2024年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2•4a3＝8a54．（3分）关于一元二次方程2x2+mx＝3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°6．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上（）A． B． C． D．7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁人数（个）283在下列统计量，不受影响的是（）A．中位数，方差 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．中位数，众数8．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8（）A．2 B． C．4 D．69．（3分）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣810．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．若m＜n＜c，则t的取值范围是（）A． B．1＜t＜3 C．0＜t＜1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）一元一次不等式组的解集为．12．（3分）如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1（5，﹣2），则点A的坐标为．13．（3分）化简分式的结果是．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是．15．（3分）如图，在▱ABCD中，，BC＝2，垂足为H，AH＝，AH长为半径画弧，与AB，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF与扇形AHG合并围成一个圆锥的侧面.（结果保留根号）16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G；②连接DG，则∠CGD＝45°，则BG平分∠DBF；④连接DG交AC于点M，（填序号）．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。17．（7分）计算：．18．（7分）今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）（套）．（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？19．（7分）为了贯彻金堂县全面提高素质教育要求，了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽查了名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为，喜欢“戏曲”活动项目的人数是人；（2）若在“①舞蹈、②乐器、③声乐、④戏曲”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“①舞蹈、③声乐”这两项活动的概率．（6分）五、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。20．（9分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥ON）．已知基座高度MN为1m，测得主臂伸展角∠PME＝37°．（参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）（1）求点P到地面的高度；（2）当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ＝113°，求QN．21．（9分）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，B，F均在⊙O上，且OA，OF为不同时刻晷针的影长，OF，D，连接AC，BC（1）求证：OF⊥AC；（2）若OE＝4，，求BC的长．22．（9分）如图，一次函数的图象交x轴于点A，C为AB的中点，双曲线的一支，连接OC，将线段OC沿着y轴向上平移至EF于点D．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若DE：DF＝1：2，求点D的坐标．六、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。23．（12分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，连接AD，以AE和AD为一组邻边作▱ADGE．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求▱ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；（3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．24．（12分）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，那么称点C为线段AB的黄金分割点．（1）如图1，请直接写出CB与AC的比值是；如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，则AB＝，在BA上截取BD＝BC，则AD＝，在AC上截取AE＝AD，则的值为；（2）如图3，用边长为a的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，即使点A的对应点H落在EN上，得折痕EC；（3）如图4，在边长为2的正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时，连NM，延长NM交AD于E．

2024年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：D．2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（）A． B． C． D．【解答】解：A、俯视图是，不符合题意；B、俯视图是，不符合题意；C、俯视图是，符合题意；D、俯视图是，不符合题意．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2•4a3＝8a5【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误；B．∵，∴此选项的计算错误；C．∵a3﹣a＝a（a2﹣7）＝a（a+1）（a﹣1），∴此选项的计算错误；D．∵5a2•4a2＝8a5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D．4．（3分）关于一元二次方程2x2+mx＝3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：方程化为一般式为2x2+mx﹣3＝0，∵Δ＝m2﹣5×2×（﹣3）＝m2+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠8＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：C．6．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上（）A． B． C． D．【解答】解：显然△ABC中，∠ABC＝90°，又BC＝＝＝2．A、三角形是钝角三角形；B、直角三角形的两直角边的比是2：3；C、直角三角形的两直角边的比是1：4．D、如图2＝17+22＝5，EF2＝25+32＝13，DE3＝42＝16，DF8+EF2≠DE2，因此△DEF不是直角三角形，故D不符合题意．故选：C．7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁人数（个）283在下列统计量，不受影响的是（）A．中位数，方差 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．中位数，众数【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为20﹣2﹣8﹣2＝7，故该组数据的众数为15岁，总数为20，按大小排列后，15，则中位数为：（岁），故统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：D．8．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8（）A．2 B． C．4 D．6【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，∴图中阴影部分的面积为：×（7﹣，故选：A．9．（3分）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x＝0代入y＝x+b，∴y＝b，∴B（0，b），∴OB＝﹣b，令y＝6代入y＝x+b，∴x＝﹣b，∴（﹣b，0），∴OA＝OB＝﹣b，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，设M（x，y），∴CF＝﹣y，ED＝x，∴﹣y＝ACBD，∴AC＝﹣y，BD＝x，∵AC•BD＝8，∴﹣y•，∴xy＝﹣4，∵M在反比例函数的图象上，∴k＝xy＝﹣6，故选：B．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．若m＜n＜c，则t的取值范围是（）A． B．1＜t＜3 C．0＜t＜1 D．【解答】解：∵m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得﹣7a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜2a，∵a＞0，∴，∴＜t＜5．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）一元一次不等式组的解集为x＜1．【解答】解：解不等式2﹣x＞1得：x＜4，则不等式组的解集为x＜1，故答案为：x＜1．12．（3分）如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1（5，﹣2），则点A的坐标为（﹣10，4）．【解答】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′（2，﹣2），∴点A的坐标是[5×（﹣8），﹣2×（﹣2）]，4）．