河北省部分重点高中2023-2024学年高三年级上册普通高考模拟（12月）数学试题 (二)

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟试题

注意事项:

'1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的班级和姓名填写在答题纸上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案

写在答题纸上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若集合A={彳丘一3>0},则（CRA）C|N=

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

2.在递增的等比数列储“）中，若生—•0=3,则公比q=

LJ

4?5

A.-B-C.2D.慨

OLJ乙

3.已知函数/（7）=3」+彳一6有一个零点z=zo,则7。属于下列哪个区间

4.如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增

速是与上一年同期相比的增速,则图中X的值约为

10000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

5月1~2月

当月进口量（万吨）—当月增速（％）

全国煤炭进口月度走势图

A.90.2B.90.8C.91.4D.92.6

第1页（共4页）

5.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为

C/G)=(工+])2C](Z)=(z+l)2

R22

6.已知离心率为与的椭圆彳+方=1(0>6>0)的左、右焦点分别为尸一玛，尸(斗,)。)是椭圆

乙ab

上位于第一象限的一点，且COSNFIPF2=-J，则10=

A禽R1「网V3

A.—aD.—aC.—anD.—a

4乙QLt

7.已知对任意实数久,y,函数fG)满足“到+1)=/殳+1)+/3+1),则/殳)

A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数

8.已知半径为R的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a,当正四棱锥的高为九时，正四棱锥

的体积取得最大值V,则

31

A.h=2<zB.h=~^ciC.h=aD.h=~^CL

乙乙

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=ln

A/(■!)是奇函数

B."z)是增函数

C.曲线在z=e处的切线过原点

D.存在实数a,使得夕=f(z)的图象与的图象关于直线y=z对称

10.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为入「设事件A[=%+、=5”,

事件Az="y=/”,事件A3=》+2y为奇数”，则

A.P(A1)=-1B.P(A2)=^

JJ.Lt

C.A1与A3相互独立D,A2与A3相互独立

11.已知复数z°=l—i,z=z+yi(z,yeR),则下列结论正确的是

A.方程|z-z。|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B.方程|z—ZoI+|z—z0I=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C.方程Iz-z。|一Iz-E|=1表示的Z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支

D.方程z+^-(Z0+2：0)=IZ—Zo|表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线

12.已知定义:4则下列命题正确的是

A.V6ER+,(e^)6=etB.若则理•理=双+*

C.VzGR,ln(4+1)一2D.若,々2SR,则e[+理=e。气

LJ

第2页(共4页)

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.2

13.若3cos26——14cos9+7=0,贝！Jcos29—.

14.高三(1)班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资

料,则至少有一名女生的选派方法共有种.(用数字作答)

15.已知双曲线C：[一[=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为B，Fz，其右支上有一点P满足

NF$F2=60°,过点凡向/RPR的平分线引垂线交于点H,若|FzH|=^6,则双曲线

LJ

C的离心率0=.

16.在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为2,APAC为正三角形，点M,N分别在

PB,PD上，且PM=2MB,PN=2ND,过点A,M,N的截面交尸C于点H,则四棱锥P-

AMHN的体积为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2：

17.(本小题满分10分)

已知公差为d的等差数列｛a"的前〃项和为S,，且满足4s“=〃(%+a.+i+1).

(1)证明：2%+目=2”2+1；

(2)若沏=8,求二—I—--F…H.

a1％a2a3

18.(本小题满分12分)

已知函数f(z)=痣sin(azz+g)的部分图象如图所示，⑷<5,且NACB=90°.

(1)求⑴与(p的值；

(2)若斜率为牛的直线与曲线》=/殳)相切,求切点坐标.

22

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中,PA_L平面ABCD,PA=2,底面ABC。为直角梯形,/BAD=

9O°,AB=2,CD=AD=1,N是PB的中点，点M,Q分别在线段PD与AP上，且血=

XMP,AQ=pQP.

(1)当;1=1时,求平面MDN与平面DNC的夹角大小

(2)若MQ〃平面PBC,证明中=1+2人

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20.（本小题满分12分）

已知;rC[O,l）,/（工）=©工.

