中南大学 数学建模 lingo matlab 优化建模论文 垃圾填埋场的优化设计

2009暑期数学建模培训第一次模拟赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：59所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员(打印并签名)：1.李清元2.林元元3.牟兆祥指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2009年8赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：垃圾填埋场的优化设计【摘要】本文根据题中给出的市平均日产生活垃圾量、地价、银行利率、设备价格等已知条件和查询的相关资料，就建造垃圾填埋场这一项目的政府预算进行了分析和优化，建立了无约束条件下的一元非线性规划模型，解决了该项目中最佳挖掘深度问题，并提出了该模型的改进方法，并在确立最佳挖掘深度的基础上对征地和购买机械的方案及预算进行了分析和优化，为政府在未来五十年内的垃圾处理规划提供了可行性的建议。首先，由于年产垃圾产量是固定的，挖掘深度和购地面积必呈反相关，可以建立二者之间的函数关系，同时挖掘深度和机器数量、消耗柴油数量、机器功率这些变量之间均可建立函数关系，这样，政府预算的目标函数就可由原来的多元函数问题转化成只跟挖掘深度有关的一元问题。通过对目标函数求导求最优解（使目标函数取最小值的挖掘深度），得出了各年的最佳挖掘深度随年数的增加大致呈阶梯型增长的结论，并以十年为一个阶段取平均值作为各阶段的最佳挖掘深度，得出第一个十年内的最佳挖掘深度为22.6米，第二个十年内的最佳挖掘深度为27.4米，第三个十年内的最佳挖掘深度为36.1米。对于第二问，由于问题一中建立的最佳挖掘深度分别和购机数量、征地面积的函数关系，得到每年的征地面积和购买机械的预算案。首先考虑到土地价格在不断上涨，愈晚购地地价愈高；同时如果及早征地，所贷款又会产生大量的利息将来需要还清，所以可以分步征地，每次征地面积应取最佳值从而使得预算达到最小（见附表）；另外，基于机械按阶段购买的假设，通过每年最佳挖掘深度来求出购机方案（见附表）。最后对于模型作出评价，考虑到挖掘工作的技术水平、土地价格上升等实际情况，该模型对于进行短期预算较为合理，对于长期预算在理论上可以作为参考。本模型不仅适用于建立垃圾清理场的预算问题，还适用于工程建筑的规划选址、工程造价预算等问题。【问题重述】某市平均日产生活垃圾约为1000立方米（以压缩后体积计），现欲建一垃圾填埋场，将垃圾挖坑后填埋，再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被。现在需要就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策。考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题，市政当局希望给出花钱最少的预算。现已知下列情形：1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，无须处理，但须运上地面，并须留出填埋覆盖用土。2.每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年。3.填埋场预计使用五十年。4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中，无须作功。5.现征地费用为20万元/亩（），根据统计资料知，此前三年地价涨幅为平均10%/年。6.机械使用柴油，效率为30%。在平地作业时，将一立方土移动一米需作功100kJ，但随挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基础上下降10%。7.当前银行贷款年利率为5%，存款利率为3%。8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等)。需要解决的问题是：按市政当局要求，建立数学模型，为该项目计算出最佳的挖掘深度，评价模型优缺点；作出征购土地，购买机械的方案及预算。