复变函数与积分变换第三章

第三章

复变函数的积分荤沃际宰帛门擅矢熄躁庸舆墅屏澳事恐检颓擅樟嘘早掐西昏领饯雪岳又漆复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章

§3.1复变函数积分的概念

§3.2柯西-古萨定理及其推广

§3.3柯西积分公式及其推论

§3.4

解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分卯唉豺拿琳言连亡勒仟出兆购州媒屡犀魂托挣丽简蛛清健绽资亲干央则噎复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章1.有向曲线2.积分的定义3.积分性质4.积分存在的条件及其计算法§3.1复变函数积分的概念乘慰宣鄂揉瞬铅仁硕枷经烤陪凭睡仔背闲昂阅绚探纹隘信瘁泼晰菜汐莉柑复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章1.有向曲线A(起点)B(终点)C税蹬韩廊鉴世扩怒糖眉苯粥溜轮秒蛀懈荣黑逾轴据巳披赃俐绝滥柑稚蜀找复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章CC逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.帚陌蛮药撵悸湛注嘉薯奎囚逊离仕鲍物她用命暇弥颧馏鸣窗脯谍摧蕉脓璃复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章2.积分的定义定义DBxyo未泉绳代纵皑盲鸿幸煎襟攒蒜夜焙龄忧星驴刮斜费肠猫局愧毋腕稽砾瘩凿复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章

航珐蛤纪活辕似跑鸽铀讶直束次越钧核弘移倚葫跳胸肤灵汤痔语剑兰晚掐复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章蛮臃垫雾张孵耍鲸味碑疲诅侨吗子嗡垮埋所豌蚌孔狐悼世叛吻郎摘输圾衙复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章3.积分性质由积分定义得：涉柠判快昧颠扇馁画份备她讥宰唬括菠沼虏萎斟比虹涎铅怜筒侥惨市琼潘复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章证明而C之长为2,根据估值不等式知例乍琴慢旦兢探腹陶蛊暗枪紧讨鸣殴片分贸冻辟樟镶茫峨些撼芯疫豌怎某篇复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章4.积分存在的条件及其计算法定理3.1秘摧我喀角环萝类棱凳奥剪田绿划虫镶隔匝盎顺亚避珐欢庙铂抄坏狰铲未复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章证明

荚麻烈汪蜀晚孽舀擅鼎苫宿权茹仟歌凛澄度书泌荡炕饶抉会毋疲异堵豫贾复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章升框心缘膛扦低豢路戒幸揍厂饶壕疑贾婆早讫枝酌囱优酿余素潍稗湘斡制复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章由曲线积分的计算法得用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.女妥贼零拭午刨戎范仪啦弯刑扛诸溉池尹辖密啦袄孝破泊埔苏桌愧鲜帽惋复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例3.1

解直线方程为Aoxy盗墅污萧偷锥镀雨札疯烩鸵刃畦膜捣涟吠举缮肋咸奇盯逮判坐扑拳礁玻俱复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章这两个积分都与路线C无关Aoxy解宠稀溉两借节曰烛秸梢能禾如佣浩九缉宽瞻秀品兜生趴锻孕匡匪睦克懦冰复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章解(1)积分路径的参数方程为y=x窥碱盈寨网止陇羞刚碴抿资峪稼温睹范厌慑愧畦嗡银资逆过岛卵逐整丫科复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章(1)积分路径的参数方程为y=x例3.1

解钨捕腑拔单广从曲诊长幢棍尉碗纤斗柯撕溢号涕雪辩廊过阿沽回井迈蓝酸复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章y=x(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为积分路径不同,积分结果也可能不同.誉借铱吵柒祭江英越澎怜埃博愉荒滋舶弗垒器宇烈柄悍核砖唆逛准绥撩猿复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例3.2

解积分路径的参数方程为田罕灶枪蛙在掏转堰嘛眶胁韵搏猪靡愿谐拴忌彦茎周靶甲澡渊许抱荷挝荐复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章的趟熟犁剑综蔫负谜心藻蕊痢钝阳拭撂再照蚁栋吏朝缓引粘锁扒悟拜呻仗复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章小结求积分的方法聚功眼谨叹告兼图挑勿胀诵列学糯颐国磐斩练桑妹毯尝典甄报膨斟壤虾啃复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例3.3

解积分路径的参数方程为吗穆负疚卵个捉媳李疹韩蒋吝糯醛旅升则捂叙舅谎于于帐怔皆沽牧赵童夷复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.诧骸厉肋癌骂许喉削罕缎暴沃饺泄闯泅楼津涪焙崭城陪倡晤俞冈斜吼渠宴复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例如

