高中数学知识

高中数学知识汇总

1.集合与常用逻辑用语

概念一组对象的全体.xeA.x年Ao元素特点：互异性、无序性、确定性。

子集工£.4=工w8o.4q8。0cJ：

关系真子集re,4n.Ve5,3x0wB.x0正.40.4uBA^B.B^C=>AQC

集相等AB.BAoA=B〃个元素集合子集数2”。

合

交集」Cl5={x|veJ,且.v€B}g(.4UB)=(CuzOn(Q.B)

运算并集.4U5={.v|xw4MA-e8}Cv(Ar\B)=(CvA)U(CuB)

集C(CA)=A

补集CA={x|xe(7且：veJ}VV

合V

概念能够判断真假的语句。

常原命题：若p,则g原命题与逆命题.否命题与逆否命题互

用命题四种逆命题：若g,则p逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命

魏互否：原命题与逆否命题、否命邈与

逻命题否命题：若rp,则一g

1逆命逊互为逆否.互为逆否的命题等价.

辑常逆否命题：若一1<?.则rp

用

用充分条件p=q,p是g的充分条件若命题p对应臬合j,命邈q对应集合

语工充要

必要条件png.g是p的必要条件B.则p=>q寻价于.4qB,p0夕等

辑条件

p。q.p.q互为充妥条件价于A=B0

用充要条件

语或命题pvg.p,1有一为真即为真，p,夕均为假时才为假。类比集合的并

逻辑

且命题pAt7.p,夕均为其时才为真.p.q有一为假即为假。类比集合的交

连接词

非命题—p和P为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补

全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命邈。

量词

存在量词3.含存在量词的命题叫特称命题•其否定为全称命题。

2.复数

规定：产=-1：实数可以与它进行四则运算,并且运算时原有的加、

虚教单位

乘运算律仍成立.j“=U""2=-1/"3=-«XeZ）.

形如。+加m.beR）的数叫做复数，。叫做复效的实部，b叫做复数

概念复数

的虚部。6工0时叫虚敷、。=0力=0时叫绝虚数。

复数相等a+bi=c+di(a、b,c、dwR)oa=c、8=d

共蛆及数实部相等，虚部互为相反数。即z=q+bf,则z=〃一次。

加减法m+bi)±(c+dj)=m±c)+(b±d)i,(a,bx.deR)

复数o

乘法(a+bi)(c^-di)=(ac-hd)+(bc+ad)i,(o,瓦c.deR)

运算

除法(a4-dz)4-(c+rfz)=-----H■■―----w0,a,bcdeR)

(r+d-L+d-

几何复数z=a+'<——妇-8.平面内的点2（。力）<——J向量。2

意义向量02的模叫做复数的模.目=>//+〃

大多数复数问题，主要是把复数化成标准的z=a+加的类型来处理,若是分数形式z="2,则首

c+di

先要进行分母实数化（分母乘以自己的共能复数），在进行四则运算时，可以把i看作成一个独立的

字母，按照实数的四则运算律直接进行运算,并随时把「换成-1

3.T工面向量

向量既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

重6向量长度为0,方向任意的向量。【。与任一非零向量共线】

要

平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

概

念向量央向起点放在一点的两向量所成的缸范围是[0.打。工花的夬角记为＜£]＞.

投影<aj)>=0,bcos6＞叫做石在£方向上的投影。【注意：投影是数量】

ci.⑥不共线，存在唯一的实效对（2,〃），使。=2ci+〃生。若的，诙为工,y轴上

重基本定理

要的单位正交向量.（2,〃）就是向量。的坐标。

法一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解）

则a.b（石共线=存在唯一实数之，

共线条件

定(X|，H)=A(x,,y,)<»xty2=x2yt

a=Ab

理

垂直条件aLb<=>a*b=0。Xi)\+x2y2=0o

加法法则的平行四边彩法则、三角形法则。a+1=(Xi+/4+%)0

平

三：:-算律a-¥b=b+a,(。+b)+c=〃+(b+c)与加法运算有同样的坐标表示。

面

法则一的三角形法则。

向减法43a-b=(xi-x2,y1-y1)

量

运算分解

MN=ON-OM.MN=(.xN-xu.yN-yM),,

A-a为向量，几＞0与4方向相同.

