中考数学复习策略11 相似三角形中的“A”字模型

第口讲相似三角形中的“A”字模型

【应对方法与策略】

模型展示:

∆nApDE

(1)如图1,DE//BCdAQEs^^-=--=-^

abcγAnACZ>C

AnApDE

(2)如图2,ZAE,D=ZB^ADE^∆ACB<≠τ^=T3=3F∙

ACADDC

ΛΓ)ΛΓΓΓ)

（3）共边共角模型，如图3,ZACD=ZB<=^AoCSZ∖ACB<≠^;=诟=旅.

【多题一解】

一、单选题

1.（2021•山东滨州・统考中考真题）在锐角-ABC中，分别以AB和AC为斜边向一ABC的外侧作等腰

RjABM和等腰RtACN,点。、E、F分别为边48、AC.BC的中点，连接MD、MF,FE、FN.根据题

意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：®MD=FE,②NDMF=NEFN,③FMLFN,

④SACEF=TSIM琢诋，其中结论正确的个数为（）

【答案】B

【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接OREN,通过

SAS定理证明AM。F四ÆFEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论

③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④.

【详解】解：：。、E、产分别为边AB、AC.BC的中点，且AABM是等腰直角三角形，

ΛDM=IAB,EF=ABfEF//ABiNMDB=90。,

；.DM=EF,NFEC=/BAC,故结论①正确；

连接。F,EN,

MK--------------A

T。、E、尸分别为边AB、AC.BC的中点，且aACW是等腰直角三角形,

ΛE7V=∣AC,DF=ACfDF//AC,NNEC=90。,

：.EN=DF,NBDF=NBAC,ZBDF=ZFEC9

：.NBDF+NMDB=/FEC+NNEC,

：./MDF=ZFEN,

在^MD尸和△FEN中,

MD=EF

</MDF=/FEN,

DF=EN

.∖∕∖MDF^ΛFEN(SAS),

ΛZDMF=ZEFN9故结论②正确；

*：EF//AB,DF//AC9

・・・四边形AO正是平行四边形，

・・・NDFE=/BAC,

又Y∕∖MDFm丛FEN,

：./DFM=/ENF,

：.ZEFN+ZDFM

=NEFNMENF

=180。-NEEN

=180o-(∕FEC+/NEC)

=180o-(ZBAC+90o)

=90o-ZBAC,

/.NMFN=/DFE+NEFN+NDFM=NBAC+9U0-NBAC=900,

∙∙∙MFLFN,故结论③正确；

∖'EF∕∕AB,

：.l\CEFsχcAB,

.EF1

•・--——，

AB2

,,,。S.FC_一，1

.∙.SΔCEF=ɪS^ABFE,故结论④错误，

.∙.正确的结论为①②③，共3个，

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角

形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

二、填空题

2.（2023•全国•九年级专题练习）如图，矩形ABC。中，AD=2,AB=A,4C为对角线，E、尸分别为边

AB,C。上的动点，且EFSAC于点M,连接AF、CE,求AE+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】A尸与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作CG//EF,

且CG=EF,连接AG,又因点尸是。C上是一动点，由三角形的边与边关系4F+FG≥AG,只有当点F

在直线AG上时，A尸+AG最小，由平行四边形CEFG可知尸G=EC时，可求AF+CE的最小值

【详解】解：如图所示：过点C作CG〃所，且CG=EF,连接FG,

设。F=x,贝IJFC=4—x,

当点A、F、G三点共线时，AF+尸G的最值小,

VCGHEF,且CG=所，

二四边形CEFG是平行四边形；

ΛECHFG,EC=FG,

又Y点A、F、G三点共线，

二AFIIEC,

又•；四边形ABC。是矩形，

ΛAEHDC,ID90?,

.∙.四边形AEC尸是平行四边形，

又,：EFLAC,

四边形AECP是菱形，

.∙.AF=FC=4-x,

在RrADF中，由勾股定理得：

AD2+DF2=AF2,

又∙.∙AD=2,DF=x,则AF=4—x,

.∙.22+X2=(4-%)2,

3

解得：x=j

2

在R/.AOC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以4C=2√5

AM=君,

又•：MF//CG,

ΛZAMF=ZACGfZAFM=ZAGCf

：.YAMFfACG,

.AMAF

•∙,

ACAG

5

即正=工_,

2√5-AG

：.AG=5,

XVAG=AF+FG,FG=EC,

ΛAF+EC=5,即最小值是5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短

距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定.

