高中数学知识点总结(文科)

_____________________________方______________________________第1页共43页必修1第一章集合与函数概念1.集合三要素:确定性、互异性、无序性.2.常见集合:整数集合:N;正整数集合:*N或+N;整数集合:Z;有理数集合:Q;实数集合:R.3.集合的表示方法:列举法、描述法、韦恩图法.4.子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集.记作BA?.5.真子集:如果集合BA?,但存在元素Bx∈,且Ax?,则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.6.把不含任何元素的集合叫做空集.记作:Φ.并规定:空集是任何集合的子集;空集是任何集合的真子集.7.如果集合A中含有n个元素,则集合A有n2个子集.8.并集:一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作:AB,即AB={|,xxA∈或}xB∈.9.交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作:AB,即AB={|,xxA∈且}xB∈.10.补集:对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作:UAe,即UAe={|,}xxUxA∈?且.11.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.12.函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.13.用定义法判断函数单调性的步骤:①取值;②作差变形;③定号;④判断.14.一般地,如果对于函数()xf的定义域内任意一个x,都有()()xfxf=-,那么就称函数()xf为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.15.一般地,如果对于函数()xf的定义域内任意一个x,都有()()xfxf-=-,那么就称函数()xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称.16.求函数定义域:①分母不为0;②偶次方根被开方数0≥;③对数的真数0>.17.用定义判断奇偶性的方法:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定)(xf-与)(xf的关系;③得出结论:若)()(xfxf=-或者0)()(=--xfxf,则)(xf是偶函数;若)()(xfxf-=-或者0)()(=+-xfxf,则)(xf是奇函数;第二章基本初等函数(Ⅰ)1.一般地,如果axn=,那么x叫做a的n次方根。其中+∈>Nnn,1.2.(1)),1()(*Nnnaann∈>=且(2)当n为奇数时,aann=;当n为偶数时,aann=.3.我们规定:⑴mnmnaa=()1,,,0*>∈>mNnma;⑵()01>=-naann;4.指数运算性质:⑴()Qsraaaasrsr∈>=+,,0;⑵()()Qsraaarssr∈>=,,0;⑶()()Qrbabaabrrr∈>>=,0,0.xNNaax=?=logxay=10<<a1>a图象定义域R值域(0,+∞)性质定点过定点(0,1)x对y影响当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1.当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1.单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性xya=和xya-=关于y轴对称奇偶性非奇非偶函数6.指数式与对数式互化:7.对数的运算性质:当0,0,1,0>>≠>NMaa时⑴()NMMNaaalogloglog+=;⑵NMNMaaalogloglog-=?????;(3)MnManaloglog=.(4)aaNa=log,01log=a,1log=aa.8.换底公式:abbccalogloglog=()0,1,0,1,0>≠>≠>bccaa.abbalog1log=()1,0,1,0≠>≠>bbaa.函数log(0,1)ayxaa=>≠叫对数函数.xyalog=10<<a1>a图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0在R上是减函数在R上是增函数当0<x<1时,y>0当x>1时,y<0当0<x<1时,y<0当x>1时,y>0;非奇非偶函数。10.幂函数的图象及性质(1)几种幂函数的图象:(2)幂函数的性质:①所有的幂函数在)(+∞,0都有定义,并且图像过点)(1,1②0>α时,幂函数的图象都通过原点,且在)(+∞,0上是增函数③0<α时,幂函数的图象在区间)(+∞,0上是减函数第三章函数的应用1.方程()0=xf有实根?函数()xfy=的图象与x轴有交点?函数()xfy=有零点.2.性质:如果函数()xfy=在区间[]ba,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0<?bfaf,那么,函数()xfy=在区间()ba,内有零点,即存在()bac,∈,使得()0=cf,这个c也就是方程()0=xf的根〖补充知识〗函数图象变换1.平移变换0,0,|()()hhhhyfxyfxh><=???????→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyfxyfxk><=???????→=+上移个单位下移|个单位2.伸缩变换01,1,()()yfxyfxωωω<<>=????→=伸缩01,1,()()AAyfxyAfx<<>=????→=缩伸3.对称变换()()xyfxyfx=???→=-轴()()yyfxyfx=???→=-轴()()yfxyfx=???→=--原点1()()yxyfxyfx-==????→=直线()(||)yyyyfxyfx=???????????????→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|xxyfxyfx=?????????→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去必修2第一章空间几何体(1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。(3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。(5)圆锥:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环。(7)球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.三视图:正视图:从前往后侧视图:从左往右俯视图:从上往下2.画三视图的原则:长对正、高平齐、宽相等高平齐长对正长对正宽相等3.直观图画法:斜二测画法4.