概念2＜0与。方向相反，,《=根|卜’Aa=(Ax,Ay)o

数乘

各

运算

种z(//a)=(初)。，(x+〃)"=Xa+,

算律与数乘运算有同样的坐标表示。

运A(a+b)=Zo+无

算

桩念a-b=\?|cos<a.b>

a*b=xtx2+卯”

|fl|=Vx；+K.

小£主要a*a=|i/|',标1邛雨。

一性质卜三十yJJV亚+y;-&+y；

3

a*b=b*a,(a4-b)*c=a*c+b*c,与上面的数量积、数乘等具有同样

(Aa)*b==X(a*b)»的坐标表示方法。

4.算法、推理与证明

顺序结构依次执行程序框图,是一种用程序

逻辑<->框、流程线及文字说明来表

条件结构根据条件是否成立有不同的流向

结构示算法的图形。

算法循环结构按照一定条件反复执行某些步骤

基本

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语■句、循环语句。

语句

归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。

合情推理美比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推

推理

理。

演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规,则）导出特秣性命迎为真的推理.

综合法由已知导向结论的证明方法。

推理

直接证明

与分析法由结论反推已知的证明方法。

证明证明

间接证明主要是反证法,反设结论、导出矛盾的证明方法。

教学归纳法是以自然数的归纳公理敝为它的理论基础的.因此.数学'）3纳法的适用范

围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n。（例如np1）时

归纳

结抡正确；然后假设当"kOteN,.kN/）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

法

5.不等式、线性规划

(1)a>b,b>c^>a>c；两个实数的顺序关系：

a>boa-b>0

(2)a>b,c>0=>be；a>b,c<0=oc<be：

a=b=a-b=0

(3)a>a+c>b+c：a<b<=>a-b<0

不等式的

性质(4)a>b,c>d=a+c>b+d:

a>bo—<—的充要条件

(5)q>b>0,c>d>0=>ac>bd：ab

是4b>0。

(6)〃>b>0,neN\n>\=>an>b'^y/a>\[b

解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实效根），再结合对

一元二次应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区阿，在含有字母参数的不等式中还要根据参数

不等式的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向,从而确定不等式的解集.

a+b>2\[ab(。力>0)：ab<(0+^)2(a,Z>eR)：

4^b<—2

基本2

不等式

(a>0⑦>0)

二元一次不等式41-+丹丫+。＞0的解集是平面直角坐标系中表示.小+21，+。=0某一例所

二元一次有点组成的平面区域.二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公

不等式组共部分。

6.计数原理与二项式定理

完成一件事有〃类不同方案,在第1美方案中有町种不同的方法,在第2美方案

分类加法

中有m?种不同的方法，…，在第〃类方案中有加”种不同的方法.那么完成这件

计数原理

士才、事共有N=叫+叫+…+叫种不同的方法.

原理完成一件事情，需要分成〃个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有，叫

分步乘法

种不同的方法……做第"步有"7“种不同的方法.那么完成这件事共有

N="八X"7?X…X，”“种不同的方法.

从"个不同元素中取出，个元素,按照一定的次序排成一列，叫做从从”

定义个不同元素中取出，"（，"4〃）个元素的一个排列.所有不同排列的个数，叫做从”

排

列排列个不同元素中取出"，（，"V"）个元素的排列数.用符号/:表示。

加

排列数〃！

合4,=w(/7-l)(w-2)--(w-7w+l)=-----——(〃，meN»ni<n).规定0!=l.

公式(n-m)!