3.（2021・福建厦门•福建省同安第一中学校考一模）如图，函数y=&（Z为常数，k>0）的图象与过原点

X

O的直线相交于A、8两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交X

MF2MD

轴、y轴于C、。两点，连接BM分别交X轴、y轴于点AF.若黑=：，则*=_______.

MB5MA

【答案】2

【分析】过4作AG_Ly轴于G,轴于//,过B作BN_Ly轴于N,由点A,B关于原点对称，可得

〜…n”-,-rʌAMF2〜曰MHMH2,

°4=°B'AG=BN,可r证4MHFS^BNF,可求而=而=马,可得而=而=§,由

生=也=2,可求也=2即可

DAGA3AM

【详解】解：过A作AGLy轴于G,MHJ_y轴于”，过B作BALLy轴于N,如下图:

・・MJ2

*MB~5

.MF2

..---=一

BF3

由题意可得：点A，B关于原点对称，

二OA=OB,AG=BN,

YBALLy轴，M∕ΛLy轴，AG_Ly轴

.∙.BNIIMHIIAG

：.4MHFSABNF,ADHMs∕∖DGA

MHMF_2DM_HM

,~BN~~FB~3f~DA~~AG

MHMH_2

——，

9~AG~~BN3

DMMH_2

DAAG3

.,.DM=-DA

3

MDDM

而一DA-DM

故答案为2.

【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相

关基本性质是解题的关键.

4.（2022.江苏•九年级专题练习）如图，在RLAeC中，NAcβ=90。,AC=BC=6,。是AB上一点，点E

在BC上，连接8,AE交于点凡若NCFE=45。,8。=2/1£）,则CE=.

A

D

Cf-----------'B

【答案】2

【分析】过。作DH垂直AC于H点，过。作£>G〃AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出Co的

长，其次利用GSC8。，求出CG的长，得出BG的长，最后利用一8。GSBAE,求出BE的长，最后

得出答案.

【详解】解：如图：过。作垂直AC于H点，过。作。G〃AE交BC于G点,

：在RtABC中，AC=BC=6,

AB=√AC2+BC2=6√2，

又BD=2AD,

.∙.ΛD=2√2，

.∙.在等腰直角三角形AWE＞中，AH=DH=2,

二C"=6-2=4,

在Mcw。中，CD=JCH2+DH。=2石，

'：DG//AE,

,ZCFE=ZCDG=45o,ZB=45°,

二NCDG=NB,

又，：NDCG=NBCD,

：._CDGSHBD,

.CDCG

・・--=---，

CBCD

・・・CD2=CGCB,

即20=6CG,

.E10

..CG=—,

3

1()Q

：,BG=BC-CG=6-=2,

33

又,：DG〃AE,

：・.BDGS..BAE,

又＜BD=^AD,

..,-B-D=--B-G=一2

BABE3

又BG=∣,

3

/.BE=BGX—=4,

2

.∙∙GE=6-4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做

出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

5.(2022春•广东汕头•九年级汕头市龙湖实验中学校考阶段练习)如图，NMPN=90。，边长为6的正方形

ABCD的顶点A、B分别在边尸M、PN上移动，连接PC,。为PC上一点，且PQ=2QC,则线段BQ长度

的最小值为.

【答案】√17-1⅛*-1+√17

【分析】根据题意，取A3的中点E,连接PE,EC,过点。作QF//PE,过点/作尸G_L3C,当尸,Q,B三

点共线时∙，BQ取得最小值，勾股定理求得8尸，根据BQNBF-Q尸求解即可.

【详解】如图，取AB的中点E,连接EC,过点。作。尸//PE,过点F作尸GLBC,

,AB=6,/MPN=90。

.∖PE=-AB=3

2

QFHPE,PQ=2CQ

:..CFQs,CEP

3=更=L

'EP—PC―3

s.QF=∖

四边形ABCD是正方形，FGlBC

:.FGHEB

.-CFG^CEB

CGCF1

--=---=一

CBCE3

.-.CG=2

..BG=4

.∙.BF=BG1+FG2=√17

BQ≥BF-QF=y∕∏-l

，破的最小值为布_1

故答案为：Tn-I

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添

加辅助线是解题的关键.

