2024年中考数学几何模型24专题专题07 对称、折叠问题含解析

2024年中考数学几何模型专题07对称、折叠问题对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本文从基本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．一、从性质说起关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．性质一：对应角相等由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下1-3题：（2019·江西）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则．（2019·邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于A． B． C． D．（2018·兰州）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为A． B． C． D．对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角．4、5有关30°特殊角，6、7有关60°特殊角．（2018·毕节市）如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线对折得到，若平分，则折痕的长为A．3 B． C． D．6（2019·辽阳）如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，，则线段的长是A．8 B． C． D．10（2019·潍坊）如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则．（2018·遵义）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为．（2019·黄冈）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是．性质二、对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会用到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题目分类值得商榷，但此处只需强调一点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．（2019·朝阳）如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，，若，则的长为．（2018·威海）如图，将矩形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，为折痕；点与边上的点重合，为折痕．已知，，，求的长．（2019·杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于．性质三：对称点连线被对称轴垂直且平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，但终可求线段长．（2018·襄阳）如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点．若，则的长为．（2018·青海）如图，把直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，将沿着斜边翻折后得到，则点的坐标是A．， B．， C． D．，（2019·淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则．（2017·资阳）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿直线折叠，使点落在点处，则线段的长度是A．1 B． C． D．（2019·重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为A． B． C． D．专题07对称、折叠问题对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本文从基本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．一、从性质说起关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．性质一：对应角相等由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下1-3题：（2019·江西）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则．【分析】利用对称倒角即可．∵∠BAD=∠ABC=40°，∴∠ADC=80°，∠ADB=100°，∴∠ADE=100°，∴∠CDE=20°．（2019·邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于A． B． C． D．【分析】根据对称前后的图形全等，对应角相等．∵∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°，∵点D是BC中点，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=54°，∵△ADF≌△ADC，∴∠DAF=∠DAC=54°，∴∠EAF=，又∠F=∠C=54°，∴∠AEF=108°，∴∠BED=108°，故选B．（2018·兰州）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为A． B． C． D．【分析】在对称前后图形中找相等角．在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，根据折叠可得∠ADB=∠FDB，∴∠DBF=∠FDB，又∠DBF+∠FDB=∠CFD=40°，∴∠DBF=∠FDB=20°，∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°，∴∠E=∠A=112°，故选B．对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角．4、5有关30°特殊角，6、7有关60°特殊角．（2018·毕节市）如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线对折得到，若平分，则折痕的长为A．3 B． C． D．6【分析】找出图中隐藏的特殊角．由题意可得：，∵AD=3，∴，，故选B．（2019·辽阳）如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，，则线段的长是A．8 B． C． D．10【分析】根据图形位置的特殊性，寻找隐含条件．根据点Q在EF上且∠BQP=90°，∴BA=BP，∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°，∵，∴PC=4，PB=8，∴AB=8，故选A．（2019·潍坊）如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则．【分析】两次折叠可以得到更多相等．由题意可得：，∴，∴．（2018·遵义）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为．【分析】等边翻折得到一线三等角．由题意可得：，易证△FGD∽△GEB，∴，设FG=x，则AE=x，DF=8-x，设GE=y，则AE=y，BE=8-y，代入得：，解得：，∴，故BE的长为．看似120°的角，实则另有构造．（2019·黄冈）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是．【分析】两点之间线段最短可以用来求最大值．考虑到M是AB中点且∠CMD=120°，∴作点A关于CM的对称点，作点B关于DM的对称点，连接，易证是等边三角形，∴，，∴当共线时，CD取到最大值14．性质二、对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会用到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题目分类值得商榷，但此处只需强调一点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．