2023-2024学年贵州省六校联盟高三（上）联考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年贵州省六校联盟高三(上)实用性联考数学试卷

(一)

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.设Z=Iqj则IZ-Zl=()

A.0B.1C.2D.21

2.已知集合M={x∈N∣l0g2X≤2},N={x&/?||x-1|<3),则MnN=()

A.{x∣-2<X<4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.[1,2,3,4}

3.将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？()

A.6B.12C.3D.16

4.设函数/(x)=∙lg舒为奇函数，则实数α的值为()

A.-1B.0C.1D.2

5.设直线y=kx与双曲线C：a-1=l(α>0,b>0)相交于4,B两点,P为C上不同于4,

B的一点，直线P4PB的斜率分别为七，k2,若C的离心率为。，贝1味「七=()

A.3B.1C.2D.C

6.若函数f(x)=lg(l-ax)在区间(0,1)内单调递减，则实数ɑ的取值范围为()

A.(0,+∞)B.(0,1)C.(0,l]D.(-∞,0)

7.在锐角AABC中，若B=24,则簿的取值范围是()

A.(√7,<3)B.[-ɪ,ɪ]C.殍)D.(-ɪ,ɪ)

8.数列{α71}满足2%=2皿+&+1-1,且臼=1,若册"，则n的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

9.下列说法正确的是()

A.数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的70%分位数是7

B,应用最小二乘法所求的回归直线一定经过样本点的中心G，力

C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D.离散型随机变量f的方差D(f)反映了随机变量f取值的波动情况

10.已知抛物线C：y=αM的顶点为0,准线为y=-1,焦点为F,过尸作直线，交抛物线于M,

N两点（M在N的左边），则（）

A.ɑ=ɪ

B.若直线I经过点（-1,0）,则IMNl=T

C.线段IMNl的最小值为2

D.若丽=3而，则直线1的斜率为?

11.函数/（%）=ax3+bx2+ex÷d（a,b,c,d∈R）的图象如图yA

所示，则以下结论正确的有（）1l

zj

A….h+c。>0---尸--7--2K---------——i——►1

C.3a+2b+c<0

D.a+b+c>0

12.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，

六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6,现有一款闯关游戏，共有3关，规则如下：在第n关

要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于

2n+n,则算闯过第n关，n=l,2,3,假定每次闯关互不影响，则（）

A.挑战第1关通过的概率为I

B.直接挑战第2关并过关的概率为卷

C.连续挑战前两关并过关的概率为刍

D.若直接挑战第3关，设4=”三个点数之和等于15"，B="至少出现一个5点”，则

P（AIB）=《

二、非选择题（共90分）

13.已知向量解I=1,∣B∣=2，且位+3）12，则|2五-Bl=.

14.己知底面半径为2,高为4的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得体积相等的两

个几何体，则所截得的圆台的高为.

15.已知圆C：X2+y2-2y=0.过直线1：x+y+1=0上任意一点P,作圆的两条切线，

切点分别为a,B两点，则MBl的最小值为.

16.已知函数/(x)=sin(3x+骸3>0),相邻两个零点的距离为3⅛5(x)=sin(ωx+≡)-

α在区间［0,等］上有5个不同的零点，则5个零点之和的取值范围是.

17.在△4BC中，内角4,B,C的对边分别是α,b,c,且bsinC=Ccsin*

(1)求角B的大小；

(2)若b=6,且4C边上的中线长为4,求AABC的面积.

18.已知在正项数列｛αjl｝中，α1=当n≥2时，3吗+2αnαn-ι-WT=0.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(αn,n为偶数

(2)已知数列｛bn｝满足%=\2n为奇数，Sn为数列｛3｝的前几项和，证明：S2n<

Ilog1an(log1an+2Y

V33

9

8,

19.为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙

两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一位先赢得三局比赛时，

则该选手获胜，则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，旦每局比赛的胜负不受之前比赛结果影

响.假设甲在每一局获胜的概率均为P(O<P<1).

(1)若比赛进行三局就结束的概率为/(P),求〃P)的最小值；

(2)记(1)中，/(P)取得最小值时，P的值为po,以PO作为P的值，用X表示甲、乙实际比赛的局

数，求X的分布列及数学期望E(X).

20.如图，四棱柱48CD-4勺CIDI的底面4BCD为矩形，AD=2AB,M为BC中点，平面

A1D1DAJL平面ZBCD,iLAA1=A1D.