三、解答题

6.（2021秋.九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5π√,一条直角边A8为1.5m,怎样才能把

它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位

木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

（甲）（Z）

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.说明见解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合

要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得

到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角

形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求.

【详解】解：作B∕∕"L4C于H,交OE于如图

；AC=√AB2+BC2=√1.52+22=-

2

∙∙SΛABC=^ACBH

5L,：DE//AC

.DEBM

'"^AC~~BH

6

----Xɔn

∙∙t=⅛-解得X哼

25

设正方形的边长为X米，如图乙

∖tDE∕∕AB

・DECD

**Afi^CB

.q=笄，解得W

..6、30

737

.∙.乙木匠的加工方法符合要求.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立

数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.

7.（2021•辽宁锦州•统考一模）如图，A8为。。的直径，C为BA延长线上一点，点£＞为圆上一点且

NADC=NAOF,OFlAD于点E,交CD于点F.

（1）判断8与。。的位置关系；

（2）若SinC=；,BD=8,求EF的长.

【答案】（1）CO与。。相切；（2）EF=2.

【分析】（1）要判断Co与。。的位置关系，可连接。。，判断。。与Cz）能否垂直即可；（2）观察图形可

知：EF=OF-OE,所以要求EF,只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是。0的直径，可以判

断出。尸与8。平行的位置关系，从而利用z∖34）和AOCFs△*■£）,即可分别求出。尸和OE

的长度.

【详解】（1）CD与。。相切.

证明：连接OD

D

F

CA∖OB

TAB为。。的直径，

.β.ZADO+ZBDO=ZDAO+ZB=90o,

VOFA-AD,OD=OAf

：.ZAOD=2ZAOFfZDAO=ZODA.

∖∙ZAOD=2ZB,

：.NADC=NB.

：.NAOC+/4。。=90。.

Λ0D±CD.

.∙.C。是。。的切线.

∙∙∙C。与。。相切.

(2)设。。的半径为二

在MZkOCQ中，

VsinC=ɪ,

3

.OD1

.•-----=—,

OC3

∙*.OD=r,OC=3〃.

VOA=r,：.AC=OC-OA-Ir.

TAB为。。的直径，

・•・NAQB=90。.

XVOFlADf

：.OF//BD.

：•△()AESABAD且AOCFSABCD.

λλzf,OEOA1

由4OAEs∕i8A。，得，一=一=-.

BDAB2

：.OE=-BD=-×8=4.

22

,八C_OFOC3

由△λ€>CFSλABCD,z得s，==

BDBC4

33

.∙.OF=-BD=-×8=6.

44

，EF=OF-OE=6-4=2.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点.熟知切线的判

定方法和相似三角形的判定与性质的综合运用是解题的基础；在解决问题的过程中，善于观察和思考，努

力寻找和发现解决问题的方法是关键.

8.(2020秋・吉林长春•九年级长春外国语学校校考阶段练习)【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教

材第77页的部分内容.

如图23.4.2,在BC中,点0、E分别是ΛB与AC

的中点.根据画出的图形,可以猜想：

DE/∕BC,DE=；BC.

图23.4.2

对此,我们可以用演绎推理给出证明.

【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

【定理应用】如图②，在矩形ABC。中，AC为矩形ABC。的对角线，点E在边AB上，且AE=2BE,点

尸在边CB上，CF=2BF.。为AC的中点，连结EF、OE、OF.

(1)EF与AC的数量关系为.

(2)一OEF与一43C的面积比为.

【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】(1)EF与AC的数量关系为EF=：AC；(2)一OEF与

.ABC的面积比为2:9.

【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得照=空=1,4AOE=NABC,再根据平行线的

BCAD2

判定即可得证；

定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得R票F=3RF=41,再根据相似三角形的判定与性质即可得；

BABC3

（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得OM=IBC,0N=^A8,设BE=a,BF=b,再根据

三角形的面积公式分别求出,,。石厂与45C的面积，由此即可得出答案.