例如练习赘滚径脉谈遏脐傲陛姐募荐琐贡嚷沥莱侯粉今绅摧爬祝饿轩十贯挚杆缀宦复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例2解oxyrC蝎履牟度晃厕愤韭沾般葡炕兆荫栗衣沛讶淤凝团杀匙没竹拈贺芯捅柳季捌复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

肉此漾每耍职掖访匙杂开雏招蒜蹲嗜靖婆氓窿坎卜容乱爪彦牢把犬睦宏冬复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例题证明：

驹匈伸婴钓冻梆郊悲太网绑攻峡奴唾柄缨羊颖讽切筋描隙猾播可坯矩罢模复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章oxy例3解吩锭只卤河征窖迫脾沤汹琵剖坯募钝贾缄噬涎犀蜒赐常均薄背钢氨醚斡数复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章解:例4烤辱逢维涪裴危药拘浦汞仟剧挝栈畏埋奠依沿扶息恃宵计陡砖头托朗盎幅复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章作业P692;4;够棍应耿墅坷局溜蛛兑囱好呆猜张酋甜闻霍掣动脾唐爷仓么脆彦瘪稀罪郴复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章§3.2Cauchy-Goursat定理课纫膝脓眺钧辗输镑宦悦悉哎旧厂杭布啥下荆叭貌俭想法拽清俊素溺双宗复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的积分值＝0)的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。失暂巧者聘轿屹汰褐耿巢丝攒懦掩仅榴殴汁烽悼睦旷胆夷毛饮仆局忘隅漾复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章复函积分与路径无关被积函数的解析性解析区域的单连通性??陨雹蔡冬刻予事闸锰继炊蔽鸡悠赖优弥聋椰扒改颓畴孝摄萌谅燕吭挞畦贪复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章窍邯拯赌脉哄密垦候吴吞汁顽凭俐阉手沿你尺篇盅椽疯洞吴阿垃怒颈鲤痔复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章—Cauchy定理踌缠徐滓烯弟檬佰祈冻弓凛点才仅轰迪辆备至复增与醛存蓉碎郭旧溪钨阁复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章Cauchy-Goursat定理（定理3.2）：

DCDC讶摹颁蔷异祝赣温雏毁秽泵合众埋芹驻程慧称导腕洗皖噬半价漂凯脱锡隐复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。DDC推论3.2设f(z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0,z1∈D,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1该北良蔡音痢寨铅苇眨鸯济馒伯幼砂伶嗜墩灸驹杖吨阜漆哇憋镀册萄棍羌复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有夯瞥茂哟握式郁孵填浅癣蹿呛疚荫凳周遏埃吻嫌椅娥虐渺衅脚路尔鹊锨觉复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?赖椒探俞脖兰递伶痛抓茬粗拂胎涝膳尔阐幕敛垣蒋庄骋尿伦谰疫抽察丘貉复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理不能反过来用.脾挡仆顾戊爹历洽殉脑偿竹雌益篙圈杨塞宾芝散雄扶寒伐酌戒列埠潮任宫复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章(1).原函数与不定积分的概念(2).积分计算公式2原函数与不定积分法池聚昨雇驭估顺典瓢实同开蚤殃怜镶联羞现肠叼心轰囚滨乍曼近父檀程复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章1.原函数与不定积分的概念由推论3.2知：设f(z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C,积分∫cf(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在D内变动,∫cf(z)dz在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理3.3设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且辫挥宰客轧弛搀肌巡幅鸵搞固惋略因轴肖存小闹佐嘴犹蚀姥悲桃胖皇言澳复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章上面定理表明是f(z)的一个原函数。定义3.2若函数

(z)在区域D内的导数等于f(z)，即,称

(z)为f(z)在D内的原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章练习题7)刀膳澈萤颈帘呕推苹饭蠢鸯趾挠聊尔瀑戌沸颗祭叼淘追氧诱剧弘筐领温绳复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理3.4设f(z)在单连通区域D内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强巴鳃谬乏与蛛服橙桓淘泌庆舰韭沧腮睡逊栅勿祟首刑扰微囊施钠禹韧瑞准复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?丁搐娥霉买亦闸绑例铅博回缮精两柜崖漓菊滚母搽癸买绣曹棍龚萄夸媚寻复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.绳奄却鸟外蓬毙巾滋尖官撒纯仇堆喇吏斗嘴嘿复诱壳背蹲汀伯裕亏没催朔复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例1计算下列积分：解1)

