《应用数理统计》 课件 李建辉 CH4 回归分析、CH5 方差分析

应用数理统计第四章回归分析CH4回归分析目录contents2024/4/191一元线性回归2多元线性回归3非线性回归1前言2024/4/19十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究父亲身高与成年儿子的身高发现：子代的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了各个领域中。背景英国科学家弗朗西斯·高尔顿爵士（SirFrancisGalton）在研究父代与子代的平均身高的因果关系时，首次提出了“回归（Regression）”一词。然而，随着时间的推移，回归分析称为被人们用来表示变量间关系的统计模型。2024/4/19线性回归非线性回归回归分析多元回归一元回归引例2024/4/19【问题导向】雨课堂课前发布问题，课前发布阅读文章《建筑钢结构进展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心钢梁-钢管混凝土柱内加强环式节点受力性能分析”引例2024/4/19【问题导向】雨课堂课前发布问题，课前发布阅读文章《建筑钢结构进展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心钢梁-钢管混凝土柱内加强环式节点受力性能分析”2确定性关系与非确定性关系2024/4/19

3回归分析简介2024/4/19研究随机变量与一个或多个可控变量之间相关关系的统计方法称回归分析.

通过试验和观测去寻找隐藏在变量间相关关系是回归分析的主要任务.回归分析一元回归分析(一个可控变量)多元回归分析(多个可控变量)相关关系中，自变量称为可控变量，因变量称为不可控变量4回归分析简介2024/4/19

（2）判别所建立的数学模型是否有效（假设检验）.（3）利用所见数学关系进行预测和控制(应用).引例1：一元回归2024/4/19例1一种用于食品包装的可降解材料的制备过程中要受到其导热性（W/mK）的影响，而导热性与其密度（g/cm2）具有一定的关系，通过试验测得数据如表1所示。导热性

0.04800.05250.05400.05350.05700.0610密度

0.17500.22000.22500.22600.25000.2765表1

导热性与密度数据根据数据可得到散点图如图1所示。

图4.1.1

导热性与密度散点图PART

1一元线性回归一元线性回归简介2024/4/191.定义

称为一元（正态）线性回归模型

一元线性回归的数学模型介绍2024/4/19

图2

直线关系示意图

最小二乘法介绍2024/4/19

图4

散点图与拟合直线示意图

最小二乘法介绍2024/4/19

最小二乘法介绍2024/4/19

最小二乘法介绍2024/4/19并根据数据计算得到预测值及残差，如表2所示。变量数值0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-0.00070.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-0.00050.25000.05700.0571-0.00010.27650.06100.06050.0005合计1.370.3260.32602024/4/19

作答主观题10分拟合优度2024/4/19

标准误差的估计2024/4/19

标准误差的估计2024/4/19

显著性检验2024/4/19

显著性检验2024/4/19

显著性检验2024/4/19

数学家许宝騄2024/4/19【视频推荐】视频：许宝騄一个把生命托付给数学王国的数学家/video/BV1N5411o7ce/PART

2多元线性回归引例2：多元回归2024/4/19

78.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.1模型

多元线性回归模型2.1模型例2．某省年消费基金、国民收入使用额和平均人口数资料如下表，试配合适当的回归模型并进行各种检验。若该省某年国民收入使用额为670亿元，平均人口数为5800万人，当显著性水平为5%时，试估计该年的消费基金为多少。

多元线性回归2.2MATLAB实现线性回归（1）多元线性回归regress（）【命令】[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,

alpha)【解释】b为回归系数的估计值（第一个为常数项）bint为回归系数的区间估计r为残差，rint残差的置信区间stats用于检验回归模型的统计量，有四个值：相关系数r2，F值，F对应的概率p，残差的方差前两个越大越好，后两个越小越好alpha为显著性水平(默认值0.05，即执行水平为95%)2.2MATLAB实现线性回归

yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.2MATLAB实现线性回归

2.2MATLAB实现线性回归

2.2MATLAB实现线性回归PART

3非线性回归3.1可线性化的非线性回归模型3.2非线性回归自变量与因变量之间存在非线性关系，如：在Matlab中使用函数：nlinfit(x',y',v,b0)x和y分别为自变量和因变量v为回归表达式b0为回归系数的初值3.2非线性回归使用次数增大容积16.4228.239.5849.559.769.771089.9399.991010.491110.591210.061310.81410.61510.91610.76例3.2.1一种容器随着使用次数x变化，其容积y会发生变化，且满足，数据见表。试问使用次数为17,18,19,20时，增大容积的数值分别为多少？