【详解】定理证明：「点D、E分别是AB、AC的中点，

AEAD1

——=——=一,

ACAB2

AEAD1

在VAoE和√U3C中，］AC^AB-2,

ZA=ZA

:.ADEABC,

DEAD1/…L

-----==—,/ADE=^-A,BC,

BCAB2

DEHBC,且OE」3C；

2

定理应用：（1）AE=2BE,CF=2BF,

BEBF1

/.——=——=-,

BABC3

BEBF

在Zk3E7∕IJBAC中，⅛^BC,

NB=NB

.∙.BEF~.BAC,

-EF=-B-F=11，

ACBC3

BP£F=1AC；

（2）如图，过点。作OMLAB于点M,作ONj.BC于点N,

四边形ABCD是矩形，

.-.ZB=90°,即AS_ZBC,

:.OMHBC,ONHAB,

点O是AC的中点，

..OM,ON是ABC的两条中位线，

:.OM=-BC,ON=-AB9

22

33

设BE=a,BF=b,则ΛE=2兄AB=3cι,C尸=2。,BC=3"OM=-b,ON=—。,

22

.0.SBEF=LBE∙BF=—ab,

呷22

13

sA。卜=-AE∙OM=士ab，

.ACfr.22

13

SeCF=-CFON=—ab，

.ct∕r22

19

S=—AB∙BC=—ab,

abc22

•∙SoEF=SABC-SBEF~SAOE~SCQF=帅,

.SOEF_ab_2

SABC-ab9'

2

即「。瓦'与ABC的面积比2:9.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题

(2),通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键.

9.(2020•湖北武汉•统考二模)如图，AB是。的直径，。为AB上一点，C为，。上一点，且AD=Ac,延

长CO交：。于点E,连接CB.

(1)求证：NCAB=2NBCD；

CD

(2)若OD=DE,求*的值.

【答案】(1)见解析；(2)岩=Y尸

【分析】(1)证明NAC6=90。，利用AD=AC,得到两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案；

(2)连接OC,OE,由OD=O£,OC=O已证明NoCE=NCAB,再证明aODCS,结合AD=HC,

设CQ=α,OD=b,建立关于〃/的方程可得答案.

【详解】解：(I)TAB是。的直径，NACB=90。，

：•ZBCD=900-ZACDf

u

∖AD=AC9：.ZACD=ZADCf

：.ZCAB=180o-2ZACD,

：•NCAB=2ZBCD；

(2)连接OC,OE,

•：OD=DE,

：.ZDEO=ZDOEf

∙."OC=OE,

：.ZOCE=/CEO=NDoE,

又ZDOE=2ZBCD=ZCAB.

・・・NoCE=NCAB.

又ZADC=NODC,

：・∆ODC^∆CZM,

.CDODOC

∙'AD-CD-AC,

2

又AD=AC,ΛCD=OC1CD=ADOD,

设CO=α,OD=b,则4O=α+Z?,

2

/.a=(a+b)`bf

∙*∙a2-ab-b2=O，

.b±∕5h

•∙Cl=-----y----,

2×1

(负值舍去)，

b2

即0=叵Ll.

OD2

H

GDl

N<7E

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，一元二次方

程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

10∙（2020∙江苏南京♦统考模拟预测）如图，AB为。。的直径，AE是。O的弦，C是弧AE的中点，弦

CGLAB于点。，交AE于点F,过点C作。。的切线，交&!延长线于点P,连接BE

（1）求证：PC//AE；

3

（2）若SinNP=《，CF=5,求BE的长.

【答案】（1）详见解析；（2）BE=12.

【分析】（1）连接OC,如图，先利用切线的性质得OCLPC,再利用垂径定理得到OCLAE,所以

PC/7AE；

（2）设OC与AE交于点H,如图，利用垂径定理得到AC=AG，根据圆周角定理得NACG=NCAE,则

AF=CF=5,在RsADF中利用三角函数的定义可计算出DF=3,AD=4,再证明△OAH妾△€>CD得到

AH=CD=8,所以AE=2AH=16,然后证明Rt△ADFSRQAEB,于是利用相似比可计算出BE.

