黄金卷02（文科）（试卷含解析）-备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．设复数z=，其共扼复数为z，则z+3i=()3．已知m，n是两条不同直线,a是平面,且n仁a，m仁/a，“m//a”是“m//n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件42023·四川泸州·统考一模）若cos(a+β)=-，cosacosβ=1，则cos(2a-2β)=()5．已知正方形ABCD的边长为，P在边AD上，则.(+)的最大值为()6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()7．函数f(x)=-xx的大致图像为()ADyx的最小值为() +5x-yyx的最小值为() +5x-yy5555559．A，B，C，D是球O的球面上四点，AB=AC=BC=，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，则球O的表面积为()2210．已知F10．已知F1,F2分别为双曲线 -a2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1=3PF2，则双曲线的离心率为()11．设首项为为()Sn的数列{an}的前n项和为Sn 2331212．若曲线f(x)=存在与直线y=kx垂直的切线，则k的取值范围是()C．-,03,)第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分----------15．若直线l：ax+by=0与圆C：x2+y2-4x-4y-10=0相交于A，B两点，AB之8，则直线l的斜率的取值范围为.16．已知f(x)为偶函数，且当xe[0,+伪)时，f(x)+xf,(x)<0，其中f,(x)为f(x)的导数，则不等式(1-x)f(x-1)+2xf(2x)>0的解集为.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1712分）某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成(1)求x，y的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替);(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.1812分）记‘ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinC=csin.(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分经ABC，a=2，b=，求线段BD长.1912分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，经ABC=60。，AP=AB，PB=4，平面PAB」平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点.(1)证明：CD」平面PAE；(2)求点A到平面PEF的距离.PBPB2012分）设a，b为实数，且a>0，函数f(x)=ax-blnx-1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=b=1，函数g(x)=xf(x)，试问g(x)是否存在极小值点?若存在，求出g(x)的极小值点；若不存在，请说明理由.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知过右焦点F的直线l与C交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使经OPA=经OPB？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2210分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〈iθ,(θ为参数）.以原点O为极点，x1轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为PA(1)求曲线C1PA(2)已知点P(-1,0)，记C1和C2交于A、B两点，求选修4-5：不等式选讲2310分）已知函数f(x)=3x+3-x-5.(1)求不等式f(x)>0的解集M；(2)若m是f(x)的最小值，且正数a,b,c满足a+b（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.123456789DABCCBDCBCDD第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.）：:y=0.025，.........................................................................................................................................2分:x=0.02，...........................................................................................................................................3分（2）第四组与第五组人数的比为2:1，:从第四组抽选4人，记为1,2,3,4，从第五组抽选2人，记为a,b，..........................................................................................................7分共15种，...............................................................................................................................................9分故恰好来自同一组的概率p= 7........................................................................................................故恰好来自同一组的概率p=【详解】（1）由已知bsinCcsin，根据正弦定理可得sinBsinCsinCsin，..................1分因为C0,π,所以sinC0，故有sinBsin，则有2sincossin，..................................................................................................................3分因为B0,π,即0,，可知sin0，可得cos，................................................所以，则B．....................................................................................................................6分（2）在ΔABC中，根据余弦定理可得b2a2c22accosa2c2ac，即74c22c，解得c1或c3（舍去...............................................................................8分由题意可知：ABDCBD，由面积关系可得SΔBCDSΔABDSΔABC，则2BD1BD21，.........................................................................10分即2BDBD2，可得BD...........................................................................................................12分【详解】（1）：APAB2，PB4AP2AB2PB2，APAB........................................................................................................1分：平面PAB平面ABCD，且交线为AB，AP平面PAB，AP平面ABCD，：CD平面ABCD，APCD.......................................................................................................2分连接AC，AF，如图，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，所以ΔACD为等边三角形.