斜二测画法的要求:(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2)平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;(3)画法要写好。5.斜二测画法的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图6.棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和7.圆柱的表面积8.圆锥的表面积2rrlSππ+=9.圆台的表面积22RRlrrlSππππ+++=10.球的表面积24RSπ=11.柱体的体积hSV?=底222rrlSππ+=P·αLβDCBAα12.锥体的体积hSV?=底3113.台体的体积hSSSSV?++=)31下下上上(14.球体的体积334RVπ=第二章直线与平面的位置关系1.平面含义:平面是无限延展的2.平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)3.三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用:判断直线是否在平面的理论依据(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为:三点不共线有且只有一个平面,使。公理2作用:确定一个平面的依据。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:公理3作用:判定两个平面是否相交的依据及点共线的依据LBA·αC·B·A·αααα?????????∈∈∈∈LBALBLAααα∈∈∈CBA,,CBA,,?αLPLp∈=???∈,且βαβα4.空间的两条直线有如下三种关系:???,没有公共点;平行直线:同一平面内有且只有一个公共点;相交直线:同一平面内共面直线异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。5.公理4(平行线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设、、是三条直线,公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。6.等角定理:空间中若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补7.异面直线所成角的定义:已知异面直线,,在空间中任取一点O,过点O分别做,,则与所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角8.直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线与平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用来表示9.线面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。符号表示:cabcba//////????aa'//bb'//a'b'abα?aabcα?aAa=?αα//aααα////ababa????????10.面面平行判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。符号表示:11.判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。12.线线平行判定定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。13.定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示:作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行14.线面垂直定义:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lαpβααββ//////??????????=???abaPbabababaa////??????=??βαβαbab////??????=?=?γβαγαβααLLLLααα⊥Lαlllxl与xl与00tan0===ook,α15.线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。16.二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα17.面面垂直判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。18.线线平行判定定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。19.线面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章直线与方程1.直线倾斜角的概念:当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,规定.2.倾斜角的取值范围:.当直线l与x轴垂直时,.3.直线的斜率:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是⑴当直线轴平行或重合时,⑵当直线轴垂直时,由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:2121yykxx-=-5.两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即L1∥L2?k1=k2lαo0=ααooo180<≤αo90=α()o90≠αααtan=k不存在,ko90=ααl()()22122221PPxxyy=-+-两点间的距离公式:),(2121yyxx≠≠6.两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即1212llkk=0⊥??7.直线的点斜式方程:直线l经过点),(000yxP,且斜率为k则)(00xxkyy-=-8.直线的斜截式方程:直线l的斜率为k,与y轴的交点为),0(b,bkxy+=9.直线的两点式方程:已知直线上的两点),(),,(222211yxPxxP其中112121y-yx-x=y-yx-x10.直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为A)0,(a,与y轴的交点为B),0(b,其中0,0≠≠ba,1xyab+=11.直线的一般式方程:0=++CByAx(A,B不同时为0)12.点到直线距离公式:点),(00yxP到直线0:=++CByAxl的距离为:2200BACByAxd+++=13.两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l:01=++CByAx,2l:02=++CByAx,则1l与2l的距离为2221BACCd+-=14.,22DE--()第四章圆与方程1.圆的标准方程:222()()xaybr-+-=,圆心为A(a,b),半径为r2.