【详解】解：（1）证明：连接OC,如图，

YPC为。。的切线，

...OC±PC,

是弧AE的中点，

二OCA.AE,

：.PC//AE-,

（2）设。C与AE交于点”，如图，

VCGlAB,

-AC=AG，

・・AG=CE，

/.ZACG=ZCAEf

ΛAF=CF=5,

∙/PC∕∕AEf

：.ZEAB=ZP9

在Rt△AoF中，

DF3

VSinZP=SinZMD==-,

AF5

ΛDF=3,AD=4,

在^QA〃和△OCo中，

ZOHA=ZODC

,ZAOH=ZDOC,

OA=OC

：./\0AH^A0CD(AAS),

.∙.A"=CO=5+3=8,

.∖AE=2AH=l6f

♦：NDAF=NEAB,

ΛRt∆ADFooRtAAEB,

：.DF：BE=AD:AE9即3：BE=4:16,

ΛBE=12.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过

切点.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形

的判定与性质.

11.（2020.陕西.统考模拟预测）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作。。交BC于点。，过点。

作。。的切线。E交AC于点E,交AB延长线于点F.

(1)求证：DELACi

(2)若A8=10,Bf=g,求AE的长.

【答案】(1)见解析；(2)AE=S.

【分析】(I)连接OD、AD,由AB=AC且NADB=90。知D是BC的中点，由O是AB中点知

OD〃AC,主艮据ODJLDE进一步求证即可；

(2)通过证明△ODFS^AEF,可得竺=”,据此进一步求AE的长即可.

AFAE

【详解】(1)连接OD、AD,

TDE切。O于点D,

ΛODIDE,

TAB是直径，

ΛZADB=90°,

VAB=AC,

・・・D是BC的中点，

又TO是AB中点，

ΛOD/7AC,

VODlDE,

ΛDE±AC;

(2)VAB=IO,

.∙.OA=OB=OD=5,

2540

ΛOF=BO+BF=-,AF=BF+AB=-,

33

由⑴得OD〃AC,

ΛZODF=ZAEF,ZF=ZF,

.♦.△ODFS△AEF,

.OFOD

25

•ɪɪɪ

「40一AE'

T

ΛAE=8.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

12.（2020・湖北随州・统考模拟预测）如图，已知，。。为AABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上,

过点E作EFLBC,点G在FE的延长线上，且GA=GE.

（1）求证：AG与。O相切.

（2）若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）√io.

【分析】（1）连接OA,由OA=OB,GA=GE得出NABO=NBAO,ZGEA=ZGAE;再由EF_LBC,得出

ZBFE=90o,进一步由∕AB0+∕BEF=9（Γ,ZBEF=ZGEA,最后得出∕GAO=90。求得答案；

（2）BC为直径得出/BAC=90。，利用勾股定理得出BC=I0,由△BEFsaBCA,求得EF、BF的长，进

一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可.

【详解】（1）连接OA,

VOA=OB,GA=GE

ΛZABO=ZBAO,ZGEA=ZGAE

VEFlBC,

.β.ZBFE=90o,

ΛZABO+ZBEF=90o,

又・・・NBEF=NGEA,

.∙.ZGAE=ZBEF,

ΛZBAO+ZGAE=90o,

即AG与。O相切.

(2)解：∙.'BC为直径,

ΛZBAC=90o,AC=6,AB=8,

ΛBC=IO,

VZEBF=ZCBA,ZBFE=ZBAC,

ΛΔBEF^ΔBCA,

.BFBEEF

,t~BA~~BC~~AC

ΛEF=I.8,BF=2.4,

ΛOF=OB-BF=5.2.4=2.6,

'OE=^EF2+OF2=√10•

考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质.

13.(2022•山东青岛•山东省青岛第二十六中学校考二模)如图，在平行四边形ABC。中，ZAoB=90。，

AB=IOcm,4D=8cm,点夕从点。出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出

发，沿BC方向匀速运动，速度为ICmZSP作尸E//80交于点E,连接PQ,交3。于点产.设运动时间为

r(s)(0v∕<4).解答下列问题:

(2)连接EQ,设四边形APQE的面积为y(cn√),求V与，的函数关系式.