又因为E为CD的中点，所以CD」AE，.........................................................................................4分又APnAE=A，AP一平面PAE，AE一平面PAE，所以CD」平面PAE.............................................................................................................................6分（2）设点A到平面PEF的距离为h，则VA-PEF=VE-PAF，因为ABCD，所以AE」AB，又由（1）知AE」AP，又APnAB=A，AP一平面PAB，AB一平面PAB，所以AE」平面PAB，...........................8分又PF一平面PAB，AF一平面PAB，所以AE」PF，AE」AF，又由PF」AE，PF」AF，AE（AF=A，AF一平面AEF，AE一平面AEF，所以PF」平面AEF，.........................................................................................................................10分所以XPFXFEXh=XXPFXAFXAE，即h===，所以点A到平面PEF的距离为.................................................................................................12分20．【答案】(1)答案见解析(2)g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1bax-ba-=xx,xbax-ba-=xx,f(x)在区间(0,+伪)上单调递增；...........................................................2分当xe,+伪时，f¢x)>0，f(x)单调递增.................................................................................4分综上，当b<0时，f(x)在区间(0,+伪)上单调递增；（2）当a=b=1时，g(x)=xf(x)=x2-xlnx-x，x>0，故g2x-1x令h(x)=2x-lnx-2，x>0，所以h2x-1x,........................................................................6分11-b22a当x=,+伪时，h,(x)>0，h(x)单调递增...................................................................................8分 故g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1 c 【详解】（1c a所以椭圆C的方程为+=1.......................................................................................................2分所以a2=12............................................................................................................................................4分所以椭圆C的标准方程为+2=1.................................................................................................5分（2）存在定点P(4,0)，使经OPA=经OPB.理由如下：由（1）知，c2=12-3=9，则点F(3,0).设在x轴上存在定点P(1,0)，使经OPA=经OPB成立......................................................................6分当直线l斜率为0时，直线右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点，若经OPA=经OPB，则t>2，或t<-2.....................................................................................7分当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2)，.消去x并整理，得(4+m2)y2+6my-3=0，则y1+y2=-,y1y2=-....................................................................................................9分所以 y1所以+1x-t1--+==0恒成立，...........................................................................11分即对vmeR，=0恒成立，则t=4，即P(4,0).又点P(4,0)满足条件t>2.综上所述，故存在定点P(4,0)，使经OPA=经OPB.........................................................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程x24x24=1；曲线C2的直角坐标方程为x-y+1=03【详解】（1）已知曲线C1:〈iθ(θ为参数(|cosθ=x2则〈|lsinθ=，由cos2θ(|cosθ=x2则曲线C1的普通方程为+y2=1．.................................................................................................2分1由曲线C2的极坐标方程为p=2sin(|(θ-，变形得p(||（sinθ-cosθ==1，............................................................................................3分即psinθ-pcosθ=1，且满足sinθ产cosθ,(pcosθ=x由互化公式〈lpsinθ=y，得y-x=1，即x-y+1=0.故曲线C2的直角坐标方程为x-y+1=0．.......................................................................................5分（2）由于P(-1,0)在直线l上，(|x|x设A，B对应的参数分别为t1，t2，（t为参数 2............................................................................................7分则t12t2=-，................................................................................................................8分PAPBPAPBtt222553故的值为3故的值为PA.....................................................................................................................选修4-5：不等式选讲(2)证明见解析 解得x≥5或<x<5或x<-4 2∴不等式的解集为(-m,-4)不,+m；...........................................................................................5分（2）证明：由f(x)=〈|4x-2,-1<x<5，可得f(x34．.................................................................................................................10分（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】D【分析】由分式不等式的解法，解出集合B，根据集合的交集运算，可得答案..故选：D.2．设复数z=，其共扼复数为z，则z+3i=()【答案】A【分析】由复数的除法，计算得z和z，再由复数模的计算公式，计算z+3i.【详解】复数1-i(1-i)(1+i)【详解】复数1-i(1-i)(1+i)故选：A3．已知m，n是两条不同直线,a是平面,且n仁a，m仁/a，“m//a”是“m//n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线与平面的关系即可结合必要不充分条件的判定求解.