2024届河南省高三上学期TOP二十名校一模数学试题及答案

2024届高三年级TOP二十名校仿真模拟一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzii41.已知复数，则（）A.0B.1C.C.2D.D.31yx22.抛物线的焦点到顶点的距离为（）21412A.2B.1x03sgnxxAy|ysgnx，则A中元素的个数为（i3.定义，若集合）,x0i1xA.6B.7C.8D.9π中，C4.，ACBC1，则的面积为（）4212A.B.C.2D.22中，2，，则（）ann15181a25.数列nA230B.210C.190D.1706.某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的种数为（A.20B.15）C.12D.10第1页/共5页7.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（）291591510A.B.C.D.8.对于函数，当x0时，fxfx.锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fxabsinAsinBABbCcBaCcA，设1，x2x，3，则（）f3fxfxfxf1fx2123A.C.B.e1ex2e3e1ex2e3f3fxfxfxf1fx2123D.e1ex2e3e1ex2e3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.15x9.关于2x的展开式，下列说法正确的是（）A.二项式系数之和为32C.所有项系数之和为1B.最高次项系数为32D.x1项的系数为40ABCD中，E为AB的中点，则（110.在棱长为1的正方体）111CEBCA.11B.CE//平面ACD116A1ABCD所得截面面积为1111C.平面截正方体2EBBCCEBBDD的体积相等11D.四棱锥与四棱锥11x2cos3xfxx311.已知函数，则（B.）fx3fx的最小正周期为2πA.πC.在fxD.fx在π内有3个极值点上单调递增fxxfxxnn12.记fn1，其中nN*，则下列说法正确的是（）xx0fxex，则fn1xexA.若1第2页/共5页nπ2nπ2B.若fxsinxcosx，则xn1xfsinx11x0恒成立，则a0fxax10f，且n1C.若D.若，1ax11x1x1n2fxfxn!，则1n11x1x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.，______.aaba13.已知向量，若，则14.若双曲线的渐近线方程为y3x，则其离心率为______.15.写出一个符合下列要求的函数：______.①为偶函数；②fxfx1；③有最大值.fx1△面积的最大值为16.如图，四边形ABCD中，AB1，3，CD2，，则2______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.（1）求的最大内角的正弦值；（2）求d.18.近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测20HHYY38试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得，iii12020Hi80i1256DH，H与Y的方差满足.2DY，i1i1（1）求H与Y的相关系数r的值；H6（2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测时体质测试成绩.第3页/共5页nHHYYiiri1参考公式：相关系数，nn22HiHiYi1i1nHHYYbi1ii回归方程Ya中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，n2HiHi1ˆYbH.19.已知数列，，前n项和分别为，且Anabcn，n，CnnCn.nnnab2c；n（1）证明：nnN*，n0，n1，2nC.na2n3canb，求n（2）若对任意的nn20.如图，几何体ABCDEF中，底面ABCD为边长为2CDEF平面ABCD，平面πBCF平面ABCD，.3（1）证明：平面ABCD；13πADEBCFE的体积.（2）若DE，平面与平面的夹角为，求四棱锥262fxylx处的切线方程为.xx421.已知函数的图象在x（1）求的解析式；lx（2）若过点a,ba4可作图象的三条切线，证明：.fxlabfa22.已知复数z在复平面内对应的点为Z，（1）求C的方程；z1z14，Z的轨迹为C.两点，且平分（2）若，，过F的直线交C于，Z1BZF1,0B3Z1ZZZ，求直线的方1222程.第4页/共5页2024届高三年级TOP二十名校仿真模拟一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzii41.已知复数，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据i21，求出z.2zii21i，则z1222.【详解】故选：C2.抛物线1yx2的焦点到顶点的距离为（）21412A.2B.1C.D.【答案】C【解析】12p1，焦点到顶点的距离为p，可求值.