高等数学 课件 王震 第五章 定积分

第五章定积分及其应用

第一节定积分的概念及性质

目录一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质一、定积分问题举例显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）一、定积分问题举例if()iyy=f(x)aAbBOxx1xi-1xn+1xi一、定积分问题举例曲边梯形面积为一、定积分问题举例（1）分割（3）求和（4）取极限（2）近似二、定分的定义任一种分法任取收敛于极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,记作即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定义二、定分的定义x为积分变量b为积分上限a为积分下限f(x)为被积函数[a,b]称为积分区间积分和被积表达式说明2：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字

母表示无关,即：二、定分的定义如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间点

i怎样的取法，就称f在[a,b]上可积，总有S趋于确定的极限I，说明1：只要

，2.定积分的几何意义：曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和二、定分的定义y123y=x-3Ox二、定分的定义

定理1.定理2.且只有有限个间断点3.可积的充分条件：例2.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取二、定分的定义二、定分的定义说明3：有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

说明4：可积的充分条件：

三、定积分的性质(k为常数)证:=右端性质1性质2性质3性质4证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是三、定积分的性质性质5比如分析：三、定积分的性质问题：如果c不在a与b中间，结论成立否？性质6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则三、定积分的性质推论2.证:即三、定积分的性质性质7.设则三、定积分的性质性质8.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.三、定积分的性质三、定积分的性质积分中值定理的几何解释：上的平均值。

例3求①②解：①

②y轴两边所围面积相等符号相反，所以为0三、定积分的性质作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习：求主观题10分例4估计解:

因为，得驻点可能的极值仅有，又比较得函数在[-2，1]上的最小值为-7，最大值为2，所以.的大小三、定积分的性质例5比较下列各对积分值的大小.（1）与（2）与解（1）由于时时；而当时

.（2）由于三、定积分的性质内容小结1.定积分的定义—

乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式作业P203,1(2),2,4

第五章定积分5.2微积分基本公式目录二、牛顿-莱布尼茨公式一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数定义：若在上连续，称为的积分上限函数记为一、积分上限函数及其导数证:则有一、积分上限函数及其导数则变上限函数定理2若这个定理的重要意义是：1、肯定了连续函数的原函数是存在的2、初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系一、积分上限函数及其导数

变限积分求导:一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数例3.求解:原式作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂计算下列函数的导数1.2.主观题10分()ABCD提交单选题1分当为何值时，函数有极值处，函数取得极大值ABCD提交处，函数取得极小值处，函数取得极大值处，函数取得极小值单选题1分二、牛顿-莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定理2,故因此得记作定理3函数,则二、牛顿-莱布尼茨公式例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:二、牛顿-莱布尼茨公式例7

例6求计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

第五章定积分5.3定积分的计算目录二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法定理假设在上连续；函数满足条件：（2）在（或）上具有连续导数，(1)且其值域，则有注：用第一类换元积分法时，未引入新的变量因此不用换上下线；

用第二类换元积分法时，需要引入新的变量因此需要同时换上下限一、定积分的换元积分法说明:1)当

<,即区间换为定理仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.4)不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。3)换元前后，上限对上限、下限对下限；一、定积分的换元积分法例如一、定积分的换元积分法例1.计算解:令则∴原式=且一、定积分的换元积分法例2.计算解:令则∴原式=且一、定积分的换元积分法例3求解：练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分一、定积分的换元积分法例6证:(1)若(2)若偶倍奇零二、定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法，可得证:例1计算解:原式=二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法另解例1计算练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分练习：计算作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分二、定积分的分部积分法内容小结

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限

第五章定积分5.4广义积分目录二、无界函数的广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为一、无穷区间上的广义积分定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义一、无穷区间上的广义积分则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.一、无穷区间上的广义积分引入记号则有类似牛顿–莱布尼兹公式的计算表达式:一、无穷区间上的广义积分例1.计算广义积分解:一、无穷区间上的广义积分例2.证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1时,广义积分收敛,其值为当p≤1时,广义积分发散.一、无穷区间上的广义积分例3.计算广义积分解:计算广义积分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分计算广义积分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分计算广义积分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分二、无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与x

轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)瑕点（也称无界间断点、奇点）二、无界函数的广义积分定义2.设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分,记作则定义则称此极限为函二、无界函数的广义积分而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分.邻域内无界,则定义二、无界函数的广义积分的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则二、无界函数的广义积分下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.计算广义积分解:显然瑕点为a,所以原式例5.讨论广义积分的收敛性.解:所以反常积分发散.二、无界函数