（1）证明:z+

1—2

1+7

（2）比较f（2z）与^一的大小.

1]一久

21.（本小题满分12分）

z

已知抛物线Ciy=2px（0>0）上有一点P（1,加）（m>0）,F为抛物线C的焦点,

E（一§,0卜且|EP|=^|PF].

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P向圆七：（工+5）2+/=「2（点p在圆外）引两条切线，交抛物线。于另外两点

A,B,求证:直线AB过定点.

22.（本小题满分12分）

某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球

给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球:若教

练上一次是传给某运动员，则这次有意的概率再传给该运动员,有5的概率传给另一位运动

OO

员,已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第〃次传球传给甲运动员的概率为力.

（1）求p2，p3；

（2）求pn的表达式；

（3）设q.=|22"一1|,证明：£（3+1—qD（sing1+1—sinQ,）<y.

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数学参考答案及评分细则

题号123456789101112

答案CBBDDCBCBCDACDACAC

1.C解析：；CRA=(-8,3］,；.(CRA)nN={0,l,2,3),故选C.

［命题意图］该试题考查集合的补集与交集运算，数学能力思维方面主要考查运算思维与抽象思维.

R32

2.B解析：由题得,々2=。19=3,々3—即=〃192—即=-7，联立可得q=万或q=—~舍)，故选B.

［命题意图］该试题考查等比数列的运算，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查运算思维、变换

思维、方程思想等.

3.B解析:由题知/Cz)在R上单调递增，•."(£)=存一5.5V0J⑴=一2<0"偿)=3怖—4.5,

又33-4.52>0,.•./(•1)>(),故选B.

［命题意图］该试题考查零点存在定理和二分法，数学能力思维方面主要考查转化思想和特值思想.

3958—2055

4.D解析：由题得增速X%=.X100%Q92.6%,故选D.

殁ZUo；o

［命题意图］该试题考查统计知识，是高考热点，数学能力思维方面主要考查数形结合和拓展思维.

5.D解析:对于A,函数/①)的定义域为(-8,-3)0(-3,-2)6—2,—1)1；(-1,+8)小不正

确;对于B"(0)W0,B不正确;对于C,结合题中图象,#4)=祟>八3)=靠>/⑵=J,C不正确,

zbioy

故选D.

［命题意图］该试题考查函数的图象及其性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查特值思想

与数形结合思想.

73

6.C解析:设|PF"=m(m>a),则|PFzl=2a一机，由e=c-=g，得2c由余弦定理得3a2=

aN

m2+(2a—m)2+^m(2a—加)，解得m=^a或根=］(舍)，贝JQ0+与a)=_1'a2'联立椭圆

方程解得z。=吟a，故选C.

［命题意图］该试题考查椭圆的定义与性质，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查静态思维与

迁移思维.

7.B解析:令N=、=1,得/(2)=#2)+/(2),，/(2)=0；令才=〉=一1,得/(2)=2/(0)=0,

.•"(0)=0；令》=—1,得/(1一］)=/(才+1)+/(0)=/(1+工)，，/(1)的图象关于直线关于1=

1对称，故选B.

［命题意图］该试题考查抽象函数的性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查赋值思维与抽

象思维.

8.C解析:设球心到底面的距离为Z,则/1=1?+7,&=夜•/R2—忆2，,V=V(R+z)2(R-z),则

V=：(R+_z)(H+z)(2R-2①),(.+z+R4+2R_2z)：当且仅当R+N=2R_2Z,即

。=等R时取等号，此时九4=R?，a=4WR•，即人=&,故选C

J0o

［命题意图］该试题考查球内接正棱锥的最值问题，是高考的常考点，数学能力思维方面主要考查建

模思维与化归思维.

9.BCD解析:根据函数性质可得A错误,B正确；对于C,/(Z)=},在z=e处的切线斜率为《，切

线方程为y—l=(Cz-e),即显然过原点,C正确；当a=e时,y=f(z)的图象与/="的

图象关于直线对称,D正确，故选BCD.