PART

3关键问题——误差分析3误差分析2024/4/19绝对误差：相对误差：最大误差：平均相对误差：

平均误差：均方跟误差：推荐阅读2024/4/19【推荐阅读】科研论文：《航空发动机》2023第49第1期PART

4利用回归方程进行预测和控制引例（工程数据分析案例）2024/4/19

利用回归方程进行预测和控制2024/4/19

利用回归方程进行预测和控制2024/4/19

利用回归方程进行预测和控制2024/4/19clcclearally=[33.0,31.0,34.9,36.5,36.1,39.0,30.1,31.2,35.7,31.9,37.3,33.8,37.7];x=[3.1,4.5,3.4,2.5,2.2,1.2,5.3,4.8,2.4,3.5,1.3,3.0,1.8];n=length(x);X=[ones(n,1)x'];[B,BINT,R,RINT,STATS]=regress(y',X)figurercoplot(R,RINT)set(gca,'linewidth',0.75,'fontsize',20);mdl=fitlm(x,y)x0=3.2;y0hat=B(1)+xi*B(2)利用回归方程进行预测和控制2024/4/19例2

利用表1的数据计算当耐压强度为3.2时各种混凝土混合料和辅料的内部平均渗透性的置信度为95%的置信区间。

推荐阅读2024/4/19【推荐阅读】科研论文谢谢!应用数理统计应用数理统计第5章方差分析前言在实际工作中经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用的方法就是Fisher于20世纪20年代创立的方差分析(analysisofvariance)方法，该方法通过对实验数据的分析，建立数学模型，是鉴别各因素效应的一种有效方法。PART

1单因素方差分析5.1.1问题的提出例5.1.1设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。结果如下表所示。考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。5.1.2方差分析的数学模型5.1.2方差分析的数学模型2.模型5.1.3

假设检验的拒绝域方差分析表5.1.4

方差分析的软件实现1.相关概念单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值（同方差），返回原假设均值相等的概率。【命令】[p,table]=anova1(X)注：（1）数据按照列输入（每个水平下的数据为一列，各列数据个数可以不同）（2）P值越小各水平的差异越显著5.1.4

方差分析的软件实现2.【说明】anova1函数产生两副图：①

方差分析表；②盒图方差分析表中有6列：第1列（Source）显示：X中数据的可变性来源；第2列（SS）每一列的平方和；第3列（df）显示：与每一种可变性来源有关的自由度；第4列（MS）显示：比值SS/df；第5列（F）显示：F统计量数值，是MS的比率；第6列（p值）显示：从累积分布中得到的概率，当F值增大时，p值减小。5.1.4

方差分析的软件实现例5.4.2设在例5.1.1中符合方差分析模型的条件.5.1.4

方差分析的软件实现

5.1.4

方差分析的软件实现得方差分析表如下：5.1.4

方差分析的软件实现

5.1.4

方差分析的软件实现例5.4.2(实现)X=[0.2360.2570.2580.2380.253 0.2640.2480.255 0.2590.2450.254 0.2670.2430.261 0.262];>>[p,table_1,stats]=anova1(X)运行结果：p=1.3431e-05例5.4.25.1.4

方差分析的软件实现某种型号化油器的原喉管结构油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗指标—比油耗。现对用各种结构的喉管制造的化油器分别测得如下表所示：

5.1.4

方差分析的软件实现

5.1.4

方差分析的软件实现5.1.4

方差分析的软件实现得方差分析表如下：

5.1.4

方差分析的软件实现例5.4.2