限从”个不同元素中,任意取出m（m＜n）个元素并成一组叫做从"个不同元素中取

式定义出，”（，"4〃）个元索的组合.所有不同组合的个数，叫做从"个不同元,素中取出

定

川。"4”）个元素的组合数，用符号C；表示.

理

组合Qm_"("I)(〃―/〃+1)gm-丈

公式

性质C；=eN,且m<〃):C^.,=C；+C^'(m.neN」Ln<n).

定理(a+b)"=Q"+C：a“"b+■■■+C：aS+■■■+C；b"(C；叫做二项式系数)

二项rr

通项公式Tr^=C[a"'b(其中04k4”,keN,neN')

式定

理系数和—C；JTC；=C：：；：C>C>C；+-+C；+-+C：=2"：

公式m-Y+C+C+…2"T£+2c：+3C；+…+〃C：="2"T.

7.函数、基本初等函数I的图像与性质

0<a<\（YO,+8）单调递减，x<0时y<1,K>0时0<yv1

指数函数函数图象过

y=ax定点（0,1）

a>1（YO,+00）单调递增，x<0时0<歹<1,x>0时y>1

基本

初等0<a<\在（0,+o。）单调递减，0cx<1时y>0.k>1时y<0

对数的数函数图象过

函教

定点（1.0）

1

a>1在（0,*＞。）单调递增，0<x<1时y<0,x>1时y>0

a>0在在（0,*＞。）单调递增，图象过坐标原点

冢的数函数图象过

y=xa定点（1,1）

a<0在在（0,+8）单调递减

8.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式△=/>，-4acA>0△=0A<0

二次的数y=ax2+bx+c

（4>0）的图象1*JL

有两个相异实数根

一元二次方程or:+bx+c=0-Z>±VA有两个相等实数根

X,=-------

2ab没有实数根

（。>0）的根la

（X1<X2）

ax2+bx^c>0

［巾<•土或X>

}2aJR

(。>0)

一元二次不

等式的解集

ax2+bx-^c<0

卜卜；<x</}00

(a>0)

9.函数与方程、函数模型及其应用

方程/(X)=0的实数根。方程/(X)=0有实数根=函数J，=/(.V)的图象与K轴有交

梃念

函数点=的数j，=/(A)有零点.

零点

存在定理图象在句上连续不断,若/(a)/(b)<0,则>，=/(x)在(。力)内存在零点.

对于在区间［a力］上连续不断且/(a)・/(b)<0的函数j，=/(x),通过不断把函数

方法/(.V)的零点所在的区间一分为二，便区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近

似值的方法叫做二分法.

第一步确定区间［a,可，验证/(a)-/(b)<0,给定精确度£.

二第二步求区间［〃,可的中点C：

分

法

步骤

计算/(c)：(1)若/(。)=0,则c就是函教的零点：(2)若/(a)/(c)<0,

则令b=C(此时零点10£(。,。))：(3)若/(。)・/(6)<0,则令1=0(此

第三步

时零点小£(。.6)).(4)判断是否达到新确度£:即若则得到零

点近似值a(或,b):否则重足(2)〜(4).

概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。

阅读审题分析出已知什么,求什么，从中提炼出相应的教学问题。

函数数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式。

建模

解<步骤

解答模型利用教学方法将出函数模型的教学结果。

解禅模型将数学问题的结果转译成实除问题作出等案。

10.导数及其应用

概念概念函数v=/(.V)在点x=.%处的导数/'(.")=lim.

AiiOAx

与儿

何意

几何/1（Ao）为曲线y=f（x）在点（x0,/（x0）处的切线斜率，切线方程是

义

■:x

y-/（o）=/Xx0）（x-xQ）o

C=0(C为常数)：(f)'=〃fT(〃wN・)：

以T：

(sin.v)'=cosx»(cosx)'=-sin.v：

基本

(exy=e\(ax)f=a'Ina(a>0,且〃工1)：

公式（同加=［。

(ln.v)r=—t(logx)f=—loge(a>0,且〃H1).