故答案为：（﹣10，4）．13．（3分）化简分式的结果是．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是﹣2．【解答】解：设另一个根为m，则3m＝﹣6，解得m＝﹣6，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，在▱ABCD中，，BC＝2，垂足为H，AH＝，AH长为半径画弧，与AB，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF与扇形AHG合并围成一个圆锥的侧面.（结果保留根号）【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝+1，AB∥CD，∴∠BAD+∠D＝180°，在Rt△ADH中，DH＝＝，∴∠DAH＝30°，∴∠D＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAD＝120°，∵CD＝+1，∴CH＝CD﹣DH＝，∴CH＝AH，∴∠CAH＝45°，∴∠BAC＝120°﹣45°﹣30°＝45°，∴用扇形AEF与扇形AHG合并围成的圆锥底面圆的周长为：＝，∴圆锥底面圆的半径为：÷2π＝，故答案为：．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G；②连接DG，则∠CGD＝45°，则BG平分∠DBF；④连接DG交AC于点M，①②③（填序号）．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；故①正确；∵AE平分∠CAB，CF⊥AE，∴∠CAG＝∠FAG，∠AGC＝∠AGF＝90°，∵AG＝AG，∴△ACG≌△AFG（ASA），∴AC＝AF，∵∠CAF＝45°，∴∠ACG＝∠F＝67.5°，∵DC＝AB，∠DCG＝∠ABG＝112.5°，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠BAG＝22.5°，∴∠CGD＝180°﹣22.5°﹣112.5°＝45°，故②正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.8°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.4°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；故③正确；∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.4°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.7°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴＝，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。17．（7分）计算：．【解答】解：＝﹣1+3﹣5×＝﹣1+3﹣＝3．18．（7分）今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）（套）．（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？【解答】解：（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是（x+25）元，由题意得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是方程的解，∴x+25＝50+25＝75，答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；（2）设购买鲁迅文集a套，由题意得：50a+75（10﹣a）≤570，解得：a≥7.2，∵a＜10且a为正整数，∴a＝6或9，则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套；②鲁迅文集4套．19．（7分）为了贯彻金堂县全面提高素质教育要求，了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽查了50名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为24%，喜欢“戏曲”活动项目的人数是4人；（2）若在“①舞蹈、②乐器、③声乐、④戏曲”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“①舞蹈、③声乐”这两项活动的概率．（6分）【解答】解：（1）抽查的人数＝8÷16%＝50（名）；喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比＝×100%＝24%；喜欢“戏曲”活动项目的人数＝50﹣12﹣16﹣8﹣10＝2（人）；故答案为50，24%，4；（2）舞蹈、乐器、戏曲的序号依次用①②③④表示，画树状图：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中“①舞蹈，所以恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率＝＝．五、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。20．（9分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥ON）．已知基座高度MN为1m，测得主臂伸展角∠PME＝37°．（参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）（1）求点P到地面的高度；（2）当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ＝113°，求QN．【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，∴PF＝PM•sin37°≈5×＝3（m），∴PG＝PF+FG＝3+6＝4（m），∴点P到地面的高度约为4m；（2）∵∠PMF＝37°，∠PFM＝90°，∴∠MPF＝53°，∵∠MPQ＝113°，∴∠QPG＝113°﹣53°＝60°，∵PG＝4m，∴QG＝PG＝（m），∵PM＝5m，PF＝3m，∴FM＝＝4（m），∴QN＝QG+NG＝（7+4）（m）．21．（9分）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，B，F均在⊙O上，且OA，OF为不同时刻晷针的影长，OF，D，连接AC，BC（1）求证：OF⊥AC；（2）若OE＝4，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AB为圆O直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵OE∥BC，∴OE⊥AC．即OF⊥AC；（2）解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵OE∥BC，∴∠OCB＝∠EOC，∴∠OBC＝∠EOC，∵EC是圆O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠ACB，∴△OCE∽△BCA，∴，∴，∴BC＝．22．（9分）如图，一次函数的图象交x轴于点A，C为AB的中点，双曲线的一支，连接OC，将线段OC沿着y轴向上平移至EF于点D．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若DE：DF＝1：2，求点D的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝2，x＝5，∴一次函数的图象交x轴于点A（4，交y轴于点B（0，∵C为AB的中点，∴点C（7，1），∵点C（2，8）再反比例函数，∴k＝2×3＝2，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）如图，连接FC与过点D作y轴的平行线交于N，∵FC∥y轴，∴△EMD∽△FND，∴＝＝，∴MD＝MN＝，即点D的横坐标为，当x＝时，即y＝，∴点D（，3）．六、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。23．（12分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，连接AD，以AE和AD为一组邻边作▱ADGE．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求▱ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；（3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x6+bx+c与x轴交于A（4，0），7）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+5．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x7+x+5，∴C（0，2），∵E为线段AC的中点，∴E（7，1），设直线AC的解析式为y＝kx+n，∵A（4，5），2），∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．如图，连接DE，交AC于点N，设D（m，﹣m2+m+2），﹣m+2），∴DN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m6+2m，∴S△ADE＝DN•（xA﹣xE）＝×（﹣m2+7m）×2＝﹣m2+2m，∴S▱ADGE＝4S△ADE＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣6）2+4（4＜m＜4），∵﹣1＜5，∴当m＝2时，S▱ADGE有最大值4，此时D（7．（3）当G在y轴上的时候，如图，过点E作EF⊥AO交OA于点F，过点D作DH⊥CO交CO于点H，∵AE∥DG，∴∠GDH＝∠EAF，∴∠HGD＝∠FEA，∴△HGD≌△FEA（AAS），∴DH＝AF＝2，即点D的横坐标为2，将x＝6代入抛物线解析式得，解得y＝3，∴点D坐标为（2，2），当G在x轴上的时候，如图，∵AE∥DG，AE＝DG，∴∠GDA＝∠AEG，∴∠DGA＝∠EAG，∴△GDA≌△GEA（SAS），∵E（2，1），将y＝﹣4代入抛物线解析式，解得x1＝，x2＝，∴点D的坐标为（，﹣8）