高三数学一轮复习：第13讲 直线与圆的方程

第13讲直线、圆的方程

【课标要求】

1.直线与方程

（D在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要

；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过

程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点

斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；

2.圆与方程

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与

一般方程。

【命题走向】

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关

问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是

参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测2010年对本讲的考察是：

（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思

想的考察也会是一个出题方向；

（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方稳

三.【要点精讲】

1.倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做

直线的倾斜角，范围为人兀）。

2.斜率：当直线的倾斜角不是90。时，则称其正切值为该直线的斜率，即

k=tana；当直线的倾斜角等于90。时，直线的斜率不存在.

过两点P円"〃”）（x产X）的直线的斜率公式:k±na=H（若

21

X=x,则直线pp的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。）。

,4.直线方理圉五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直

线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称方程说明适用条件

k——斜率倾斜角为90。的直线

斜截式y=kx+b

b——纵截距不能用此式

（x,y）——直线上倾斜角为90°的直线

点斜式y-y=k(x-x)0,0

00已知点，k斜率不能用此式

2

)'一);二一,（x,y）,（x,y）是与两坐标轴平行的直

两点式直绫上两个点知志

y-VX-X线不能用此式

9171

过（0,0）及与两坐

a——直线的横截距

截距式二+2=1标轴平行的直线不能

ahb——直线的纵截距

用此式

一反分别

BAB

一般式Ax+By+C=0

为斜率、横截距和纵A、B不能同时为零

截距

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于X轴）的直线；两点式

不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直

线及过原点的直线。

5.圆的方程

圆心为。（。力），半径为r的圆的标准方程为：（x-a）2+（y—与2=「2（「〉0）。

特殊地，当4=6=（）时，圆心在原点的圆的方程为：X2+>2r2o

_np

圆的一般方程无2+y2+Dr+Ey+F=0,圆心为点（-受「5）,半径

7=+一"，其中£)2+E2-4F>0。

2

二元二次方程Ax2+。2+m+£>+尸=0,表示圆的方程的充要条件

是：①、X2项》2项的系数相同且不为0,即A=CH（）；②、没有xy项，即

B=0；③'D2+£2-4AF>0o

四.【典例解析】

题型1：直线的倾斜角

例1.（2008四川理，4）.

直线y=3x绕原点逆时针旋转90。，再向右平移1个单

位，所得到的直线为（A）

（A）y--lx+1（B）y--Ax+1（C）

333

y=3x-3(D)y=—x+1

3

【解】：，.直线y=3x绕原点逆时针旋转90。的直线为y=从而淘汰

(C),(D)

3

又••・将v=—lx向右平移1个单位得y=—l（x-D,即》=一3+1故

33-33

选A；

【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

【突破］：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视

平移方法：“左加右减”；

点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

例2.（上海文,18）过圆C：（x-l）2+（y—l）2=l

的圆心，作直线分

别交x、y正半轴于点A、B,AAO3被圆分成

四部分（如图），

若这四部分图形面积满足S+S=S+S,则

Iriin

直线AB有（）

（A）0条（B）1条（C）2条(D)3条

【解析】由已知，得：S-S=S-5,,第II,IV部分的面

IV//III1

积是定值，所以，S-S为定值，即S-S,为定值，当直线

IVIIIII1

AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线

AB只有一条，故选B。

【答案】B

题型2：斜率公式及应用

例3.全国I文16）若直线机被两平行线/:x-y+l=O与/:x-y+3=0所截得的

12

线段的长为2嫗，则，”的倾斜角可以是

①15②30③45④60⑤75

其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）

13-11

【解析】解：两平行线间的距离为d==氏由图知直线机与t的夹角为

30。，I的倾斜角为45",所以直线”的倾斜角等甘0。+45。=75。或

1

45。—30。=15。o

4

【答案】①⑤

(2)已知过原点。的一条直线与函数y=logx的图象交于A、B两点，分别过点

A、B作y轴的平行线与函数y=logx的图蒙交于C、D两点。

(1)证明点C、D和原点。在高一条直线上。

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

解析：(1)如图，实数x,y满足的区域为图中阴影部分(包括边界)，

而丄=上二2表示点(x,y)与原点连线的斜率，

xx-0

则直线A0的斜率最大，其中A点坐标为(1,2),

此时k=』，所以上的最大值是」。

OA2x2

点评：本题还可以设丄=3则＞="，斜率k

X

的最大值即为上的最大值，但求解颇费周折。

X

(2)证明：设A、B的横坐标分别为x,x,由题设知X>1,X>1,点A

1212

(X,logx),B(x,Iogx).

181282

因为A、B在过点。的直线上，所以"乙=嵯4,

XX

I2

又点c、D的坐标分别为(X,logX),(X,logX)

21222

宀工।l°g%logX

由于logx=_T=3logx,logx=-----8_2_=3logX,

21log28122log282,

88

所以oc的斜率和OD的斜率分别为

logx3logxlogx3logx

k=?」=_______X1,K丿、=X2

ocxxof)XX

1122

由此得k=k,即0、C、D在同一条直线上。

OCCD

由BC平彳幵x轴，有logx=logx,解得x=X3

218221

宀一小、logXlogX9

将其代入--S_L=-----------8_2_,得X3|ogX=3x|ogX.