XoXfl

运算

[/(A)±g(X)]‘=f'(X)±g'(A)：

[/(A)«g(A)T=/'(X)・g(X)+/(.V)«g'(A),q(x)r=g):

运算

「州'(Xx)f(x)⑸丰)

法则」吟算90,'1=g'(x)

I_g(x)」g-(x)_g(x)_g-(A)'

复合的数求导法则F=[/(g(-v))]'=/'(g(x))g'(A)

导单调性/'（工）〉0的各个区间为单调递增区间：/1（.¥）<0的区间为单调递减区间。

数

研究极值/'（%）=且/在飞附近左负（正）右正（负）的.%为极小（大）值点。

及0'（X）

其

性质［4句上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极

应最值

大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。

用

/（T）在区间0,,5］上是连续的.用分点4=/<Xj<•<

区间［4可等分成〃个小区间，在每个小区间［r^pA；］上任取一点自

3=1.2,…（d/（xWr=limY-——

Jon-**〃it''

如果/(A)是[。,句上的连续函数，并且有F'(A)=/(A),则

fb

定理\f(x)dx=F(b)-F().

Jaa

定积

分

J：炉（.丫处=可：/（》处（★为常数）；

vv

性质f［/（x）土g（,）换=f/（x比土fg（,2:

J：/（x>/.v=J：/（.v冲+J：f（x）dx.

区叫。，句上的连续的曲线r=f（A）,和直线.¥=。1=仇。。力）,丁=0所四成的曲

简单

边栉彩的面积S=『|/（工）口.¥<»

应用

11.三角函数的图像与性质

定义任意角a的终边与单位圆交于点P(x,v)时，sina=y,cosa=x,tana=—.

X

同角三角.,.sina

sin'2a+cos*a=L----=tana

函数关系cosa0

诱导公式360。士a,180。士a,-a,90。±%270。±a,“奇变偶不变，符号看象限”.

值域周期单调区间寺偶性对称中心对称轴

7T一，7T_,.v=

增—+2片;r.一+2k打

y=sinx2ET22

[-11]奇函数(打T.0)kjt4—

(A-€R)/T.3zr,2

角减—F2k加、-----F2k汽

A22

三

数

角

的

函

性

数

质y=cosx增卜;

的r+2%/r,2Avr](A'/T+—,0)

(xeR)[-M]2krr偶函敷x=kn

图与

减[2Avr,2Kr+”]

象图

与*

性

质y=tanx

昌。)

地

(.VHAvr+工)Rkn1一彳十片;7;彳+左乃j奇函数无

2

上下平移y=/(x)图象平移阳得y=/(x)+k图象，£＞0向上，才＜0向下.

平移变换

左右平移＞'=/(x)图象平移|夕|得J'=/(x+8)图象,夕＞0向左,8＜。向右。

图

象v=/(X)图象各点把横坐标变为原来。倍得1，=/(•!•*的图象.

X轴方向

变CD

伸缩变换

换

y轴方向),=/(X)图象各点纵坐标变为原来的」倍得)，=.4Ax)的图象。

中心对称y=/(X)图象关于点(4.力对称图象的解析式是y=2b—/(2。-X)

对称变换

轴对称y=f(x)图象关于直线k=。对称图象的解析式是=f(2a-.v)。

12.三角函数的图象与性质：

函数正弦函数余弦函数正切函教

图象rm

{x|x=#—+kn,ke

定义域RR2

z)

值域[-1,1][-1,1]R

周期性2n2nn

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增[-C+2kn,—+2kn]增区间[-n+2kn,2kn]增区间

减区间[2kn,n+2kn]

单调性22(一尹n,/n)

递减[£+2kn,—+2kn](kGZ)

22(kGZ)

对称轴X=£+kn(kGZ)x=kn(kEZ)无

2

对称中

(kn,0)(k£Z)(-+kn,0)(kGZ)(k|,o)(kez)