(1)证明:A1B1LA1Di

(2)若此四棱柱的体积为2,求二面角4-A1B-M的正弦值.

BM

21.已知椭圆c：多+巽=1经过点P(2,l).

aLα4-6

(1)求C的离心率；

(2)直线，交C于4,B两点，若直线PA,PB关于直线X=2对称，求，的斜率.

22.已知函数/"(x)=xlnx+ax+b在X=!•处的切线方程为X+y=0.

(1)求实数α,b的值；

(2)证明：函数/'(x)有两个零点X1，x2,且Xι+%2<e2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:拼=焉==>，吟

所以IZ-Wl=I-2t∣=√(-2)2=2.

故选：C.

由复数的四则运算结合模长公式求解即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由M={x∈/V∣log2x≤2}={1,2,3,4},

N={x∈β∣∣x-1|<3]={x∣-2<X<4},

则MCN=[1,2,3).

故选:B.

分别把集合"，N表示出来，然后找两个集合的公共元素即可.

本题考查集合的运算，不等式的解法，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由题意根据先分组再排列知共有空M秘=6种.

A2

故选：A.

根据平均分组的方法即可得到答案.

本题考查排列组合相关知识，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：若函数g(x)=Ig舒有意义，则有富>。，解得或x>l,

故函数g(χ)=IgM的定义域为(-8,-I)U(l,+∞),

因为g(一χ)=ig=Ig言=Ig(I)T=Tg号=一g(x)，

所以函数g(χ)=Ig舒为奇函数，

又/(X)=2--αx∙Ig宗为奇函数，则八(X)=2--αx为偶函数，

有∕l(-χ)=∕l(x),即2-+αx=2∕-αx,解得&=0.

故选：B.

函数/(X)=2--αx∙Ig舒为奇函数，函数g(χ)=Ig称为奇函数，则有函数∕l(χ)=2-一说为偶函

数，由∕ι(-x)=∕ι(x)可求实数a的值.

本题主要考查了函数奇偶性的性质与判断，考查转化思想与运算能力，属中档题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意可知点A,B关于原点对称，

设A(Xo,y°)，B(-×o--yo)>P(χ,y),

则有/C2=^fi,

X^QX+XQ

又4B,P都在双曲线上，

两式相减得卓=衰,

得(y-%).(y+yo)=g-l,

2

(X-X0)(x+xo)ɑ

即心•心=e?—1,

又由e—y∕~2>

则kι,⑥=L

故选:B.

设点4,B,P的坐标，代入双曲线方程，利用点差法化简可得∕q∙∕c2=e2-l,求值即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了运算能力，属中档题.

6.【答案】C

【解析】解:函数Fa)=Ig(I-αx)在区间((U)上单调递减，

由函数y=IgU在定义域内单调递增，

则函数U=I-ax在区间(0,1)上单调递减，且1一αx>O恒成立，可得O<α≤l.

故选：C.

由题意，利用复合函数的单调性结合函数定义域，求得实数α的取值范围.

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：在锐角AABC中，由B=24得C=7T-3A,

[0<24<—2ππ/—=r—=

于是π,解得巳<A<*?<CosA<孕，

所以胆=皿.=_J_ef≤2£1

SinBsin2A2cosAk3'2j

故选：C.

根据给定条件，利用二倍角的正弦，结合余弦函数的性质求解作答.

本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了余弦函数的性质，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列递推式，判断出数列｛2,工为公差是1的等差数列，并求得αrι=*是关键，考查分

析应用能力.属于中档题.

fl

依题意，得2+%n+ι-2nαn=l,可判断出数列｛2%n｝为公差是1的等差数列，进一步可求得

21的=2,即其首项为2,从而可得如=竽，继而可得答案.

【解答】

nn+1nn

解：V2an=2αn+1-1,即2+%n+ι-2an=1,

，数列｛2%九｝为公差是1的等差数列，

又=1,

1

ʌ2α1=2,即其首项为2,

n

：,2an=2÷(n-l)×l=n÷l,

n+l

••・an=~^n^∙

1315163,31

∙∙"1=1'ɑ2=?cl3=5'α4=i6>5,α≡=32=16<i5=5'

二若azι<则n的最小值为5,

故选:B.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于选项4因为1OX7O%=7,所以70%分位数是等=7.5,故A错误；

对于选项B：根据回归直线的定义可知：回归直线一定经过样本点的中心(五分，故8正确；

对于选项C由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C

正确；

对于。：由方差的性质可知：方差反映了随机变量f取值的波动情况，方差D(J)越大，波

动性越大，故。正确.