XX181181

12

由于X"知log/产0,故x：=3x「\=向于是点A的坐标为

飓户).

点评：本小题主要考查对数函数图象'对数换底公式、对数方程、指数方程

等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。

5

点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问

题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。

题型3：直线方程

例4.已知直线的点斜式方程为y-1=-3Q-2),求该直线另外三种特殊形式的

4

方程。

解析：(1)将y-1=-3(X-2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程

4

(2)因为点(2,1)、(0,1)均满足方程y-1=-如-2),故它们为直

线上的两点。

由两点式方程得：=1=七二

5.0-2

——1

2

2

355

(3)由y=-三x+2知：直线在y轴上的截距6=2

-422

又令y=0,得x=?

故直线的截距式方程嚙+3=1

T2

点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条

件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题

的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例5.直线/经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,求

直线/的方程。

解析：设所求直线/的方程为t+3=l，

ab

_5-4

:直线/过点P(-5,-4),—=1,即4a+5A=-

ah

又由已知有f=5,即砌=io,

f5_

r4。+5b=—ciha=——cri=5

解方程组s1A，得：2或:“

故所求直线/的方程为：-4+2=1,或2+3=1。

545-2

2

6

即8x-5y+20=0,或2x-5y-10=0

点评：要求/的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种:

（1）从点的坐标。，0）或（0,。中直接观察出来；

（2）由斜截式或截距式方程确定截距；

（3）在其他形式的直线方程中，令x=0得y轴上的截距b；令＞=0得出x

轴上的截距a0

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重

要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

题型3：直线方程综合问题

例5.（重庆理，1）直线y=x+l与圆光2+产=1的位置关系为（）

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心

D.相离

即入一y+1=0的总巨离d=­L

【解析】圆心（0,0）为到直线y=x+1,

0＜之＜1,选B。

2

【答案】B

【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离;

【突破】：数形结合，使用点C到直线/的距离距离公式

例6.（天津文，14）若圆X2+y2=4与圆X2+y2+2ay-6=0（。＞0）的公共弦长

为2^/5,则2=.

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为=丄，

a

111,------------

利用圆心（0,0）到直线的距离d=冬为｛22-妻2=],解得a=L

J1

【答案】1

（2）已知动圆过定点P（1,0）,且与定直线I：x=-1相切，点C在丨上。

（I）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（II）设过点P,且斜率为一壺的直线与曲线M相交于A、B两点。

7

(i)问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理

(ii)当AABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。

(I)解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线I为准线的抛物线,

所以曲线M的方程为y?=4x.

解法二：设M(x,y),依题意有设P|=|MN|,

所以Ix+1|=J(x-1)2+,2。化简得：y?=4xo

(ID(i)由题意得，直线AB的方程为丫=一户(x-13455

)--v3(.r-l),消丫得3xiox+3=o,

解得T，x?

所以A点坐标为(；学)，B点坐标为(3,-273),

假设存在点C(-1,y),使AABC为正三角形，则BC|=|AB|且

|AC|=|AB|,即

(3+1)2+(y+2⑶2=(,2,①

V

(〈+1)2+(y-：)2=(2)2.②

由①—②得4?+(y+2j5)2=(—)2+(y—)2,

所以由①，②组成的方程组无解

因此，直线।上不存在点C,使得AABC是正三角形。

8

y=_?(%_1),

(ii)解法一：设c(-1,y)使aABC成钝角三角形，由

x=-1.

得y=20,

即当点C的坐标为(-1,2/)时，A、B、C三点共线，故收2/。

一…,1、，2/、284J分

又|AC|z=(-1——)2+(y-------)2=———---------+y2

3393

|BC|2=(3+1)2+(y+2/)2=28+4j5y+yz,

|AB|2=(；)256

2=-----------

9

、“CAC丄科厶-IABI2+IACI2-IBCI2

当ZCAB为钝角时，cosA能----------------------<0o

2\AB\-\AC\

即|BC|z>|AC|2+|AB|2,即28+46+>>竺m宀2+竺,

939

2

即时，NCAB为钝角.

当|AC|〉|BC|2+|AB|2,即?一¥y+y2>28+4Qy+y2+等，

939

即y〈一^J5时，NCBA为钝角。

又|AB|2>|AC|Z+|BC|2,即坐〉三—MZ^+>2+28+4j5y+y2,

993

442

即户+两+<0,(y+)2<0o

33J3

该不等式无解，所以NACB不可能为钝角。

因此，当AABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

丁<-里或>>竽("23)。

39

c2R

解法二：以AB为直径的圆的方程为(x—3)2+(y+-V3)2=(3)?°

9

C22

圆心(可，一§/)到直线I：x=-1的距离为可，

所以，以AB为直径的圆与直线I相切于点G(-1,一手)。

当直线I上的C点与G重合时，NACB为直角，当C与G点不重合，且A、

B、C三点不共线时，NACB为锐角，即AABC中，NACB不可能是钝角。

因此，要使aABC为钝角三角形，只可能是NCAB或NCBA为钝角，

过点A且与AB垂直的直线方程为y-胃=*%-；)。

人皿2的

令x=-1得丫=彳­。

9

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2Q=W(x—3)。

令x=—1得y=——W°

又由卩=3"T)，解得y=2F,

x=-1.