(3)当f为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？

(4)若点尸关于AB的对称点为尸，是否存在某一时刻f,使得点P,E,F三点共线？若存在，求出f

的值；若不存在，请说明理由.

Q324

【答案】(1)—；(2)y=-a厂—3f+24；(3)5/5—1;(4)—.

【分析】(1)由题意得，PQ//AB,则四边形MBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ,

即S-2t=t,解方程即可求解；

(2)过点。作Q”,AB交AB的延长线于点”，由勾股定理求出BO=6,证明根据相似

三角形的性质可得QH=i，根据平行线分线段成比例定理可得W=与，可得出BE=j,根据y=S迹影

5ADAB2

APQB-SzBEQ即可求解；

PFAPQ

(3)先证出△APEsZ∖ABZλ根据相似三角形的性质可得f=M,可得PE=6-9f,根据线段垂直平分

DBAD2

34

线的性质得EQ=PE,由(2)得。H=不，可得出BH=F,根据勾股定理得出EH2+Hβ2=Eβ2,列出方程

即可求解；

(4)连接F尸交AB于点N,由对称及平行线的性质可得/FEB=NABC,由等角对等边得EF=FB,则

BN=EN=；BE=%再证AθPFs∕∖BQF,可得DF=2BF,可求出BF=2,然后证明△BNFSZ^BD4,

根据相似三角形的性质即可得/的值.

【详解】解：(1)Y四边形ABCD是平行四边形，

.'.AD//BC,

若PQ//AB,

.∙.四边形∕¾8Q是平行四边形，

J-AP=BQ,

/.S-2t=t,

•∙t——，

3

O

.∙.当片§时，PQ//ABi

Q

故答案为：—；

(2)如图，过点Q作QHLAB交AB的延长线于点从

∙.βZADB=90o,

/.BD2=AB2-AD2=100-64=36,即BD=6,

T四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.NA=NQBH,

又TNADB=/BHQ=9。。,

：.AADBs丛BHQ,

BDAB610

・•----=—,BπPm-----=—,

QHBQQHt

3

.・・QH=

9:PE//BD,

.DPBE2t_BE

ADAB810

：.BE=-t

2f

]ɪ533

∙*∙y=S承^形APQB・SABEQ=3(8-2t÷∕)×6--×-Z×-/=——/*"—3/÷24；

(3)如图:

D

9

∖PE∕∕BDf

・・・NAPE=NADB,

∙.∙ZA=ZA,

/.AAPEsAADB,

.PEAPPE8-2r

••=---，艮hJπ—-=---------,

DBAD68

3

・•・PE=6——t

2f

・・・点E在线段PQ的垂直平分线上，

3

EQ=PE=6--t,

35

由（2）得QH=m，BE=/

22

.∙.BH=y∣BQ-QH=『_（|）2=gr,

4533

二EH=BH+BE=-t+-t=-t,

5210

RfAEQH中，EH2+HQ2=E^,

：.（-Z）2+（-O2=（6--Z）2,即∕⅛2Λ4=0,

1052

解得：Z1-y∕5-∖,t2--y[5-∖<0（舍去），

二当/=君-1时，点E在尸。的垂直平分线上;

（4）连接FE交AB于点M

P

F

E∖∖NB

Y点F关于AB的对称点为F,

：・/FEB=NFEB,FN工EB,

・・・点尸，E,尸三点共线，PE//AB,

：.NFEB=NABD,

：.ZFEB=ZABDf

：.EF=FB,

：.BN=EN=-BE=-t,

241

・・・四边形ABCD是平行四边形，

.∖AD∕∕BC,

：.ZDPF=ZFQBf

•：DFP=/BFQ,

：・∕∖DPFsABQF,

DFDPC

------=——=2

.•BFBQ，

：.DF=IBF,

Λ2BF+BF=6,

:∙BF=2,

VZFBN=ZABDf/FNB=NADB,

：・ABNFSRBDA,

.BNBD

5

「・4'_6,解得:

210

・・・存在某一时刻3使得点P,E,尸三点共线，/的值为2二4.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，

多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

14.（2021•山东•统考三模）如图1,平行四边形A8C。的对角线AC,B。相交于点。，Co边的垂直平分

线EH交BD于点、E,连接AE,CE.