【分析】把抛物线表示为标准方程，可得1yx222yp1，则，x【详解】抛物线的标准方程为21212p所以焦点到顶点的距离为.故选：C.第1页/共18页x03sgnxxAy|ysgnx，则A中元素的个数为（i3.定义，若集合）,x0i1xA.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.【详解】由题知y的可能取值有3，2，1，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.故选：B.π中，C4.，ACBC1，则的面积为（）4212A.B.C.2D.22【答案】A【解析】AC·BC2【分析】根据数量积求解.2【详解】因为ACBCACBCcosCAC·BC1，2AC·BC2所以，1212SAC·sinC则.故选：A.中，2，，则（）ann15181a25.数列nA.230B.210C.190D.170【答案】D【解析】【分析】借助等差数列的定义及相关公式计算即可.【详解】由题知数列是公差为2的等差数列，534170105a.ana1a2a56故选:D.6.某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的种数为（）第2页/共18页A.20B.15C.12D.10【答案】B【解析】【分析】用排列组合中的插空法解决.【详解】题目可转化为将7个相同的元素分为3组，在7个位置之间的6个空中插入2个挡板，将7个位置分为3组，有C215种方法.6故选：B.7.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（）291591510A.B.C.D.【答案】D【解析】12152r2R1221解.π2π【详解】侧面展开图扇形的弧长为，，212圆锥底边的半径r满足2rπ，解得所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，r15底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，，2152设内切球半径为R，则R122115R.10故选：D.第3页/共18页8.对于函数，当x0时，fxfx.锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fxabsinAsinBABbCcBaCcA，设1，x2x，3，则（）f3fxfxfxf1fx2123A.C.B.e1ex2e3e1ex2e3f3fxfxfxf1fx2123D.e1ex2e3e1ex2e3【答案】C【解析】fx(0,)【分析】先利用题设和选项构造函数gx，判断其在exx,x,x的大小，最后运用单调性判断结论即得.3余弦定理判断12fxfxfxgx，单调递减.gx【详解】令gx，则gx0，当x0时，exexa2b2c2a2c2b2中，由余弦定理，bCcBbca，同理可得：又因为在2ab2acaCAb，故由bCcBaCcA可得：ab，又由正弦边角关系得sinAsinBxx，则2g1g2.1xx的大小，即比较3接着比较与与的大小，2ABsinxπ2cosxsinxxtanxπ2hx，xhx，cosxmxxtanxx令，.令，xx2x21mx0，1x2π2则单调递减，，则，在上单调递减，mxmxm0hx00hx又A故选：C.B故，则hAhB，所以23g2g3.【点睛】关键点点睛：结合题设和结论的提示考虑到构建函数并判断其单调性.同时对于三角形中型如bCcB结构的二阶结论要有印象，遇到结构相同的解析式时需要同构的思想.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题第4页/共18页目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.15x9.关于2x的展开式，下列说法正确的是（）A.二项式系数之和为32C.所有项系数之和为1B.最高次项系数为32D.x1项的系数为40【答案】AB【解析】【分析】直接利用二项式定理的应用求出结果即可．【详解】对于选项A：二项式系数之和为C05C15C5532，故A正确；k1xk55k，最高次项的系数为C055232对于选项B：设展开式第k1项为TC2x，故B正k1确；对于选项C：令x1得各项系数之和为51，故C错误；对于选项D：x1项的系数为故选:AB.C532240，故D错误.ABCD中，E为AB的中点，则（110.在棱长为1的正方体）111CEBCA.11B.CE//平面ACD116A1ABCD所得截面面积为1111C.平面截正方体2EBBCCEBBDD的体积相等11D.四棱锥与四棱锥11【答案】ACD【解析】【分析】先证明C平面BEC，即可判断选项A;通过平面AC∥平面，可得选项BC111A1ABCDAECF所得截面菱形C1到平面截正方体1111EBBCCEBBDD的体积，可判定选项D.11棱锥与四棱锥11ABCDCC中，平面，11【详解】在正方体1111第5页/共18页BC平面CC，所以BC，又BCBC，111111IBABBEC1BEC，1,平面，平面11所以C平面BEC1，平面BECBCEC，所以，A正确；1111ACACACACDACACD∥平面ACD，所以，11，平面，平面111111111ACD1C同理平面，平面，，∥平面C，AB1ACA11AC∥C，CEABCC，所以平面平面平面11所以与平面ACD不平行，B错误；11ABBA∥1DAE1A，1平面所以平面，平面1111AE∥1DAEA平面，1平面，111AECDCCDCFAE∥CF1设平面平面，则，111AE//1FC，11因为，所以1CC=C=90又，，11112EAAFCCEA1FC，=1=所以同理，所以，11AFECAF//，且，11AECF1AC31，EF2，所以菱形为所求截面，16则面积为ACEF，C正确；12211111由题可知VEBSBBCC，EBBCC33261111取的四等分点H，则EHAC，2EHBB，1所以=，，又4BB1B，BB1DDBD1DD平面，平面，1111所以EH平面DD，111121则VEHS12，D正确.EBBDDBBDD11334611第6页/共18页故选：ACD.x2cos3xfxx311.