,b)上连续，点b

为f(x)

的无穷间断点，即。取t

<b，可定义函数

f(x)

在[a,b)上的广义积分为57二、被积函数含有无限间断点的广义积分无界函数的广义积分也称为瑕积分。同样可以把微积分基本公式应用到无界函数的广义积分的计算中来。若

F(x)

是

f(x)在(a,b]上的一个原函数，则若

F(x)

是

f(x)在[a,b)上的一个原函数，则58二、被积函数含有无限间断点的广义积分例6-26计算广义积分解因为，所以点x=1是被积函数的无穷间断点。于是O11xy第五节定积分的应用60一、定积分应用的微元法

1.

用定积分计算的量的特点：（1）实际问题中的所求量（设为F）与一个给定区间[a,b]有关，且在该区间上具有可加性。即F

是确定于[a

,b]上的整体量，当把[a,b]分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即（2）所求量F

在区间[a,b]上的分布是不均匀的，也就是说，

F

的值与区间[a

,b]的长不成正比（否则的话，F使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）。61一、定积分应用的微元法用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量F

分为部分量之和，即：第三步：写出整体量F

的近似值：第二步：求出每个部分量的近似值：第四步：取时和式的极限，得：62一、定积分应用的微元法

2.

定积分应用的微元法（1）若所求量F

与变量x

的变化区间[a,b]有关，且关于区间[a

,b]具有可加性，在[a,b]上任取一个小区间[x

,x+dx]，然后找出在这个小区间上的部分量ΔF

的近似值，记为（2）将微元dF

在区间[a,b]上积分（无限累加），即得到所求量的积分表达式这种方法叫做微元法，dF=f(x)dx称为F

的微元。63二、定积分在几何中的应用在平面直角坐标系下，设图形由两条曲线y=f1(x)、y=f2(x)（其中f1(x)

和

f2(x)在区间[a,b]上连续且f1(x)≤f2(x)）及直线

x=a、x=b所围成，求它的面积

A。1.平面图形的面积根据定积分的微元法，取x

为积分变量，可得面积微元

于是

y

O

a

b

xy=f1(x)y=f2(x)64二、定积分在几何中的应用

y

d

c

O

xx=j2(y)x=j1(y)类似的，求由两条曲线x=j1(y)、x=j2(y)（其中j1(y)

和

j2(y)在区间[c,d]上连续且j1(y)≤j2(y)）及直线

y=c、y=d所围成的面积

A。于是根据定积分的微元法，取y

为积分变量，可得面积微元

65二、定积分在几何中的应用例6-27求由两条抛物线和所围成的图形面积。解首先画出图形简图，并求出曲线交点坐标以确定积分区间；然后选择适当的积分变量，代入公式计算。

y1O

1

x

y=x2

y2=x解方程组取x

为积分变量，x

的变化范围为[0,1]，则得交点(0,0)及(1,1)。66二、定积分在几何中的应用例6-28求由直线和抛物线所围成的图形面积。解先画出图形简图再解方程组取x

为积分变量，x

的变化范围为[–2,3]，则得交点坐标(–2,4)及(3,9)。y–2O3x67二、定积分在几何中的应用例6-29求由抛物线和直线所围成的图形面积。解解方程组取y

为积分变量，y

的变化范围为[–2,4]，则，得交点坐标(2,–2)及(8,4)。若取x

为积分变量，那么x

的变化范围是否为[2,8]？y=x

–4

y4–2O248xx=y+4y

2=2x画出简图68二、定积分在几何中的应用设在xOy面内，由连续曲线y=

f(x)与直线

x=a，x=b（a<b）及x

轴所围成的曲边梯形绕x

轴旋转一周而形成一个旋转体。现在考虑用定积分计算这个旋转体的体积V

。2.旋转体的体积根据定积分的微元法，取

x

为积分变量，它的变化区间为[a,b]，相应于该区间上的任一个小区间[x,x+dx]，与它所对应的小窄曲边梯形绕x

轴旋转形成的薄片的体积ΔA

近似等于以f(x)为底面半径、dx

为高的扁圆柱体的体积。

yO

ax

x+dx

bxy=

f(x)69二、定积分在几何中的应用于是类似的，在xOy

面内，由连续曲线x=

(y)与直线y=c，y=d

及y

轴所围成的曲边梯形绕y

轴旋转一周而形成一个旋转体的体积为即体积微元70二、定积分在几何中的应用解由公式例6-30

求由曲线与直线x=1，x=2及x

轴所围成的曲边梯形，求该曲边梯形绕x

轴旋转一周形成的旋转体的体积。可知，该旋转体的体积为71二