高等数学 课件 王震 第三章 微分中值定理及导数的应用

第三章微分中值定理及导数的应用3.1微分中值定理微分在近似计算中的应用举例教学内容一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、罗尔定理费马引理：若函数在点的某邻域内有定义，且存在，对任意有（或），则通常称导数为零的点叫函数的驻点（或稳定点，临界点）不失一般性，我们以为例来证明。一、罗尔定理一、罗尔定理例如,一、罗尔定理证由费马引理知一、罗尔定理几何解释:一、罗尔定理注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日中值定理注意二、拉格朗日中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为二、拉格朗日中值定理作辅助函数拉格朗日中值公式注意:这个公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论二、拉格朗日中值定理例1证作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分三、柯西中值定理三、柯西中值定理几何解释:证作辅助函数三、柯西中值定理三、柯西中值定理例证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.

第三章微分中值定理及导数的应用3.2函数的单调性3.5函数的性态与作图（1）目录二、函数的极值三、函数的最值一、函数的单调性一、函数的单调性定理1

设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]上连续，在开区间

(a,b)

内可导.

则函数

y=f(x)在[a,b]上单调增加(或减少)的充要条件是.一、函数的单调性证明充分性在[a,b]上任取两点x1,x2，不妨设x1<x2，则由拉格朗日中值定理知

因此f(x)在[a,b]上单调增加.

因此f(x)在[a,b]上单调减少.

一、函数的单调性

因为f(x)在开区间

(a,b)

内可导

一、函数的单调性定理2

设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]上连续，在开区间

(a,b)

内可导.(2)若在(a,b)内f

(x)<0，则函数y=f(x)在[a,b]上严格单调减少.(1)若在(a,b)内f

(x)>0，则函数

y=f(x)在[a,b]上严格单调增加.

一、函数的单调性

一、函数的单调性解

(1)该函数的定义区间为(,)(2)

f

(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，令f

(x)=0，得

x1=-1，x2=2

(3)列表讨论如下：

x(,-1)(-1,2)

(2,)

f

(x)

-

f(x)

所以(-∞,-1)和(2,+∞)是f(x)

的递增区间,(-1,2)是f(x)

的递减区间.一、函数的单调性例1解单调区间为一、函数的单调性

二、函数的极值定理

3充分条件I---单调法则

设函数

f(x)在点x0的左右近旁可导，若当x

在x0的左右，f

(x)改变符号，则函数f(x)在点x0取得极值，且,)(xf,，则(1)如果),,(00xxxd-Î有;0)('>xf而),(00d+Îxxx有0)('<xf，则)(xf在x0处取得极大值

(2)如果),,(00xxxd-Î有;0)('<xf而),(00d+Îxxx有0)('>xf在0x处取得极小值(3)如果当),(00xxxd-Î及),(00d+Îxxx时)('xf符号相同则)(xf在0x处无极值二、函数的极值

例4求函数的极值.解令得

二、函数的极值二、函数的极值例3求函数

f(x)=(x-1)3

的极值.解

（3）列表讨论如下：二、函数的极值x(-,0)f

(x)0+不存在-0+f(x)极大值03二、函数的极值定理

4充分条件II---二阶导符号法则

(1)若f

(x0)<0,则f(x0)

为函数f(x)的极大值，

x0为极大值点；

(2)若f

(x0)>0，则f(x0)

为函数f(x)的极小值，

x0为极小值点.若f

(x0)=0，且f

(x0)

0，

则函数f(x)在点x0取得极值，且设函数

f(x)在点x0的二阶导数存在，若二、函数的极值例6求函数

f(x)=x4

–10x2+5

的极值.解(1)f(x)的定义域为(-

,

+

).(2)f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，令f

(x)=0,得驻点(3)因为

f

(x)=12x2

–20，于是有所以函数f(x)在点x=0

取得极大值f(0)=5,三、函数的最值

在实际问题中常会遇到求函数的最大值与最小值问题．下面我们在函数极值的基础上讨论如何求函数的最大值与最小值．

三、函数的最值

分析：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在[a,b]上一定有最大值和最小值．显然，在所设条件下，f(x)在闭区间[a,b]的最值只可能在极值点和区间的端点处达到．

