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文档简介

关于二次型化为标准型1Page2一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明第2页,共17页，2024年2月25日，星期天Page3第3页,共17页，2024年2月25日，星期天Page4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第4页,共17页，2024年2月25日，星期天Page5解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例1第5页,共17页，2024年2月25日，星期天Page6从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组第6页,共17页，2024年2月25日，星期天Page74．将正交向量组单位化，得正交矩阵第7页,共17页，2024年2月25日，星期天Page8于是所求正交变换为第8页,共17页，2024年2月25日，星期天Page9二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．第9页,共17页，2024年2月25日，星期天Page10

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第10页,共17页，2024年2月25日，星期天Page11解例2含有平方项去掉配方后多出来的项第11页,共17页，2024年2月25日，星期天Page12第12页,共17页，2024年2月25日，星期天Page13所用变换矩阵为第13页,共17页，2024年2月25日，星期天Page14解例3由于所给二次型中无平方项，所以第14页,共17页，2024年2月25日，星期天Page15再配方，得第15页,共17页，2024年2月25日，星期天Page16所用变换矩阵为第16页,共17页，

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