已知函数，则（B.）fx3fx的最小正周期为2πA.πC.在fxD.fx在π内有3个极值点上单调递增【答案】BD【解析】【分析】利用三角恒等变换得到sin3xx分析判断各选项即可得解.3，进而利用正弦函数的性质逐一fxx，从而化简【详解】因为sin3xsinxcos2xxsin2xsinx2sin2x)2sinxx2sinx2sinx)2sinxsinx)x223x，32cos3xsin3x2cos3xfxxx所以，2，其中为锐角，则根据辅助角公式得2πfx设tanfx3x，所以得最小正周期为，A错误；3fxfxfx3的最大值为3，所以3x因为，则，B正确；ππ2，其中为锐角得由tan，43ππ0x时，3x因为，124π则函数在fx上先增后减，C错误；πππ令3xπ，得xkZ，，2633第7页/共18页ππ5π则函数在π上有三个极值点，，，D正确.fx632363故选：BD.fxxfxxnn12.记fn1，其中nN*，则下列说法正确的是（）xx0fxex，则fn1xexA.若1nπ2nπ2B.若fxsinxcosx，则xxfsinx1n11x0恒成立，则a0fxax10f，且n1C.若D.若，1ax11x1x1n2fxfxn!，则1n11x1x【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由ex的导数一直是它本身即可判断；对于B，由诱导公式以及三角函数的导数公式即可判断；对于C，通过归纳即可判断；对于D，由C选项结论即可判断.fxex时，fxfxfxex，A正确；【详解】由题知fn1xfx，则当n11n1nπ2π2，x由sinxsinx，xnπnπ2n1sinxxsinxπ，22nπnπ2n12，B正确；xxsinxxπ，所以fxfn2n1211fxax1，则1ax1123nfxax1,fx2ax1,,fxan，n123n1ax1nfx0a0恒成立，0，错误；C若，则n121x1x1x2nn!，D正确.fn11，由C知x1fxn11x1第8页/共18页故选：ABD.【点睛】方法点睛：对于递推类函数定义，可以用归纳的方法结合求导公式去验证即可顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.，______.aaba13.已知向量，若，则5【答案】##2.52【解析】ab2【分析】由题可得，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.，ab2a【详解】向量，，52aabaab520，解得又，则.5故答案为：214.若双曲线的渐近线方程为y3x，则其离心率为______.23【答案】2或3【解析】【分析】分焦点在x轴上和焦点在y轴上，由渐近线方程和离心率定义可解.x22y22ab0)，【详解】当焦点在x轴上时，设双曲线方程为abbaba由渐近线方程yx得3，2cba所以离心率e12；ay22x22ab0),当焦点在y轴上时，设双曲线方程为：aba3由渐近线方程得，b2ba3cb233e1.所以，则离心率a3a23故答案为：2或315.写出一个符合下列要求的函数：______.第9页/共18页①为偶函数；②fxfx1；③有最大值.fxfx12x【答案】【解析】（答案不唯一）【分析】根据学过的函数和题目要求进行变换构造符合题意得函数.fx1，其最大值为0.fx12x【详解】函数为偶函数且fx12x故答案为：（答案不唯一）1△面积的最大值为16.如图，四边形ABCD中，AB1，3，CD2，，则2______.33【答案】【解析】2AEEF【分析】建立直角坐标系，求解出相应圆的标准方程，延长AE交圆③于点F，得到，△AED△DEFS，进而求解的最大值.【详解】以E为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，则B0，，A在圆①：xC2,02y21上，D在圆②：x22y24上，作圆③：x12y21，AEEF延长AE交圆③于点F，则，S△AED△DEF所以.设直线AE与圆②交于点G，取H0，连接，，得△CEF△HEG，第10页/共18页EFEC121SS△DEF△DEG则，则，EGEH2△DEG为圆②内接三角形，当且仅当△DEG为正三角形时，S最大，33此时△DEG33，所以S△的最大值为，233S即的最大值为.233故答案为：2【点睛】关键点睛：利用数形结合的思想进行转化为圆的标准方程,利用圆的性质和三角形面积求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.