心2

13.三角恒等变换与解三角形

和差角公式倍角公式

正弦sin®±p).、2taila

sin2a=2sinacosasinla=-----；-

=sinacosp±cosasinfi1+tan-a

-1-tan'a

cos2a=cos2a-sin*acosla=-----：­

变换cos(a±p)1+tan-a

余弦

公式=2cos2a-I=l-2sin~(•，1-cos2a

=cosacosp干sinasinpsin'a=--------

2

1+cos2a

,工“、tana±tanZ?cos-a=--------

tan(a±，)=----------—.2tana2

正切1qptancztan/?tail2a=-----；-

1-tan-a

a-b_c

定理o

sinAsinBsinC0

射影定理：

a=2/?sinA,b=2RsinB、c=2RsinC(H外接圆半

正弦变形a=bcosC+ccosB

径)。b=acosC+ccosA

c=acos8+bcosA

类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。

定理a2=b2+c2-2bccosA.b2=a2+c2-2accosBx1=/+b2-ZabcosC。

■.b2+c2-a2(b+c)2-a2一。

变影cosJ=----------=------------1寸。

2bc2bc

角类型两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。

恒

等塞本

S=-a-h=-b-h.=-C'h.=-«6sinC=—Z>csinJ=—acsinB。

变公式2a22222

换

公式L1

导出

与S=——（H外接圆半径）；S=-m+b+c»（，•内切圈半径）。

解公式4R2

把要求解的量归入到可解三角形中。在实除问邈中，往往涉及到多个三角形，只

基本思想

要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。

彩

仰

视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角。

角

俯

视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。

由

应用

方

常用术语方向角一般是指以观测者的位更为中心,将正北或正南方向作为起始

向

方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角.如北偏西30°）o

角

方

住某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。

的

14.等差数列、等比数列

数列｛4｝中的项用一个公式表示，。“=/(〃)S；,〃=l,

一般通项公式

数列

｛叫

前n项和s“=a,+a,+-+a„

。向=。“+/(")型

累加法

型

累乘法

简单解决递推数列问题的

的递。用=P4+伏P”“(PH0.1©工0)=鼻=t+q基本思想是“转

推数转化法PP化”，即转化为两类

列解基本数列----等差数

法列、等比数列求解。

4+1=。/+d(c=°・LdH°)=%+2=c(an+2)。

数待定比较系数得出。,转化为等比数列。

列系数法

'等

满足(常数)，">0递增、d<0递减、"=0常数数列。

概念

差

散

列

通项4a+"“=4p+4gow+〃=p+g。

等'<*a„=a+(n-\)d=a„+(n-m)d

数列公式l

比。阳+%=2ap=〃?+”=2p。

数{%}

列

前〃项

SaW—S",."-葭，…为为等数列.

和公式

满足：(的常数).单调性由％的正负，的范围确定。

概念a”M°“=qqx°q

通项a”““=a/qO，"+”=P+q，

a〃=%qZ

公式a”a“=a；ow+”=2p

数列

｛4｝

.-1.g不1.

前〃项Sc"=ji-qi-q公比不等于一IB九

和公式5删£・一5刑33-s2，…成等比数列。

narq=1.MlMl

15.数列求和及其数列的简单应用

c/?(??-1).n(a.+a),,公.n(n+\)

等差数列S=na.----~特别n1+2+r3t+…-----------------«

n1222

q(i-Q..q-q[

等比数列S“=(\-q—\-q'9特别1+2+2?+…+2"-'=2"-l。

用

求narq=1.

和

公

自然教.2,,2,,2,(2"+l),,」，,."("+1乂2"+1)

式1+2+3+…+n=(1t2i••■,+1n)—0

平方和36

自然数2

救F+2*+…+/=(1+2H----卜n)=

立方和

列2

求

和

公式法如q,=2+2w,aw=3"•

及

数

分组法如a=In+2",a=(-1)"〃+