【问题分析】本题基于备受社会关注的垃圾处理问题，通过市政当局的要求来作预算，既要保证垃圾及时完全处理，又须节省开支，因此需要考虑种种因素，比如挖掘和填埋机械需要庞大的支出、机械运作消耗的大量的柴油、购置足够填埋垃圾的土地所需的费用以及贷款产生的利息等等，这些因素对预算案的制定至关重要。首先分析挖掘最佳深度的问题：因为后来地价会不断上涨，为降低预算每天填埋垃圾所需占用的土地面积S应尽可能小，但又由于垃圾的日产量(体积V=hS)一定，这样会增大挖掘的深度h，随着挖掘深度的增加，消耗的柴油量增加，这在一定程度上也增加了支出，故所占用的土地面积S又不能太小(挖掘深度h不能太大)。综合上述分析可知，每一年挖掘深度h是不同的,同时由于每一年的地价保持不变，所以挖掘深度h在同一年中保持不变。然后分析征地和购买机械预算的问题：由于填埋场使用寿命五十年，故只需作出五十年内征购土地，购买机械的方案及预算。基于土地价格在不断上涨，愈晚购地地价愈高；同时如果及早征地，所贷款又会产生大量的利息将来需要还清，所以可以分步征地，每次征地面积应取最佳值从而使得预算达到最小。又因为挖掘和填埋机械寿命为10年，10年后继续购置新的设备，这样可以考虑在每一个10年段购买一次机械，分段进行购买，这样不但节省了及早购买贷款产生的利息，而且避免了由于其寿命限制造成的损失。解题思路：分析问题，作出假设分析问题，作出假设建立数学模型建立数学模型编程求解模型确定每一年的最佳挖掘深度确定最佳购地方案、机械购买方案确定每年的预算和50年的总预算编程求解模型确定每一年的最佳挖掘深度确定最佳购地方案、机械购买方案确定每年的预算和50年的总预算【基本假设】1.该市生活垃圾日产量在未来五十年内保持为1000立方米；柴油价格在未来的五十年内保持不变；每套挖掘及填埋机械设备的价格保持不变；未来五十年内地价涨幅不变，而且在同一年中地价不变；银行贷款年利率不变，以后政府将一次性还清贷款；由于垃圾污染环境，需倒掉后即刻掩埋；挖掘和填埋机械始终保持相同的性能，并且它的的效率随着深度的增加均匀减小；挖掘和填埋机械向地面移动土做功是均匀变化的，垃圾表面覆盖的一米厚土层由填埋机直接抛入坑中无需做功，并且挖掘和填埋机械在水平面上移动物体不做功；垃圾填埋场工人的工资不计；10.预算按每年来进行，一年按365天计。【变量说明】序号变量名称变量含义1第i年最佳挖掘深度2挖掘至h深度时机械的效率3柴油的燃烧值4挖掘一个存放日生活垃圾的坑所做的总功5柴油的单价6挖掘和填土机的功率7挖掘机一天工作的时间8机械工作一天消耗的柴油质量9机械工作一天消耗的柴油总价10挖掘和填土机械单价11第i年的征地面积12第i年单位面积土地价格13第i年柴油消费总量14第i次购买挖掘和填土设备的总费用15第i年的预算16建垃圾填埋场50年的总预算17一次性购买挖掘机的数量18银行贷款年利率19地价涨幅系数20第i年每天的挖掘面积21第i年购地总花费【模型建立、分析和求解】问题一的分析和求解——无约束非线性规划模型该问题是在综合考虑各种因素作用下寻求最佳挖掘深度的问题，亦即寻求规划模型的最优解的问题，由于影响因素复杂，目标函数或约束条件是非线性的，故可以建立非线性规划问题的模型。首先根据实际需要和可能，提出要追求最优化的目标，并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式，即构造出目标函数，并考虑目标好坏的价值标准。然后，由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。再根据这些条件，通过一定的数学方法和工具，求解出模型的最优解。对于此题，要求最佳挖掘深度，考虑到市政当局需要花钱最少的预算，从地价的增长对政府预算的影响、征地面积同挖掘深度的关系等因素考虑，建立每一年的预算与当年挖掘深度、购地面积、柴油消费总量等变量的函数关系，并找出各量之间的关系式，对这个非线性规划模型进行优化求解，即可规划出最优的挖掘深度。为建立目标函数，需要先查找跟各个量有关的数据资料.根据已知条件及所查得的的数据得到如下所示：为建立模型，“每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年”，先不妨假设第一年一次性购买设备，十年之后再另购设备，依次下推，第t次购买设备的费用为：2.