（2019·朝阳）如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，，若，则的长为．【分析】多次折叠存在多组全等．显然F、G分别是AB、BC中点，故FG是AC边的中位线，求AC长即可．∵DE=2，∴，，∴，∴．（2018·威海）如图，将矩形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，为折痕；点与边上的点重合，为折痕．已知，，，求的长．【分析】根据对称的性质．∵，∴，，∵，∴，，过点K作KP⊥BC交BC于P点，设KP=x，则EP=x，，∴，解得x=1，故，，∴，故BC的长为．（2019·杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于．【分析】求矩形面积，考虑能否把矩形相邻两边都算出来．两端往中间折叠，则可得：，∵∠FPG=90°，∴，易证∽，考虑两三角形面积分别是4和1，所以相似比为2:1，设AB=a，则，，，∴，表示面积：，解得a=2，，又AB=2，∴矩形ABCD面积为．性质三：对称点连线被对称轴垂直且平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，但终可求线段长．（2018·襄阳）如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点．若，则的长为．【分析】由对称可得AP⊥BD，易证△ABE∽△DAB，设AB=x，由题意得：，代入得：，∴，又矩形ABCD面积为，∴，解得x=4，∴AB=4，，，记AP与BD交点为H，则，代入解得：，∴．（2018·青海）如图，把直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，将沿着斜边翻折后得到，则点的坐标是A．， B．， C． D．，【分析】显然连接OC，通过特殊角求得C点坐标．连接OC交AB于点D，则OC⊥AB，∴∠BOC=∠OAB=30°，∵OB=2，∴，，过点C作CH⊥y轴交y轴于H点，则，，∴C点坐标为，故选C．（2019·淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则．【分析】求tan∠HAP的值，构造包含∠HAP的直角三角形．连接BP，∵HA=HP=HB，可证∠APB=90°，由对称性质可知：BP⊥HC，∴AP∥HC，∴∠HAP=∠BHC，∵，∴．（2017·资阳）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿直线折叠，使点落在点处，则线段的长度是A．1 B． C． D．【分析】可以考虑构造包含CF的直角三角形．连接DF，则DF⊥AE，垂足记为M，则M是DF中点，又点E是DC中点，故ME是FC边中位线，∴DF⊥FC，由，得：，∴，勾股定理得：，故选C．（2019·重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为A． B． C． D．【分析】从中点处翻折，连接对称点．连接，则⊥BD，垂足记为F，由DA=DC=，可得，∵，∴，DF=1，BF=2，BC=7，点D到的距离等价于点D到BC的距离，考虑用等积法．过点D作DH⊥BC交BC于H点，则，代入解得：，故选B．【小结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直角三角形．专题08矩形中的对称、折叠问题涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样．比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键．如图，四边形是矩形纸片，将沿折叠，得到，交于点，．，则．（2019·天水）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为．（2018·泰安）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为．（2019·鞍山）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线上时，的长为．（2019·莱芜区）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，使得落到矩形内点的位置，连接，若，则．（2018·大连）如图，矩形中，，，点为上一点，且，将沿翻折，得到△，连接并延长，与相交于点，则的长为．（2019·锦州）如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到△，连接，则的最小值是．（2019·泰安）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是．（2019·桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，、、为折痕，若顶点、、都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上，则的值为A． B． C． D．（2018·南宁）如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为A． B． C． D．（2018·兴安盟）如图，在矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，和分别与相交于，两点，且，则的长为．综上，关于矩形对称，大致思路如下：专题08矩形中的对称、折叠问题涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样．比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键．如图，四边形是矩形纸片，将沿折叠，得到，交于点，．，则．【分析】易证△AFB≌△EFD，∴BF=DF，设AF=x，则BF=DF=2x，又AB=3，故，解得：，∴．【小结】沿对角线折叠，则必有一组全等．（2019·天水）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为．【分析】根据对称可知AF=AD=5，又AB=3，∴BF=4，∴FC=1，设CE=x，则DE=3-x，EF=3-x，∴，解得：，∴，，∴．【小结】对称点落在矩形边上时，放眼看去都是直角三角形，找到一个包含原矩形两边的三角形（△ABF）是关键．（2018·泰安）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为．【分析】根据折叠可知，又，BC=10，∴，∴DE=8，AE=2，∴，∴．【小结】类似上一题，放眼看去都是直角三角形，思路依然是找到原矩形两边构成的直角三角形（）．（2019·鞍山）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线上时，的长为．【分析】可能情况如下：情况一：如上左图，由题意可得：，DM=4，∴，，对于，设CE=x，则，EN=4-x，根据勾股定理可得：，解得：，故CE的长为．情况二：如上右图，易证，∴NF=3，MF=2，易证，∴CE=10．综上所述，CE的长为或10．（2019·莱芜区）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，使得落到矩形内点的位置，连接，若，则．【分析】过F点作MN∥BC分别交AB、CD于M、N两点，∵，设FM=x，则AM=2x，，对Rt△BMF用勾股定理：，解得：，（舍），易证△BMF∽△FNE，∴，代入得：，解得：，∴CE的长为．【小结】对称点落在内部则可作辅助线，使点落在矩形边上．（2018·大连）如图，矩形中，，，点为上一点，且，将沿翻折，得到△，连接并延长，与相交于点，则的长为．【分析】可通过三角函数值来计算．由题意得：，过点作⊥BC交BC于H点，则，，∴，，又，∴．【小结】矩形对称，自带直角也要再构造直角，勾股、相似、三角函数均与直角相关，明确了思路解题便不是难事．（2019·锦州）如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到△，连接，则的最小值是．【分析】根据圆的定义可知轨迹是个圆弧．任意时刻均有，故轨迹是以点M为圆心，1为半径的圆弧，连接CM，与圆弧的交点为所求点，此