点00(,)Mxy与圆222()()xaybr-+-=的关系的判断方法:(1)2200()()xayb-+->2r,点在圆外(2)2200()()xayb-+-=2r,点在圆上(3)2200()()xayb-+-<2r,点在圆内3.圆的一般方程:022=++++FEyDxyx,(2240DEF+->),圆心半径r=2242DEF+-4.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线l:0=++cbyax,圆C:022=++++FEyDxyx,圆的半径为r,圆心)2,2(ED--到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当rd>时,直线l与圆C相离;(2)当rd=时,直线l与圆C相切;(3)当rd<时,直线l与圆C相交;5.两圆的位置关系:设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当21rrl+>时,圆1C与圆2C相离;(2)当21rrl+=时,圆1C与圆2C外切;(3)当<-||21rr21rrl+<时,圆1C与圆2C相交;(4)当||21rrl-=时,圆1C与圆2C内切;(5)当||21rrl-<时,圆1C与圆2C内含;6.空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M),,(zyx,x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标。7.空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP-+-+-=必修3第一章算法初步1.算法的特点:有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.2.算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.3.辗转相除法.也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:(1).用较大的数m除以较小的数n得到一个商0S和一个余数0R(2).若0R=0,则n为m,n的最大公约数;若0R≠0,则用除数n除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R(3).若1R=0,则1R为m,n的最大公约数;若1R≠0,则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R;……依次计算直至nR=0,此时所得到的1nR-即为所求的最大公约数.4.更相减损术(1).任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步.OyzxMP1P2NM1N2N1M2H(2).以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.5.秦九韶算法概念:1210123n1212n11011n1)))(())(()()(:)(axaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxfaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnn+++++==++++=+++=+++=----------求值问题求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即11-+=nnaxav然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即01323212axvvaxvvaxvvnnnn+=+=+=---这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。6.进位制表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.(2)k进制转化为十进制公式:(3)十进制转化为k进制:除k取余法110()110110(10)nnknnnnaaaaakakakak---=?+?++?+?LL注:k进制数之间的转化,首先转化成十进制,再转化为其他进制数.第二章统计1.简单随机抽样常用的方法:①抽签法②随机数表法(2)抽签法步骤:①编号②制签③搅拌均匀④抽签⑤确定样本(3)随机数表法:①编号②从数表中定“中心”③按事先约定好的方向取数④确定样本2.系统抽样(等距抽样或机械抽样):把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取.特点:抽出的样本编号按大小顺序排列时,编号之差为定值(即等距)。3.分层抽样(类型抽样):先将总体中的所有元素按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后按比例在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本.分层的比例问题:抽样比例==样本容量各层样本容量个体容量各层个体容量4.用样本的数字特征估计总体的数字特征①样本均值:12......nxxxxn+++=②方差:[]222212)()()(1xxxxxxnsn-++-+-=③样本标准差:222212()()......()nxxxxxxssn-+-++-==④众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据(可以是多个)⑤中位数:在样本数据中,从小到大排列,最中间的那一个数据,如果最中间有两个数据,取其平均值即为中位数.5.观察频率分布直方图(不知道具体数据)时求数字特征的方法:①样本众数:直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值.②中位数:在频率分布直方图中,累计频率为0.5时所对应的样本数据值(只有一个)。具体求解步骤是:第一步,根据直方图先求出各个小长方形的面积,(面积=频率,总面积为1)第二步,确定中位数在哪个小长方形里(中位数平分面积,两边各0.5)第三步,设中位数为x,则利用中位数平分面积,左边面积和为0.5列方程第四步,解方程,求出x.③平均数:第一步,根据直方图先求出各个小长方形的面积,(面积=频率,总面积为1)第二步,求出每个小长方形的底边中点的横坐标.第三步,面积与横坐标对应相乘.第四步,把第三步的结果相加,最终算出的数值即为平均数6.用样本的频率分布估计总体分布列频率分布表与画频率分布直方图的具体步骤如下:第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差.第二步:决定组距和组数:组数=组距极差(注意:当组距极差不是整数时,组数=[组距极差]+1.)第三步:将数据分组;第四步:列频率分布表:第五步:画频率分布直方图。(==频率小长方形的面积组距频率组距)7.两个变量的线性相关(1).正相关:从散点图看,点散布在从左下角到右上角的区域内.121()(),()niiiniixxyybaybxxx==--==--∑∑负相关:从散点图看,点散布在从左上角到右下角的区域内.