（1）过点A作AF//EC交3。于点F,求证：AF=BF-,

（2）如图2,将“ΛBE沿AB翻折得到Z∖AB?.

①求证：BE,”CE；

②若AF∕∕8C,OE=X,求CE的长度.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②1+后

【分析】（1）根据题意证明aCOE丝A4"∙（A45）,即可证明£D=M,在根据E〃垂直平分CZ）可得

EC=ED,即可证的结果；

（2）①过点A作A尸//EC交6。于点尸，根据（1）中结论，然后证明5E7/A尸即可；

,

Ap/7/7

②求证一AEFSjSCE,则芸=笠，据此解答即可.

BECE

【详解】证明：（1）•・・四边形ABCQ是平行四边形，

：.OA=OC1OB=OD.

VAFUEC,

：・/CEO=ZAFO,ZFAO=ZECO9

・・・∆COE^∆ΛOF（Λ45）,

：.CE=AF,OE=OF,

JED=BF.

・・・EH垂直平分C。，

：•EC=ED.

：・AF=BF↑

（2）如图2,过点A作A///EC交BO于点尸.

E'AD

E.

图2

①证明：由（1）可知:AQFg-COE,AF=BF,

・・.ZABF=ZBAF,

T将，ABE沿AB翻折得到ZVWE,

：・ZABE=ZABF,

f

：.ZABE=ZBAFf

：.BEY/AF,

又,：AF//CE,

：.BEIICE；

②解：VAE'//BC,

：•AEyAB=ZABC,

由翻折可知NE'AB=NE46,

：・ZABC=NE4B,

•：AF=BF>

：.ZFAB=ZFBA,

：・ZABC-ZFBA=ZEAB-ZFAB,

：,/EBC=NEAF,

VAF//EC9

：.ZAFE=ZCEBf

"AEFsiaBCE,

.AFEF

*'BE-CE,

设AF=CE=B/=x,

VOE=OF=I,

：.EF=2OE=2,

.X2

•----=-,

x+2X

∙^∙JC=1+λ∕5.X=∖-y∕5(负根舍去)

经检验：X=I+6是原方程的根，且符合题意,

.∙.CE=l-√5.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的

判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键.

15.（2020•浙江金华•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=4√2.ZB=450,ZC=60o.

（1）求BC边上的高线长.

（2）点E为线段AB的中点，点尸在边AC上，连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEP.

①如图2,当点P落在BC上时，求/4EP的度数.

②如图3,连结AP,当尸产_LAC时，求AP的长.

【答案】(1)4;(2)①90°；(g)2√6

【分析】（1）如图1中，过点A作ADLBC于D.解直角三角形求出AD即可.

（2）①证明BE=EP,可得∕EPB=NB=45。解决问题.

②如图3中，由（1）可知：AC=」"=逑，证明^AEFS∕∖ACB,推出”=丝，由此求出AF即

sin60°3ABAC

可解决问题.

【详解】解：（1）如图1,过点A作A£>_LBC于点力，

在RsAB。中，AD=AB∙sin45。=40X立=4.

2

图1

(2)①如图2,V∕∖AEF^∕∖PEF,

.,.AE=EP.

又YAE=BE,

：.BE=EP.

ΛZEPB=ZB=45o,

/.NAEP=90°.

在RSAOC中'Ac=磊=竽

9

：PFLACf

.∖ZPFA=90o,

∙/∆AæF^∆PEF,

.∖NAFE=NPFE=45。,则NAFE=ZB.

又∙.∙NE4F=NC4B,

：•XEXFsχcNB,

2√2

.AF_AEAF_

•.萩=就'即运=T'

∙,∙AF-2下）,

在RtAAFP中，AF=PF,则AP=后4尸=26.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

16.（2021.山东聊城.统考一模）如图，在ΔABC中，AB=AC,以AC为直径的：，0交BC于点Q,交AB

于点£,过点。作。FLAB,垂足为尸，连接DE.

(1)求证：直线OF与O相切；

(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)9.

【分析】(1)连接。。，利用AB=AC,OD=OCr证得OQ//4),易证J_QQ,故DF为。的切线;

证得求得防，利用防求得答案即可.

(2)ΔBE0SΔBC4,AC=AB=AF+

【详解】证明：连接OD.