［命题意图］该试题考查函数的奇偶性、单调性，导数的几何意义以及反函数等，数学能力思维方面主

要考查运算思想和数形结合思想.

41

10.ACD解析:满足事件A1的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种情形，其概率「"1)=於=±

369

A正确;满足事件A2的有(1,1),(2,4)共两种情形,其概率P(A?)=白，B不正确；P—X.，满

loZ

足事件AH的有(1,4),(3,2)共两种情形，P(AA)=3=P(A］)P(A3),C正确；满足事件

lo

A2A3的只有(1,1)一种情形,P(A2A3)=^=P(Az)P(A3),D正确.故选ACD.

00

［命题意图］该试题考查古典概型以及事件的相互独立性，是高考常考点之一，数学能力思维方面主

要考查分类思维和运算思维.

11.AC解析:由复数模的几何意义知A正确；由椭圆的定义知2a>\F{F21，但2=Izo—EI，故B不

正确；同理由双曲线的定义知C正确;对于D,由复数的几何意义知z在复平面内对应点到两定点的

距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选AC.

［命题意图1该试题考查复数模的几何意义、共轲复数等，是高考必考点，数学能力思维方面主要考

查跳跃思维与认知思维.

12.AC解析:对于A,显然正确；对于B,令与=-1,亚=2,则理•理=62,《1+’2=6,错误；同理口也

错误;对于C,当zVO时，ln(ei+l)^=ln2--y>ln2,成立，当时，ln(e：+l)一高=

ln(ex+l)—Ine2=ln(e7+ey)^ln2,正确，故选AC.

［命题意图］该试题考查新情境、新定义下的数学知识的应用.是高考热点题目，数学能力思维方面

主要考查创新思维和探索思维.

71

13.—"T解析：由已知得6cos20—3—14cos6+7=0,解得cos6=于或cos6=2（舍），故cos2J=2cos汨

?u

［命题意图］该试题考查倍角公式以及一元二次方程，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查方

程思想和运算思想.

14.54解析：由题得选派方法共有（CC+CC）A：=54种.

［命题意图］该试题考查排列组合知识，数学能力思维方面主要考查分类思想和抽象思维.

/Tg

15.—z-解析:延长F2H交BP于点Q,则|F2Ql=6,・：NF】PF2=60°"・|PF2l=lPQl=6小（l

O

IF】QI=2a,NF】QF2=120°,在ABQB中，由余弦定理得4/=4a，+/+2a6,即2a=36,则e=

［命题意图］该试题考查双曲线的定义与性质、余弦定理，数学能力思维方面主要考查方程思想和拓

展思维.

16.—解析:如图,连接BD^AC于点O,平面AMN交.PC于点、H,交PO于点G,'：PM=2MB,

PN=2ND,...26=200,即点G是428口的重心，也是△PAC的重心，是PC的中点,

PCJ_AH,PC±BDPC_LMN,又AHPIMN=G,二PC，平面AMHN,故VAAMHN=4•

1476

PH•—•AH•MN=

乙y

［命题意图］该试题考查截面问题、线面垂直、求几何体体积以及三角形重心的性质等，数学能力思

维方面主要考查空间想象以及逻辑推理.

17.解:⑴当71=1时，4S1=。1+。2+1，即2ai=d+l,..................................................................（2分）

.,.（2,=。1+（“一Dd=/（a+D+（〃-1纭，即2a„+d=2nd+l.............................................（4分）

乙

（2）,.,。3=8,，16+6=6d+l,解得d=3,•'-a„=3n-1».............................................................（6分）

.11-1f1_______.................................................................................（8分）

"'a„a„+1（3n—l）（3n+2）3'3n—13〃+2"

.1,1,।1

..-------1---------H…H----------

Q】〃2Q2Q3a〃a〃+i

1（11,11,,_1______

=守（1一5+工一百+…+3〃-13n+2）

T9心

ft

（IO分）

2（3〃+2）・

［命题意图］该试题考查数列的性质、等差数列的定义与性质、裂项求和等，数学能力思维方面主要

考查变换思维和跳跃思维.