又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．

1.函数在闭区间上的最大值和最小值三、函数的最值

三、函数的最值例7求函数

f(x)=2x3–9x2+12x+10在[0,3]上的最大值和最小值.解

f

(x)=6x2–18x

+12=6(x–2)(x–1),

令

f

(x)=0，得驻点x1=2,x2=1.计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：f(1)=15,f(2)=14,f(0)=10,f(3)=19,比较这些值的大小，可知，

在[0,3]上，函数f(x)的最大值为f(3)=19,最小值为f(0)=10.三、函数的最值实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;三、函数的最值例8某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，三、函数的最值（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为练习：求函数

f(x)=x3–3x2–9x+5在[–4,4]上的最大值和最小值.作答主观题10分

第三章微分中值定理及导数的应用3.3未定式目录一、基本未定式极限二、其他类型的未定式一、基本未定式极限定理1设这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点a的某去心邻域内，及都存在且

（3）存在（或为无穷大），那么一、基本未定式极限例1解例2解一、基本未定式极限定理2一、基本未定式极限例4解例3解一、基本未定式极限例5解一、基本未定式极限注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解一、基本未定式极限例7解极限不存在洛必达法则失效。一、基本未定式极限应用法则时，每步必须验证条件，否则会得出错误的结果事实上，上式极限为1，错误在于应用了一次法则后已经不是不定式了，所以不能再用洛必达法则求极限。二、基本未定式极限例9解步骤:二、基本未定式极限步骤:例10解二、基本未定式极限例11解例12解二、基本未定式极限练习：二、基本未定式极限洛必达法则

第三章微分中值定理及导数的应用3.4泰勒公式及其应用目录二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用举例一、泰勒公式的建立当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0))附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f(x)且当一、泰勒公式的建立假定f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到这样,对Pn(x)

求各阶导数,然后分别代入以上等式得即得(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：一、泰勒公式的建立把所求得的系数代入得其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小一、泰勒公式的建立时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f(x)可表示其中是较的高阶无穷小.一、泰勒公式的建立定理

泰勒(Taylor)中值定理有①其中②则对于任一

如果f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，其中

一、泰勒公式的建立公式①称为f(x)按(x-x0)的幂展开的公式②称为拉格朗日型余项.

n

阶泰勒公式.

二、几个初等函数的麦克劳林公式上述公式

称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.在泰勒公式中令则有：其中其中

公式

称为拉格朗日型余项.

公式

称为佩亚诺型余项

.二、几个初等函数的麦克劳林公式故例1

求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以二、几个初等函数的麦克劳林公式令n=2m-1，于是有例2

求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以令n=2m，于是有二、几个初等函数的麦克劳林公式类似地,可得二、几个初等函数的麦克劳林公式

二、几个初等函数的麦克劳林公式例4

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限.

第三章微分中值定理及导数的应用3.5函数的性态与作图（2）目录二、渐近线三、函数图形的描绘一、凹凸性一、凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意点的切线位于弧的下方图形上任意点的切线位于弧的上方一、凹凸性

(1)若恒有

是（向上）凸的;(2)若恒有

是（向上）凹的;一、凹凸性定理2

如果

一、凹凸性

例1求曲线的凹凸区间。解当x<0时，y

>0,所以曲线在(

,0]上是凹弧；当x>0时，y

<0,所以曲线在[0,+

)上是凸弧。于是，曲线的凹区间为(

,0]，凸区间为[0,+

)。一、凹凸性

一、凹凸性

一、凹凸性例2求函数的凹凸区间及拐点.解凹的凸的凹的拐点拐点令得

二、渐近线1.水平渐近线例如有水平渐近线两条:二、渐近线2.垂（铅）直渐近线例如二、渐近线例题