所以，当点C的坐标为(-1,20)时，A、B、C三点共线，不构成三角

形。

因此，当AABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y＜一早

或(y手271)o

9

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了

“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运

用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类

讨论的思想、方程的思想该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进

行了不同程度的考查对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

题型4：圆的方程

例7.(1)已知AABC的三个项点坐标分别是A(4,1),B(6,-3),C

(-3,0),求AABC外接圆的方程。

分析：如果设圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,将三个顶点坐标分别代

入,即可确定出三个独立参数a,b,r,写出圆的标准方程；如果注意到&BC

10

外接圆的圆心是AABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可

以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-⑥2=「2①

因为A(4,1),B(6,—3),C(—3,0)都在圆上,

所以它们的坐标都满足方程①，于是

(4一。)2+(1—与2=厂2,4=1,

<(6-a)2+(—3—b)2—r2,可解得<b=-3,

(-3-a)2+(0-b)2-ri.72=25.

所以aABC的外接圆的方程是(x-1”+(>+3)2=25。

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直

干分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐

标。

”W=2(呈7,线段AB的中点为(5,-1),线

段BC的中点为弓3,-3扌，

二.AB的垂直平分线方程为

BC的垂直平分线方程y+士3=3(x-口3

22

V=1

解由①②联立的方程组可得‘

卜=-3.

「.△ABC外接圆的圆心为E(1,-

图4—1

3),

半径r=lAEh^(4-1)2+(1+3)2=5。

故4ABC外接圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=25.

点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质o

(2)求过A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)三点的圆的方程，并求这

个圆的半径长和圆心坐标。

分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方

法求圆的方程.现在再尝试用圆的一般方程求解(解法三)，可以比较一下哪种

方法简捷。

解析：设圆的方程为尤2+y2+£)x+4+/=0①

因为三点A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上，所以它们的坐

标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D,E,F的一个三

元一次方程组：

II

42+12+4。+E+F=0D=-2

<62+(-3)2+6D-3E+F=0解得<E-6o

(—3)2+02—30+0・E+F=0F=-15

所以，圆的方程是X2+>2-2x+6y-15=0。

圆心是坐标(1,-3),半径为r=L，D2+E2—4F=5。

2

点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般地，在选用圆的方程

形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程

方便些。

例8.若方程x2+y2—2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0。

(1)当且仅当加在什么范围内，该方程表示一个圆。

(2)当加在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。

解析：(1)由尤2+>2-2(机+3)x+2(1—4;〃2)y+16m4+9=0,

=[x-(m+3)]2+[y4-(1-4m2)]2=1+6m-Imi,

当且仅当1+6m—7加2>0时,

即｛加一;<加<1｝时，给定的方程表示一个圆。

x=/％+31

(2)设圆心坐标为(x,y),贝।乂(--</??<1)(用为参数)。

y=4机2-17

20

消去参数加ny=4(3—x)2-1,y=4(x—3)2-1(亍<x<4)为所求圆心

轨迹方程。

点评：圆的一般方程x2+y2+Dr+Ey+E=0,圆心为点(-多-島，半径

_+E2-4F

1=------X------，其中£)2+£2-4F>0o

2

题型5：圆的综合问题

例9.如图2,在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A(0,a),B

(0,b)(a>b>0),试在x轴正半轴上求一点C,使NACB取得最大值.

12

图2

解析：设c是X轴正半轴上一点，在aABC中由正弦定理，有

sinACB=^—0

2R

其中R是AABC的外接圆的半径。

可见，当R取得最小值时，NACB取得最大值。

在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x

轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。

由切割线定理，得：06=0A•OB=ab

所以便，即点C的坐标为(成，0)时，NACB取得最大值。

点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的

应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系,

从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。

例10.已知O0'过定点A(0,

p)(p>o),圆心0'在抛物线X2=2py上运

动，MN为圆5截x轴所得的弦，令

|AM|二d,|AN|=d,ZMAN=0o

12

(1)当O'点运动时，IMN|是否有

变化？并证明你的结论；

(2)求4+扌的最大值，并求取得

21

最大值的e值。

解析：设。,(xo)yo),贝卜产py。(y产)，°。，的半径I。，

A|=J4+(%-p)2,。0'的方程为(x-x0)2+(y-y?2=x02+(y°-p)2。令y=0,并把

x2=2py代入得X2—2xx+x2—p2=0,解得x=x-p,x=x+p,|MN|=|X-

0,0.」，亠00M0N0N

\|=2p为定值。

(2)-/MCx-p,0),N(x+p,0)

00

13

-'-d二Ip2+(x—p)2,d=J"+(x+〃)2,贝ljd2+d2=4p2+2x2,

1V02V0120

dd=J4〃4+工4,

12、'0

d,