VAB=AC,

：.ZB=ZCf

YOD=OC,

：.ZODC=ZC9

；・/ODC=NB,

：.OD//AB,

tCDFLAB,

：.ODLDF9

Y点。在。。匕

・・・直线。尸与。O相切；

(2)解：•・・四边形ACOE是OO的内接四边形，

・・・NAEo+NACO=180。，

∙//AED+/BED=I80。,

：,/BED=/ACD,

*：ZB=ZBf

：.4BEDsABCA,

.BD_BE

^~AB~~BC,

9

∖0D∕∕AB,AO=COf

：.BD=CD=LBC=3,

2

又,：AE=J

.3BE

.•—，

7+BE6

：.BE=2,

.'.AC=AB=AE+BE=7+2=9.

【点睛】此题考查J'切线的判定，三角形相似的判定与性质，耍证某线是圆的切线，已知此线过圆上某

点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.

17.(2022秋.重庆.九年级重庆市第H^一中学校校考期中)ABC中，AC=BC,ZC=90,CDLAB于

力，点E在线段3。上，点厂在射线C4上，连接CE,DF,满足ZAr)F=NEC8.

—

严

B

CBCB'C

图1图2图3

(1)如图1,若DF=2也,AC=4,求AF的长；

(2)如图2,若AF=BE,求证：BC=2DEi

(3)如图3,将二8E绕点。逆时针旋转α(0<a≤360)得到XCDE,连接CE',点尸为CE'的中点，连接

BP,若EB=46-4,ZDCE=30.当BP最小时，直接写出,BCP的面积.

【答案】(l)2√Σ-2;

(2)见解析；

ɔ60-4√15

5-

【分析】（1）过点。作DGLAC于G,通过解直角三角形可求出AF的长；

（2）过点E作EWLAB交BC于”，通过A4S证明Z.D4F也AC"E,得AD=CH,设HE=BE=x,设

CD=BD=CH=y,用X和N的代数式表示出BC和OE的长，即可解决问题；

（3）取CZ）的中点。，连接。P,0B,其中。B交CE'于。，过。作OMLBC于M,过点。作QNLBC

于N,设。E=X,可表示出OE和OC的长，再根据8E的长，可求出x=4,可求得0P=2,则点P在以

。为圆心，2为半径的圆上运动，且点P与点Q重合时，BP最小，再利用相似三角形的性质求出QN的长

即可.

【详解】（1）如图，过点。作AG_LAC于G,则NFG。=90。，

在LΛBC中，AC=3C=4,ZAeB=90。，

.∙.ZBAC=ZB=45o,ABAAC2+BC?=4母,

CD±AB,AC=BC=4,ZACB=90°,

.∖CD=AD=BD=-AB=-×4>∕2=2>∕2,

22

又CDVAB,DGLAC,

:.AG=CG=DG=-AC=-×4=2,

22

在RtAFGO中，由勾股定理得：

FG=y∣DF2-DG2=2√2,

AF=FG-AG=2亚-2;

(2)如图，过点E作EHLAB交5C于H,则NHEB=90。,

Fl

上

CHB

oo

NHEB=90,ZB=45f

:.NBHE=ZB=45。,

:.BE=HE,ZCHE=180o-ZBHE=ɪ80o-45o=135o,

AF=BE,

:.AF=HE,

ZBAC=45。，

.∙.ZΩ4F=180o-ZβAC=180o-45o=135o,

.∙.ZDAF=ZCHE9

在ACHF与.CHE中，

NADF=ZECB

<ZDAF=ZCHE,

AF=HE

.∙.T-DAF^^dCHE,

AD=CH,

AD=BD=CD,

..CD=BD=CH,

设HE=BE=X,

贝IJBH=√HE2+BE2=√2x，

设CD=BD=CH=丫,

则BC=√CD2÷BD2=√2y，

CH+BH=BC,

:.y+6X=>∣2y,

2y-gy

..Λ一，

.∙.DE=BD-BE=y-x=y-2y~^y=^y,

BC√2yɔ

•∙DE√2,

~τy

..BC=2DE;

(3)如图，取8的中点。，连接OP,0B,其中。8交CE'于0