【详解】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由m//c，不能得到m//n，而m//n，n一c，m一/c，则m//c，所以“m//c”是“m//n”的必要不充分条件，故选：B42023·四川泸州·统考一模）若cos(c+β)=一，cosccosβ=1，则cos(2c一2β)=()ABCD【答案】C【分析】利用两角和（差）的余弦公式求出cos(c一β)，再由二倍角公式计算可得.【详解】因为cosccosβ=1，cos(c+β)=一，所以cos(c+β)=cosccosβ一sincsinβ=一，所以sincsinβ=，所以cos(c一β)=cosccosβ+sincsinβ=，所以cos(2c一2β)=cos2(c一β)2=2cos(cβ)122故选：C5．已知正方形ABCD的边长为，P在边AD上，则.(+)的最大值为()【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，得出A，B，C的坐标，设出点P坐标，利用坐标运算求解即可.【详解】由题意，建立如图所示坐标系，，，22故选：C.6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()【答案】B【分析】先将不超过30的素数列举出，再利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个，所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 +y>，可得出 +y>，可得出5x-yy1(x1) -+y55，再利用基本不等式可求出所求代数故选：B.7．函数f(x)=-xx的大致图像为()B.D.【答案】D【分析】根据函数奇偶性和特殊点的函数值进行判断即可.【详解】函数f(x)=-xx定义域为R，又因为f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；10sinx2x+2-x10sinx2x+2-x故选：D. y5x-yy y5x-yy5的最小值为() 55【答案】C【分析】由已知可得出式的最小值. x y1+=1+=5x x y +1 +y =+一y =+一1(1(x5|(x1)5)|1当且仅当5x155y5，即=时等号成立，所以yx +5xyy的最小值为故选：C.9．A，B，C，D是球O的球面上四点，AB=AC=BC=，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，则球O的表面积为()【答案】B【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可.【详解】由题意可知AD为球O的直径，设D到面ABC的距离为d，2d.S=牵d=2，则球心O到面ABC的距离为1，设OH」面ABC，易知H为等边ΔABC的外心，故选：B22xy a2bxy a2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1PFPF2PF,则双曲线的离心率为()2a2a【答案】C【分析】设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得|PF|=2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值.【详解】设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，b可得b可得a 2在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：|PF22|FF2P，即有9a2=a2+4c2-2ax2cx，化简可得c2=3a2，所以双曲线的离心率e==.故选：C.11．设首项为为()ASn的数列{an}的前n项和为Sn 23312【答案】D1=-，结合裂项法求和，即可求解.【详解】由bnananbnSnnnn-Sn-1，所以Sn-Sn-1=-SnSn-1，可得-=n之2)，lnJlnJn故选：D.12．若曲线f(x)=存在与直线y=kx垂直的切线，则k的取值范围是()3,0)【答案】D【分析】对f(x)=(x>0)求导后根据题意可得=-在(0,+伪)上有解.令g(x)=(x>0)，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式-之-，求解即可.【详解】对f(x)=(x>0)求导得f,(x)=(x>0)，当k=0时，曲线f(x)=不存在与直线y=kx垂直的切线，当k丰0时，若曲线f(x)=存在与直线y=kx垂直的切线，令g(x)=(x>0)，求导得g,(x)=，所以当23232（)（)所以g(x)在(|0,e上单调递减，在(|e,+伪)（)（)故选：D.第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分----------【答案】3【分析】根据给定条件，利用夹角公式求出cosC，再利用三角形面积公式求解作答.2C =2所以ΔABC的面积SΔABC=2故答案为：3------------【答案】14【分析】首先画出可行域，将目标函数变形根据其几何意义即可求得当z=3x一2y过点(2,一4)时，取得最大值为14.【详解】根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：若z=3x2y取得最大值，即直线y=x在y轴上的截距取得最小值，将y=x平移到过点A(2,一4)时，直线y=x一在y轴上的截距最小，此时目标函数z=3x一2y有最大值为14.故答案为：1415．若直线l：ax+by=0与圆C：x2+y2-4x-4y-10=0相交于A，B两点，AB之8，则直线l的斜率的取值范围为.【答案】2-,2+【分析】先求得圆心和半径，根据AB的范围列不等式，求得的取值范围，进而求得直线l的斜率的取值范围.【详解】将圆C的方程x2+y2-4x-4y-10=0整理得(x-2)2+(y-2)2=(3)2，圆心坐标为(2,2)，半径为3，22设直线l的斜率为k，则k=-，直线l的斜率的取值范围是2-,2+.故答案为：2-,2+16．已知f(x)为偶函数，且当x=[0,+m)时，f(x)+xf,(x)<0，其中f,(x)为f(x)的导数，则不等式(1-x)f(x-1)+2xf(2x)>0的解集为.【答案】(-m,-1)【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答.【详解】令函数g(x)=xf(x)，当x=[0,+m)时，g,(x)=f(x)+xf,(x)<0，即函数g(x)在[0,+m)上单调递减，由f(x)为偶函数，得g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，即函数g(x)是奇函数，于是g(x)在R上单调递减，不等式(1-x)f(x-1)+2xf(2x)>0常2xf(2x)>(x-1)f(x-1)常g(2x)>g(x-1)，因此2x<x-1，解得x<-1，所以原不等式的解集是(-m,-1).【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1712分）某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成五组，并整理得到如下频率分布直方图;已知成绩的中位数为75(1)求x，y的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替);(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.(2).）：:y=0.025，.........................................................................................................................................2分:x=0.02，...........................................................................................................................................3分（2）第四组与第五组人数的比为2:1，:从第四组抽选4人，记为1,2,3,4，从第五组抽选2人，记为a,b，..........................................................................................................7分共15种，...............................................................................................................................................9分故恰好来自同一组的概率p=........................................................................................................12分1812分）记‘ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinC=csin.(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分经ABC，a=2，b=，求线段BD长.