故选：BCD.

对于4根据百分位数的定义运算求解；对于B：根据回归直线的定义分析判断；对于C：根据残

差的定义分析判断；对于根据方差的定义分析判断.

本题主要考查了百分位数的计算，考查了线性回归方程的性质，以及方差的定义，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：4选项，抛物线的标准方程为/=；y,准线为y=—：,则α>0,

准线方程丫=一今=一：，解得α=",故A正确；

焦点尸(0,手，过F作直线1交抛物线于M,N两点，显然1的斜率存在，

设直线，的方程为y=kx+：,

y=依+；,

2整理得/_2∕cχ-1=0,J=4fc2+4>0恒成立，

{V=产

设M(Xl,%),No2/2)，

则与+X2=2k,x1x2=-1,

22-222

所以IMNl=√1+kyJ(x1+x2)4X1X2=ʌ/1+^V4fc+4=2(∕c+1),

8选项，若直线窿过点(一1,0),则A=；,IMNl=|,故B错误;

C选项，当k=O时，IMNl的最小值为2,故C正确；

。选项，由丽=3而，得一3xι=犯，

又XIX2=-1，Xi<0>×z>0，解得X]--ɪ.X2=<3，

又因为Xι+X2=2k,所以k=?,故。正确.

故选：ACD.

由抛物线方程的准线求α的值判断选项A；设直线/的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表

示出IMN代入点验证选项8；利用算式判断最小值验证选项C；利用所给条件解出久1，x2,得

到直线斜率验证选项D.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：由f(x)的图象可知f0)在(—8,—D和(3,+8)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，

/(尤)在X=-1处取得极大值，在X=3处取得极小值，

又/'(X)=3αχ2+2bx+c,即X=—1和X=3为方程3αx?+2bx+c=。的两根且α>0,

由韦达定理得-1+3=-"，-1x3=(,

3aɔɑ

.∙.b=—3a<0,c=—9a<O,b+c<O,bc>O,故A错误，B正确；

∙,∙3u+2b+c=3α-6α-9α<0,α+b+c=α+(—3α)+(—9α)=-Ila<0>故C正确，D

错误.

故选：BC.

由/(工)的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到X=-I和X=3为方程

3a∕+2bx+c=0的两根且a>0,利用韦达定理即可表示出b、c,即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于A中，闯第1关时，2"+n=2i+l=3,满足条件的点数有4,5,6三种情况，

所以挑战第1关通过的概率为Pi=3,所以A错误；

对于B中，直接挑战第2关，则2"+Ti=22+2=6,

所以投掷两次点数之和应大于6,即点数为(L6),(2,5),(2,6),…，(6,6)共21种情况，

故直接挑战第2关并过关的概率为P2=-It■浅/*=⅛,所以8正确；

对于C中，连续挑战前两关并过关的概率为P=PIP2=2x《=£，所以C正确；

对于。中，由题意可知，抛掷3次的基本事件有63=216个，

抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有63-53=216-125=91个，故P(B)=线，

而事件AB包括：含5,5,5的1个，含4,5,6的有6个，一共有7个，故P(AB)=1，

所以P(AlB)=需=&x誉=2，所以O正确.

故选：BCD.

根据题意，结合古典概型的概率计算公式，相互独立事件的概率乘法公式，以及条件概率的计算

方法，逐项判定，即可求解.

本题考查古典概型、相互独立事件、条件概率概率计算公式，属于基础题.

13.［答案］2√^^3

【解析】解：由0+E)j,有，可得α+w∙E=五日不=0,

又由I五I=LiEl=2,

可得有∙b=—1，

则∣2R一方I=J4a2+b2-4a-b=√4×1+22-4×(-1)=2<3'

故答案为：2，百.

根据题意，求得五不=一1，结合∣2Q-司=J4弓+人—4方］,即可求解.

