福建省莆田市城厢区莆田文献中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

莆田文献中学2023~2024学年下学期期中考试卷八年级数学一．选择题（共10小题）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1。3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15。4．下列计算正确的是A． B． C． D．5．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为，则图中、两个正方形的面积之和为A． B． C． D．6．下列说法错误的是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形.7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是A．5 B．10 C．15 D．208．如图，点，分别是，的中点，的平分线交于点，，，则的长为A．1 B．2 C．3 D．49．已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是()A．（0.4，0） B．（0.5，0） C．（0.6，0） D．（0.7，0）10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．二．填空题（共6小题）11．比较大小：2（选填“”、“”、“”．12．中，，则．13．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：．14．计算：（x＞5）15．如图，中，，，，点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点所表示的数是．16．如图，∠ABC=90°，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为．三．解答题（共9小题）17.计算；（1）（2）18．如图，在中，点在上，点在上，且．（1）求证：四边形是平行四边形；19．一根竹子高1丈，折断后顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中丈、尺是长度单位，1丈尺）20．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积．21．如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，试判断的形状，并说明理由．22．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长为1，的顶点、、在网格的格点上．（1）图1中的周长为．（结果保留根号）（2）若点的坐标为，请你在图中找出一点，使、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点坐标是．（3）在图2中画出以为一边长，另外两边长分别为和的格点．20．材料阅读材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索解决下列问题：（1）填空：的有理化因式是．（写出一个即可）（2）化简：．（3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化）24．如图，在中，，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．（1）的长为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连接，①是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．25．已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．（1）如图1，当时，时，求的大小；（2）当，时，①如图2．连接，当，求的长；②若，求的长．

莆田文献中学2023~2024学年下学期期中考试卷八年级数学参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．.2．.3．4．．5．．6．．7．．8．．9..10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】易知，，，设，由含30度角的直角三角形性质得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面积关系得到，进而阴影部分的面积为．【解答】解：如图，由题意得，，，，设，在中，，，即，解得：，，，阴影部分的面积为．故选：．【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形性质、全等三角形的性质、三角形的面积，解题关键是利用全等三角形的对应边相等构建方程，求出的长．二．填空题（共5小题）11．＞.12．．13．两直线平行，内错角相等．14.x-5.15．．16．解答题（共8小题）17.18．如图，在中，点在上，点在上，且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若为的角平分线，且，，求的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再由即可得出结论；（2）根据角平分线的定义结合推出即可得出结果．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：为的角平分线，，，，，，，，的周长．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．19．一根竹子高1丈，折断后顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中丈、尺是长度单位，1丈尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺，再由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，由勾股定理得：，解得：，答：折断处离地面的高度为4.55尺．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．20．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积．【分析】先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．【解答】解：如图，连接，在中，，，根据勾股定理得，，在中，，，，为直角三角形，．【点评】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．21．如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，试判断的形状，并说明理由．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可．【解答】（1）证明：是的中位线，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：为直角三角形；理由如下：四边形是平行四边形，，，，是的中位线，．，，，，，即，为直角三角形．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．22．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长为1，的顶点、、在网格的格点上．（1）图1中的周长为．（结果保留根号）（2）若点的坐标为，请你在图中找出一点，使、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点坐标是．（3）在图2中画出以为一边长，另外两边长分别为和的格点．【分析】（1）根据勾股定理分别求出，，的长，再相加即可；（2）由题意找出坐标原点，建立平面直角坐标系，再结合平行四边形的判定分类讨论找出点即可；（3）根据，，确定点的位置即可．【解答】解：（1）根据题意可知，，，的周长为．故答案为：；（2）根据题意可建立平面直角坐标系，如图，分类讨论：①当为对角线时，点的位置如图，此时；②当为对角线时，点的位置如图，此时；③当为对角线时，点的位置如图，此时．综上可知，满足条件的点坐标是或或．故答案为：或或；（3）如图或即为所求．【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形，平行四边形的判定．利用数形结合的思想是解题关键．23．材料阅读材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索解决下列问题：（1）填空：的有理化因式是（答案不唯一）．（写出一个即可）（2）化简：．（3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化）【分析】（1）利用有理化因式的定义和平方差公式求解；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比较和的大小即可．【解答】解：（1）的有理化因式为；故答案为：；（答案不唯一）（2）原式；（3）．理由如下：，，，，，．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．24．如图，在中，，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．（1）的长为10；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连接，①是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可；（2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；（3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可；（4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题．【解答】解：（1）四边形是平行四边形，，，，故答案为：10；（2）由题意得：，当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；综上所述，线段的长为或；（3）①不存在，理由如下：如图1，连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，，，，，解得：，不符合题意舍去；②存在，理由如下：如图2，连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，，，解得：，存在的值，使得与互相平分，的值为；（4）分两种情况：①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，由对称的性质得：，四边形是平行四边形，，，，，，即，解得：；②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，由对称的性质得：，四边形是平行四边形，，，，，，，即，解得：；综上所述，的值为或2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．25．已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．（1）如图1，当时，时，求的大小；（2）当，时，①如图2．连接，当，求的长；②若，求的长．【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案；（2）①证明，可得，再利用勾股定理