【答案】(1)B=(2)【详解】（1）由已知bsinC=csin，根据正弦定理可得sinBsinC=sinCsin，..................1分则有2sincos=sin，..................................................................................................................3分所以=，则B=．....................................................................................................................6分（2）在‘ABC中，根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accos=a2+c2+ac，2+2c，解得c=1或c=-3（舍去...............................................................................8分由面积关系可得S‘BCD+S‘ABD=S‘ABC，.........................................................................10分即2BD+BD=2，可得BD=...........................................................................................................12分1912分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，经ABC=60。，AP=AB，PB=4，平面PABL平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点.(1)证明：CDL平面PAE；(2)求点A到平面PEF的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2.5）：AP2AB2PB2，APAB........................................................................................................1分：平面PAB平面ABCD，且交线为AB，AP平面PAB，AP平面ABCD，：CD平面ABCD，APCD.......................................................................................................2分连接AC，AF，如图，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，所以ΔACD为等边三角形.又因为E为CD的中点，所以CDAE，.........................................................................................4分又APnAEA，AP平面PAE，AE平面PAE，所以CD平面PAE.............................................................................................................................6分（2）设点A到平面PEF的距离为h，则VAPEFVEPAF，因为ABⅡCD，所以AEAB，又由（1）知AEAP，又APnABA，AP平面PAB，AB平面PAB，所以AE平面PAB，...........................8分又PF平面PAB，AF平面PAB，所以AEPF，AEAF，又AFPB2，AE2sin60，又由PFAE，PFAF，AEAFA，AF平面AEF，AE平面AEF，所以PF平面AEF，.........................................................................................................................10分且PF2，FE，所以点A到平面PEF的距离为.................................................................................................12分2012分）设a，b为实数，且a>0，函数f(x)=ax-blnx-1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=b=1，函数g(x)=xf(x)，试问g(x)是否存在极小值点?若存在，求出g(x)的极小值点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1bax-ba-=xx,xbax-ba-=xx,f(x)在区间(0,+伪)上单调递增；...........................................................2分当xe,+伪时，f¢x)>0，f(x)单调递增.................................................................................4分综上，当b<0时，f(x)在区间(0,+伪)上单调递增；（2）当a=b=1时，g(x)=xf(x)=x2-xlnx-x，x>0，故g2x-1x令h(x)=2x-lnx-2，x>0，所以h2x-1x,........................................................................6分当xe,+伪时，h,(x)>0，h(x)单调递增...................................................................................8分，g(x)单调递减；................................................................10分11_b22a故g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1......................................................................................12分(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知过右焦点F的直线l与C交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使经OPA=经OPB？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)存在，P(4,0)c 【详解】（1c a所以椭圆C的方程为+=1.......................................................................................................2分所以a2=12............................................................................................................................................4分所以椭圆C的标准方程为+2=1.................................................................................................5分（2）存在定点P(4,0)，使经OPA=经OPB.理由如下：由（1）知，c2=12_3=9，则点F(3,0).设在x轴上存在定点P(1,0)，使经OPA=经OPB成立......................................................................6分当直线l斜率为0时，直线右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点，若经OPA=经OPB，则t>2，或t<_2.....................................................................................7分当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2)，.消去x并整理，得(4+m2)y2+6my_3=0，则y1+y2=_,y1y2=_....................................................................................................9分所以 y1所以+1x_t1PBPB--+==0恒成立，...............