本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

14.【答案】4-2√4

【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为2,高为4的圆锥，ʌ

用一个平行于底面的平面去截该圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，/：\

设所截得的圆锥的底面半径为r,则截得该圆锥的高为2r,Λ"^ioA

因截得两个几何体体积相等，所以截得的圆锥体积为原圆锥体积的一半，r'""io'''∖

所以兀∙r2×2r×^=^×7τ×22×4×^=∣π,得r=V4>

则所截的圆台的高为4-2r=4-2√4∙

故答案为：4—2V4∙

根据题意，设所截得的圆锥的底面半径为r,由于截得的圆锥体积为原圆锥体积的一半体积，利用

体积公式可得截得的圆锥半径为r=源，进而计算可得答案.

本题考查圆锥、圆台的体积计算，注意圆锥、圆台的结构特征和体积计算公式，属于基础题.

15.【答案】∖Γ^2

【解析】解：由题意得，圆C：/+y2-2y=o的圆心为C((U),半径为r=ι,

如图所示，

根据圆的切线长公式，可得∣PA∣2=∣PC∣2-I,

11

则S四边形PBS=l^∣μc∣×i×2=∖PA∖=l∖PC∖∖AB∖,

当IPCI取最小值时，IABI取最小值，此时P(-1,O),贝IJlP*=1,∣PCl=C，

则

MBljnin=C∙

故答案为：›Γ^2∙

根据圆的切线长公式，结合∣P4∣∣4C∣x；x2=IP川=TlPClMB利用圆的性质，即可求解.

本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题.

16.【答案】［学,等)

【解析】解：由题知T=即=兀，所以3=2,即/(%)=sin(2x+［),

(i)O

区间［0,笔］上方程sin(2x+≡)=α有5个不同实数根,

令2久+，=2kττ+eZ,解得％=∕ot+g,keZ,

OLO

分别令k=0,1,2得三条对称轴分别为X=Mr,萼

ODO

/(0)=ɪ,令2%+[=2ATr+],k∈Z,解得X=2kπ,keZ,令k=1,则%=2冗,

/、/2OO

作出图形如图所示,

∣∣..._4Tr28ττ/24Tr26π

则m+%2+%3+%4l+%5=适+近+%5(五≤xS<五)λ，

所以鬻≤与+%2+£+/+料<缪，贝方个零点之和的取值范围是［学,等).

故答案为：1号,等）.

由函数的最小正周期得到3,作出函数图像，问题转化为区间⑼写］上方程Sin（2x+*=α有5个

不同实数根，利用曲线的对称性和正弦函数的性质，求5个零点之和的取值范围.

本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,考查了数形结合解题思想，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为BsinC=y∕~3csin^,

由正弦定理得：SinBsinC=∖Γ^3sinCsin^,

因为C∈(O,τr),

所以SbIC≠0,

故SiTIB=√-^sinp即2sinɪcosɪ=√^3sinp

因为?∈(0,ɪ)»

所以SinsH°,

故COS5=?，

所%=£

ZO

所以B=热

(2)设4C的中点为0,

则2前=元+瓦?，

两边同时平方得：4BD2=（BC÷BA）2=瓦瓦丁+2前瓦彳,

因为b=6,BD=4,8=*

所以64=α2+c2÷Qe①，

在^ABCvV,由余弦定理炉=a2+c2-2accosB,可得36=ɑ2+c2-CIC②,

由①一②可得2QC=28,

则QC=14,

所以SMBC=IacsinB=ɪ×14×ɪ=

【解析】（1）由题意利用正弦定理和倍角公式化简得COS?=?,可得角B的大小;

（2）利用中线的向量性质2前=近+瓦?，结合余弦定理求出ac的值，利用三角形的面积公式即

可求△ABC的面积.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量数量积的运算，考查了计

算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】(1)解：由3成+2α7lanT-成T=O(TI≥2),得(3αjl—即_])(即+即-i)=。，

•••数列｛斯｝的各项都为正数，∙∙∙αn+α71-ι>0,∙∙∙3αfl-artT=0,即a=X∏≥2),

an-lɔ

.・•数列｛arι｝是首项为最公比为寺的等比数列，

∙∙∙«n=(∣)n∙

n

(2)证明：由(1)知，an=φ,

..._______2_____2__,_1___1_______,

∙∙,ogιQ∏∙(IogIan+2)n(n+2)nn+2>

_偌)n,n为偶数

为奇短

∖nn+2

••・Szn=(瓦+力3------½n-l)+(½+①H--------Fb2n)

=α-5)+⅛-∣)+-+(2⅛-⅛i)+lφ2+Φ4+-+φ2n]

()n

一1__1MT)I_9__1__IAn

一。2n+lj+1-19-82n+l8(9),

∙∙F6N*,.♦・盛+日扔>。，

Q2,

82n÷l8k978

故S2n<一得证.