将地价单位换算为：20万/亩=300元/平方米,根据假设地价涨幅不变,第i年单位面积土地价格：3.挖掘至h深度时机械的效率:4.挖掘一个存放日生活垃圾的坑所做的总功:5.机械工作一天消耗的柴油总价：6.由假设条件8并忽略其他次要因素的影响，可得到以下关系：7.由“平均日产生垃圾约为1000立方米”可得，每年最佳挖掘深度和每年所需土地面积的关系为：由以上条件可得出政府每年所需的预算为上式即为该规划问题的目标函数，使函数取得最小值的解即为该目标函数的最优解。由于条件的限制，可能只能求得近似最优解。根据所列条件可将上式化简为其中，该目标函数中符号除h外，其他量均为已知量，目标函数F经化简后可转变为只含有一个自变量h的非线性函数。由函数表达式可知，每一年的最佳挖掘深度在理论上并非固定不变的，而是每年都有各自的最佳值，这同上面的分析是一致的。为了求出该目标函数的最佳值，即求得最优解，可给出函数对挖掘深度h的导数，令其等于零，该点的h值在理论上应为目标函数的最优解，同时还能得到相应的政府预算和购地面积等量。由于函数形式复杂，应用matlab(7.0)进行求解，得到结果见附表一。由得到的数据建立各个量之间的曲线关系图如下：图一最佳挖掘深度随时间变化曲线由图一可知，从总体趋势来看，在理论上，从当前（第一年）开始，每年的最佳挖掘深度随年数的增加大致曾阶梯型增长曲线，而在第1、11、21、31、41年曲线形状发生突变，这与假设在这些年一次性购进各阶段所需的机械设备有关。通过这个模型可以求出政府在第1、11、21、31、41这些年之外的各年度预算函数与挖掘深度的最优解（近似最优解），而且我们可以从总的趋势预测在第1、11、21、31、41年的最佳挖掘深度。但是，考虑到政府规划的实际情况，以及技术水平、设备数量等实际情况，每年取一个最佳挖掘深度并不合理，我们取十年为一个规划阶段，并着重考虑前三个十年内的情况。取每个阶段内的平均值作为该阶段的最佳挖掘深度，有：第一个十年内的最佳挖掘深度为22.6米；第二个十年内的最佳挖掘深度为27.4米；第三个十年内的最佳挖掘深度为36.1米；而对第四、五个十年的最佳值，通过模型求得的最佳值较大，考虑到在技术上的实现难度以及设备数量的合理性，应作修改，可以沿用第三个十年的最佳挖掘深度。由于垃圾年产量一定，总体积V=365000m3，所以每年挖掘深度hi取决于每年的用地面积xi，而用地面积又受到地价的限制，并且一年内土地价格不变，所以一年中的挖掘深度也不会发生变化。因为填埋垃圾要留出1m的填土高度，这样可以建立关系式，根据上述关系式和得到的每年的最佳挖掘深度可以借助于MATLAB软件绘出挖掘深度和征地面积的关系图（图二），分析图后可知挖掘深度与征地面积之间存在着反比例关系。再利用MATLAB绘出每年的挖掘深度和该年预算的关系图（图三），分析图后可知：在第1年、第11年、第21年、第31年、第41年的点比较离散，但它们又是逐年递增的，而50年中的其余各年对应的点是连续均匀递增的。可以说明每年预算和挖掘深度呈现正相关，即挖掘深度愈大，每年的预算也就愈大。图二每年挖掘深度和每年征地面积的关系图三挖掘深度和每年预算的关系关于购地方案的分析：首先考虑到土地价格在不断上涨，愈晚购地地价愈高；同时如果及早征地，所贷款又会产生大量的利息将来需要还清，所以可以分步征地，每次征地面积应取最佳值从而使得预算达到最小。现在有两种可行方案，方案一：及早征地，由于贷款年利率在未来50年内保持为5%不变，假设在时刻征地面积x，到t时刻则需要支出；方案二：经过一段时间t后再征地，由于地价在不断上涨，涨幅始终保持为10%，假设同样征地x，需要花费，，这说明提前征地要比后来征地要划算。进一步说明提前征地的经济性和优越性，不妨假设经过一定时间t后征地x，总共征地k次（kt=50年），则征地花费：由此可知，M为在k的定义域内单调递增，当且仅当k=1时M取到最小值，即征地花费最小。这又进一步验证了提前征地比延迟分步征地更优，说明：一次性购买50年所需的土地为最佳方案，总面积为564350.8496平方米，合计为846.552亩。为建立征地费用和征地面积之间的关系式，首先假设在第t年征地，此时地价为,那么关于该年的征地的费用为。关于购买机械设备方案的分析：通过对问题一的求解，可知每一年的最佳挖掘深度,通过基本假设，得到购买机械的套Ni与最佳挖掘深度hi的函数关系式：，这样就可以确定机械的购买方案：第1个十年购买2套，第2个十年购买4套，第3个十年购买6套，第4个十年购买11套，第5个十年购买21套（见附表）。