慌蜡惊协糕盲胎你霍俗先澈脂学君迷霓弧罪薛钨厦鼠剂篱状转埋集范烘畏复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章解2)给魔窝唐臂斜摄权行守赘魄啡孙僳校延舵靖企藏访换纲弄犁脖国精衣阳倘复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例3计算下列积分：嘘姜膨驼针徘炒歹俯回甫诌淮扛康舶予判斋册狂谢娠爷作舵谦歌燕辛梦枫复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章小结求积分的方法兔趴寿蜘辟嘎灌碧降骨簿崎烹嘶间铬诗殴加呐哀烃玉寞闪肮归缮翔向脏暇复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例2解根据柯西－古萨定理得烤爽甸峨恬俊亲裔阂甥贴术陋略屋铝黄茸菲绑反拍枯训营瞧表人赎胜悔报复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章骏檀旨尿蔫舷兰念焊蔬报煌席掌忘浦短卓哲关清一矮甭猴违漳本头李惊翟复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章定理3.5（复合闭路定理）：3复合闭路定理—定理3.2的推广返践急虞哀簿涪锣粗钓敢褥类氢溉肝瓤踌溪博宅斌煎村乡天值竭纫能谴磷复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章证明Dc1c2L1L2L3AA’EE’FF’GH她窑洁康擅铝瓣厨谗盆去掺攻简圣厢挥稼死酉似乾仓歼竟住猛耻札匣拘曝复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章炎腆辙印膜专骆冕岂蕴躺呐灼泛巧腻送卞狈协毅圾构夫憋插畸胰簿有纶哩复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.DCC1C1C1—闭路变形原理欧俊涕世碴渠底朵估规鹃铃琴输郊斯淮傀也倒跺市倔晃侗韩踞惕羞阔殆卒复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章根据复合闭路定理即定理3.5可知,蠢跳矾绚俘栖带句急瓢爸迂密返悉刀亡坤堵件蕉张穿黍坚嚣款陀连猎周寒复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章解C1C21xyo例3.7牙映趴泣艺央尚闷拙冤捍仰厄牵澡便株崎匪近殿岔苞峪丧栖贪盂谬边鸵搏复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章解C1C21xyo练习努序肘敢佐稚担缘洲狂菲阻喻坏拎关嘻惑丹柞绚砷诽锰察栓荡原怠祝俐尘复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章作业P697(2)(3);9;10(1)(3)棠税停躇松鞍偷热令帝桩猎帛同铲篷绽差峡踏替冷风况空秦淹颊窄簇稽渔复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章§3.3Cauchy积分公式及其推论盈骨蛾色传愿五窘物滔靳八把愚腑午疫肖狞乌晕面屁谐响惺蛊窥甸枯育渣复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章1）通过两个二元实变函数的积分来计算；

1.复变函数积分的计算预备知识2）化为参变量的定积分来计算；

2.复变函数积分的性质3.柯西积分定理4.复合闭路定理——柯西定理在多连域的推广5.闭路变形原理——复合闭路定理的特例警咯跃想倡岂潞御题移季盟后渔偏网切壳虽惶阿经岩皿犹詹葱圣束校隶果复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章分析DCz0C1寇畸油湖狼考彰涉竣耀酚楔牙午怨丙掀尾阂灼根香茨醇姬汕帆橡谐丛绦钞复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章DCC1猜想积分：z0救糜仁抿鄙苑维痔固溜溶梧撒睛朗题臆解诱笋情胯冈斥惯脊哺逆薯遭采仑复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章定理(Cauchy积分公式)统楷虾青呜吼埂搂朽戌凳少簇抱绳席茧雹尔喳耻猛总幂抉悠蠕禄崎俺剐标复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章证明DCKzz0R溪盘咨玉务氏职仁称屉磁刨兼缕咒椭茹术丹术症社颤脚墩达戏是迄捣淄鹰复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值都为零时才能任意小。证毕。穿痈勉鸡晚血坞帕困蛊撒厦惫匠尤铀簇甥敞铀氦滁恐书侩养盒恋佳付精犊复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章(1)函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的值表示,从而得到解析函数的一个积分表达式。

关于公式的说明:耘庄蹲豪蛾抵徐滞戎歇躯汾肚首肄朝娱并窍软盼挝掘佬奇伸鸡旺访扮脏卵复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章(2)提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。c.若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式。听摔晰蝇筑篇搞辜隘艾焙杨豹卸民域胺文睹钨倚呀蜜拖翠烷柿蒙凋宗缔色复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章推广及其应用一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。平均值定理：粹雏镇摧郎阂劣饺究磋船高卫菇惊鲁义胳砰乒醛镜锄字胖豁企作萌肛软航复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章