【解析】(1)对已知等式分解因式，结合各项都为正数，可得善-=[(>≥2),从而知｛即｝是首项

an-lɔ

为公比为：的等比数列，进而求出｛αjl｝的通项公式；

((⅛r,n为偶数

(2)由(1)可得%，再利用分组求和法与裂项求和法，可得证.

〔;急n为奇数

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，裂项

求和法，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)三局就结束比赛的概率为f(p)=p3+(i-p)3,

由尸(P)=3p2-3(1-p)2=6p-3,

11

当0<p<ʌ,f(p)<0；当5<p<IJz(P)>0,

所以f(P)在(0段)上递减，在《,1)上递增，

所以，当p=2时，/(P)取得最小值为a

(2)由⑴知，P=PO=全

设实际比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,

所以P(X=3)=G)3+(1_；)3=；,

=

ɔ(/

P(X=5)=2×C^i)2×(1-∣)2×ɪ=|>

X的分布列为：

X345

133

P

488

133

338

4-8-8-

【解析】(1)若比赛进行三局就结束，则甲连胜三局或乙连胜三局，求出概率/(P),利用导数求/(P)

的最小值；

(2)由(1)知PO的值，X的可能取值为3,4,5,依次计算概率，列分布列，利用公式求数学期望E(X).

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

20.【答案】⑴证明：因为平面4也DA_L平面4BCD,

平面4ιDιZλ4n平面ABCD=4。，力8u平面ABCD,ABLAD,

所以力B_L平面41。山4,

因为48〃4&，所以公务1平面45D4,

又因为4。U平面为ADA

所以LA1D.

(2)解:取40中点。，连接Al0,因为4送=Al0,所以410J.4D,

又因为平面，平面4BCD,

平面A也ZMn平面ABCD=AD,

所以4。1,平面ABCD,

所以为四棱柱ABCD-AlBlelDI的高,

设AB=a,则AD=2a,OA1=a,

所以四棱柱的体积V=S平行四边形asCDX0"ι=αX2αXα=2ai=2,

解得α=1,

以。为坐标原点，OM,OD,西为X，y,Z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),B(l,-l,0),C(l,l,0),£)(0,1,0),AI(0,0,1),M(1,0,0),

A^D=(0,1,-1),丽=(0,1,0),A^M=(l,0,-l)>

因为力B_L平面TMlDIO,所以AB_LAiD,5LA1DIA1A,A1AnAB=A,

所以AlD，平面所以平面44]B的一个法向量元=中=(0,1,-1),

设平面的一个法向量为芯=(x,y,z),

则j⅞.而^=X-Z=0.

I芯∙BM=y=0

令X—1,则通—(1,0,1),

设二面角4-A1B-M的平面角为0,

则ICoSol=磊1=总茏=3，

所以SinO—√1-cos20=三，

即二面角A-A1B-M的正弦值为

【解析】⑴推导出4B_L平面AlZ)In4,A1B11^A1D1DA,从而4祖141。；

(2)取AD中点0,连接力1。，则&。1AD,推导出40_L平面4BCD,由四棱柱的体积求出AB=1,

以。为坐标原点，0M,OD,西为X,y,Z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

二面角A-A1B-M的正弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属中档题.

21.【答案】解:⑴因为椭圆C：马+£=1经过点P(2,l),

将点P(2,l)代入C,可得2+/=1，即＜χ4-llα2+

24=0,

解得。2=8或a?=3(舍去)，

所以α=2ΛΛ^2,

又因为C2=Q2一(Q2-6)=6,

所以C=，石，

所以椭圆C的离心率为e=£=*.

a2

(2)由(I)可知C的方程为［+4=1，

oZ

由题意，直线斜率存在，

设，：y=kx+τn,且力QLkXl+m),B(x2,kx2÷m),

一

一

2

联立方程组•+整理得(4攵2+I)X2+Qkmx+4m-8=0,

则4=(8fcm)2一4(4fc2+l)(4m2-8)>0,可得m2<8k2+2,

r∣.8km4m2—8

且％1÷X=-------2—,%1%2=-?-

24∕C2+14√+l

因为直线PAPB关于直线％=2对称,

所以ZCPA+kpB=0,

可得竺也曰+如也E=0,

X]—