每年的预算见附表，50年总预算，利用MATLAB编程后得到F=36.3749亿元。【模型评价及推广】由本题建立的非线性规划模型对于进行短期预算较为合理，对于长期预算在理论上可以作为参考。因为对一些量进行了假设，比如在未来50年内土地价格以相同的幅度增长、年利率保持不变、挖掘和填土机械设备价格不变以及柴油价格不发生变化等，而事实中，这些量都是在变化的，它们都是时间t的函数。在本模型假设的基础之上，可以适当调整一些起决定因素的量为变量，然后再求解模型。本模型不仅适用于建立垃圾清理场的预算问题，还适用于工程建筑的规划选址、工程造价预算等问题。【参考文献】数学建模原理与案例/冯杰,黄力伟等编著.—北京:科学出版社,2007数学建模/陈东彦,李冬梅,王树忠编著.—北京:科学出版社,2007附表：年份挖掘深度h(m)该年征地面积(m2)该年预算(万元)购机数量(套)113.3929451.481257.52224.3815613.6681.70324.8815282.67732.110425.3914962.62786.470525.9114653.01845.10626.4314353.4908.370726.9514063.39976.640827.4813782.591050.320928.0213510.621129.8701028.5513247.131215.7701117.3522322.322396.4241229.6412744.251408.7401330.1912504.24151701430.7412271.45163401531.312045.61760.4501631.8611826.431897.1401732.4311613.682044.930183311407.112204.7501933.5711206.482377.6102034.1511011.582564.6102121.8817482.624731.3262235.3110638.112985.8902335.910459.153222.8702436.4910285.123479.402537.0810115.843757.1402637.689951.144057.8902738.289790.864383.6102838.889634.854736.4302939.499482.955118.6603040.19335.035532.8103126.9114087.379637.98113241.339050.566468.0503341.958913.756995.3503442.578780.47567.0203543.198650.48186.8703643.828523.628859.0803744.458399.979588.1403845.098279.341037903945.728161.6411236.9804046.368046.7612167.9104132.3811631.2920176.13214247.647825.1314274.5104348.297718.2115464.5704448.947613.7816756.4604549.597511.7518159.0704650.247412.0619682.0604750.97314.6321335.9604851.567219.3923132.2404952.227126.2825083.3705052.887035.2427202.930附录一：functionF=main(a);forn=1:a;%积分symsxs=sym(10^8*x/(0.3*(f(n)-1)*0.9^x));j=int(s,0,f(n));%求每年预算if(mod(n,10)==1)F=1.05*(1500000*j/(120000*8*3600)+300*1.1^(n-1)*365000/(f(n)-1)+j*5.7*365/42800000);N=j/(120000*8*3600);elseF=1.05*(300*1.1^(n-1)*365000/(f(n)-1)+j*5.7*365/42800000);N=0;endC(n)=N;