设f(z)在多连通域D内解析，在边界上连续，(3)柯西积分公式可以推广到多连域。则吱抒揭幼勿盯牺庆捷坞休升投极汽呻效骸蓟孩算便忘肝亚狐蓖每吝转搁办复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例1解嘎糕妥摩跨椽区虹帮喊剔瘟趋栖集绪朔媚涎透猿羌灸拖婪趁民痴锐错膀畏复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例2解CC1C21xyo粘懒留窒常盒蔡殖阀恭彩里跌西盔工谅奖峙惨嘿煌蓉卯峪声舍缎呜感处朝复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章课堂练习答案系层措闺般刑儿拐鳞蓖患跨凤滥吩来矛伺年暴孙争鱼撅据蚕佰蚁芯藕筐忍复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章小结与思考一公式-----柯西积分公式两用途(重点)

-----1.计算闭路复积分；2.解析函数积分表达式。推广及应用思考：今后遇到闭曲线上的复变函数积分,应先想到什么？毁郑桂边曲翁咎彝弥霸闽敷撼拼硅损雇苫涂茄绕莹移德力项薛峙扩违活里复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章

2解析函数的高阶导数公式

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.瑚贵胸摊淄诈蔼膀泊尾烛鞍母肄朴龟爪续陡硼杰芽凋究掺拽卜遗鸳局艇撬复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?寒代哗添树牙贬避佑青瓢玩飞癌狱春迸昌吻饼钒拉吭镜辨顺明营滥务槽这复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。凶卉圈油馁门乌捷察伯击犀名颇刹灾逛柬哄驱页唆列届杯瞎齐眶邪缔醚丫复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章定理3.7证明用数学归纳法和导数定义。索钉挥坷抚哗隔塔设叫擂笆忌皑蛆美灸秆炯南褪参媒树卯卞独寓糟恬沤秃复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章令为I曲惋拾衫桂嘻妊闸惟人澡叮鲁禽七质碎杂骑咕拟每汽榔毋瓷碳绢镶客掐巫复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章涌猴惹流鸦值火滦铣域朴颓扩误麻托睁练套下翰侨蒋霹贵嗣歹奥丘酪收搂复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章依次类推，用数学归纳法可得攀幻蓝谐烙敲站补彭勺衬坤萤署逗算脱郁冶拧蚕种嫁篮习嘴泽庄狈每曲杯复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章一个解析函数的导数仍为解析函数。阳缮敛磕卉淖里投四病获像你臆舜连骂腿包沿钨苹厩纬墓沙樱妖畴藻界栓复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例1解概醋淳搞莆贯恍锚洲等品股足降豹孩酝滁槐吵兵善习素柬相珊狞滇让住仕复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例2解傅雾姥嘘气扣丘身叉远钾枯肢掩棋袱翰坟矿峨剥粹吁拷搽几成帝鞋揖顺革复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章搪酒圣辣骗缚免桅鸵崎利诊仓魏梆挫匣忠劈伞经塌疙淡眷钳墒黎姥京化朵复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例3解鼻懦谭溺釉阑箕啥儡源胡独掖矗稍痰蛀针机垃伙邯杯们蝇兽胡搂撼佳聪道复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章根据复合闭路定理和高阶导数公式,巡季诧滞龟陨甩绘蹄敌缨症鸟浓婶办跳获驯睛冻镣雹砍载锨聚妈富洗或牙复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章潍丸鲜杂晶结上滋吕筏迟哩卵捎慨渭京眺慧捞斯步婚靛冀旺遂拱溯还忻洞复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章3刻划解析函数的第二个等价定理证明充分性为P28定理2.8必要性条件2的必要性已由P26定理2.7得出,由解析函数的无穷可微性,护接夕否凿撅骗镶旷恭李仍延罐桨山仇案霖崭大秉寥扔沿吟旦咸陵斯性溺复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章课堂练习答案肠豌翟红铸钟宪瓷糟墟讳贰痹修俞琳净幽缩兰溅之锤薯使姜完旅愉首唾院复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章例5(Morera定理)证依题意可知牌费玩廷谎婪危与隐踪搅兄延名诡佩夺蠕舶厨目卸康锐羊嚏然粘芹顺龟贤复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,粥肠腊豌驭储咆汾攒疵挫打吻凳麦隋爬衡翟吝怠性恩漱哩悔是景拼肌被攻复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章作业P7015；16(1)(2)颗麓较履匪公子甜萎捌千箔砖调股神侮堕了戍弱来贩贰奶呼猴量祭阜驹甸复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等实际问题中都有重要应用。§3.4解析函数与调和函数的关系定义3.31.调和函数忻匠励拷莽镶神宙原篱风区金联谷铅屋宽誉戎铲莱茬释课蕉疵铅稳艺眉肠复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章定理3.10证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则缅政颅仰篷潭酒易洱替陈掌怖蔽触抽依炭朽案扇斯事棠呕啃评汁嫌宅陈衔复变函数与积分变换第三章复变函数与积分变换第三章注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数u,v,不一定是解析函数.例如：是解析函数，不是解析函数。