18.解式1）如图，过点C向x轴引垂线交于点。,

由正弦曲线的性质知AD=3DB,

由射影定理知CD2=AD.DB,而CD=JI,，3=3DB・DB,

.*.DB=1,....................................................................................................................................（3分）

二7=4=红，解得3=。..................................................（4分）

34

令/（工）=竽".cos（多一于）=冬则齐一£=2标士千（"Z）,

；・z=4万或工=4万+1（%GZ）,

二其切点坐标为（演，_乎）或（以+1,冷.GZ）...............................................................（12分）

［命题意图］该试题考查三角函数的图象与性质、射影定理、导数的几何意义等，数学能力思维方面

主要考查探索思维和拓展思维.

19.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（l,0,0）,C（l,l,0）,B（0,2,0）,P（0,0,2）.

当a=1时,

J___L

则加=（一t,1,0）,凉荷=（-1,0,1）.............................................................分）

设平面MDN的法向量为/n=（z,y,N）,平面DNC的法向量为n=（a,6,c）,

/•一"^i+y=0且一］+）+2=0,—Q+C=0且-a+6+c=0,令y=l,a=l,

则m=（2,l,l）,L=（l,0J）,...........................................................................................................（5分）

・/、3月

・・cos<m,n）=------=—,

V6XV22

工平面MDN与平面DNC的夹角大小为30°..........................................................................................

（2）证明：设M（x’，j/,/）,由DM=AMP,得（7,一1=/（-x9一,2—/），

（击'。'法）’

同理由益=宿，得Q（0,0,系），,荻=（一*，0,亳一落）................（9分）

A克=（0,2,—2）,BC=（1,—1,0）,设平面PBC的法向量为p=（x］，?1,百），

.••2山一2之［=0且％］—》i=0,令li=l,则p=（l,l,l）,.........................................................（11分）

，p•MQ=0,则一言7=0,即/=1+24..........................................................（12分）

［十人［十〃l-rA

［命题意图］该试题考查空间向量中的求夹角、线面平行等问题，是高考常考点，数学能力思维方面

主要考查创新思维和数形结合思想.

20.解：（1）证明：要证x+Ky（x）<7^-,即证x+,

设九（］）=1——x——1,.*./i，（x）=e'r——1,...........................................................................................（1分）

由，（z）>0,得z>0;由，Cz）V0,得1V0,..............................................................................（2分）

，九（1）在£=0处取得最小值，即/i（i）》/i（0）=0,.\eJ^x+l..............................................（4分）

r

当zG［0,1）时，•.•e>>r+l,用一1代替z,得6一工>1—1>0,

.•.e'&「一，结论成立，

.••不等式成立................................................（6分）

1-X

（2）・・・"21）=/,由题即证占（1―力）与u一工（1+彳）的大小，

xxz-JJ

g（x）=e（l—X）­e~~（l+x）9.*.g（x）=x（e-e）,.........................................................（9分）

x

当zG0,/）时9e~—e”40,.“（n）单调递减,

1+T

・・2（0）=0,・・・8（］）或0,即占（1一工）《心一丁（1+7），即有6本<二,得证...............（12分）

［命题意图］该试题考查利用导数证明不等式，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查构造思想

和等价变换.

21.解：（1）由已知得徵2=2力，且（1+5）+根2=2（1+~1~）,.........................................................（2分）

解得力=2,・••抛物线C的方程为y2=4x........................................................................................（4分）

(2)由(1)如P(l,2),设圆E：a+l)2+y2=，过点P的切线方程为夕一2=4殳-1),

|2-2川

设两条切线的斜率分别为际,七，：,

整理彳¥（4-/）/—86+4—r=0,...防七=1..................................................................（7分）

设直线AB方程为y=rr+〃，代入C的方程整理得02-4?+4〃=0,

•]4472

设AG1,）1）,B（Z2，》2），•••）1+山=7，》1?2=7，

V）—2V2—2164;?8