（1）求的最大内角的正弦值；（2）求d.437【答案】（1）（2）21【解析】1）结合余弦定理，同角三角函数的基本关系计算即可；1dAB（2）利用中线长【小问1详解】，代入整理计算即可.25BC7AC8不妨设，，，则B是最大内角.a2c2b249256417由余弦定理可得cosB，2ac257第11页/共18页437则sinB1cos2B.【小问2详解】11122dABABCB2ABCBcosB25491021.222【点睛】.18.近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测20HHYY38试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得，iii12020Hi80i1256DHDY，H与Y的方差满足.2，i1i1（1）求H与Y的相关系数r的值；H6（2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测时体质测试成绩.nHHYYiiri1参考公式：相关系数，nn2iY2HiHi1i1nHHYYbi1ii回归方程Ya中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，n2HiHi1ˆYbH.【答案】（1）0.95（2）0.95H59，64.7【解析】1）由题意根据方差公式以及相关系数公式和题给数据即可计算.ˆˆ59（21）中数据以及题给数据和公式可依次算b0.95，Y62.8，H4可得预测模型并进一步预测.【小问1详解】120HiH22由题意知DH，20i1第12页/共18页2020HiH2402iY40所以，同理，i1i1HHYYii3840ri10.95.2iY2HiHi1i1【小问2详解】20HHYYii120120ˆbi10.95，Yi62.8，HHi4，由题意2020202HiHi1i1i1ˆ则ˆYbH59，Y0.95H59，H6H6当时，Y64.7，即可预测时体质测试成绩为64.7.，，前项和分别为，且nC.nabcnn，n，CnAn19.已知数列（1）证明：nnnab2c；nnnN*，n0，n1，2nC，求.na2n3canb（2）若对任意的nnn【答案】（1）证明见解析2n112（2）Cn3n2【解析】1）利用通项与和之间的关系可证得结果；cn，利用错位相减法可求和C.n（2）根据已知条件及基本不等式可得【小问1详解】当n1时，ABC，即ab2c；111111ABCABCn1，所以，n1n1当n2时，因为nnn故AABB2CC，nn1nn1nn1ab2cn2n，即nnab2c成立.n综上，nn【小问2详解】第13页/共18页N*，an2nn10b0，，n因为nab2c2ababn所以所以此时，当且仅当时等号成立，nnnnnnc2nanbc2nanbc2nanb，n，又，所以nnann2nn1，nCn12n2304312nn1，①Cn2312n2n12n3n，②2n3Cn23031n13n①②得113n22n3n12n3，n1132n11所以Cn3n.2220.如图，几何体ABCDEF中，底面ABCD为边长为2的菱形，平面CDEF平面ABCD，平面πBCF平面ABCD，.3（1）证明：平面ABCD；13πADEBCFE的体积.（2）若DE，平面与平面的夹角为，求四棱锥26【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】1）由面面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理即可得；（2）建立空间直角坐标系，设出E点的坐标后结合题意确定E点位置后由体积公式计算即可得.【小问1详解】ABCDmCD，nBC，在平面内分别作直线第14页/共18页因为平面CDEF平面ABCD，平面平面ABCDCD，mm平面CDEFABCD平面，所以，平面CDEF，所以mFC.又n同理可证nFC，又m，平面ABCD，且m，n为相交直线，ABCD；所以平面【小问2详解】πBC中点G，连接，ABCD且底面为菱形，取，3故△BCDDA，为等边三角形，所以以D为原点，，DG为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，则D0,0,0，C3,0，A2,0,0，3,0，由平面CDEFABCD，故平面Ea,a,hx,y,z为平面ADE的法向量，n所以可设，12x0n0yh0n.1，取，得h,a则有，即1n0axayhz01由平面BCF平面ABCD，故n20为平面BCF的一个法向量，h33213cosn,nh，所以h24a2结合已知有，又DE，122h2a2213所以EABCD23332第15页/共18页2fxylx处的切线方程为.xx421.已知函数的图象在x（1）求的解析式；lx（2）若过点a,ba4可作图象三条切线，证明：.的fxlabfa18lxx2ln2【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）求出导函数得到切线斜率值，利用点斜式方程即得切线方程；124aln01b0有三个实根，（2）设出切点，列出切线方程，将题设条件转化成方程x0x200124gx即函数alnx1ba有三个零点，就值分类讨论即得.xx2x【小问1详解】1121f42ln2fx，f4，因为，2xx28111y2ln2x4，即lxx2ln2所以切线方程为.288【小问2详解】2221x,lnxyln0，xx0设切点为，则