(2).回归直线方程:axby???+=,其中),(,),,(),,(2211nnyxyxyx为样本点,线性回归方程axby???+=中系数计算公式:则∑∑====niiniiynyxnx111,18.统计案例⑴相关系数1222211niiinniiiixynxyrxnxyny===-=????--???????∑∑∑是用于衡量两个变量之间的线性相关程度的.0>r时表示两个变量正相关;0<r时表示两个变量负相关;r的绝对值越接近1,表明两个变量间的线性相关程度越高,当75.0>r时,可以认为两个变量有很强线性相关性.⑵相关指数()()221211niiniiyyRyy==-=--∑∑,用来刻画回归的效果,2R越接近1,表明回归效果越好.第三章概率1.随机事件的概率及概率的意义1.必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;2.不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件.3.随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件.4.频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数An为事件A出现的频数;称事件A出现的比例()AnnfAn=为事件A出现的频率。(频率=频数÷样本总数)5.当试验的次数越多时,频率就越接近一个稳定值,这个稳定值我们称之为“概率”,即频率可看成概率的近似值.6.概率的基本性质(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1(2)事件的关系有:包含、并事件、交事件、相等事件.(3)若A∩B为不可能事件,即A∩B=?,那么称事件A与事件B互斥;(4)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;所以,对立事件一定是互斥事件,反之不然.(5)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);若某事件的结果有k种可能,则这k种可能的概率之和为1.若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).7.基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,一次实验的所有可能的结果一一列出,列出时做到不重复、不遗漏即可得出所有的基本事件。(列出时可以画树状图,也可以按照一定规则和秩序一一列出)8.基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的;②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件的和.9.古典概型(1)古典概型的条件:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.②每个基本事件出现的可能性相等.(2)古典概型的解题步骤:①求出总的基本事件数.②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式A()pA=所包含的基本事件的个数总的基本事件个数10:几何概型(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型.(2)几何概型的概率积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件AAp=)(.(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.②每个基本事件出现的可能性相等.必修4第一章三角函数?????正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2.角α的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.3.与角α终边相同的角的集合为{}360,kkββα=?+∈Z4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.5.半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,则角α的弧度数的绝对值是PxyAOMT()sin2tancosααα=lrα=.6.弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π=,180157.3π??=≈???.7.若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则lrα=,2Crl=+,21122Slrrα==.8.设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P的坐标是(),xy,它与原点的距离是()220rrxy=+>,则sinyrα=,cosxrα=,()tan0yxxα=≠.9.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.10.三角函数线:sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.11.三角角函数的基本关系()221sincos1αα+=;(α≠kπ+π2,k∈Z)12.函数的诱导公式:()()1sin2sinkπαα+=,()cos2coskπαα+=,()()tan2tankkπαα+=∈Z.()()2sinsinπαα+=-,()coscosπαα+=-,()tantanπαα+=.()()3sinsinαα-=-,()coscosαα-=,()tantanαα-=-.()()4sinsinπαα-=,()coscosπαα-=-,()tantanπαα-=-.()5sincos2παα??-=???,cossin2παα??-=???.()6sincos2παα??+=???,cossin2παα??+=-???.口诀:奇变偶不变,符号看象限.13.y=Asin(ωx+φ)图象的变换由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移易误提醒(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.(2)由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为??????φω,而不是|φ|.14.函数()()sin0,0yxω?ω=A+A>>的性质:①振幅:A;②周期:2πωT=;③频率:12fωπ==T;④相位:xω?+;⑤初相:?.max1y=min1y=-15.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sinyx=cosyx=tanyx=图象定义域RR,2xxkkππ??≠+∈Z????值域[]1,1-[]1,1-R最值当22xkππ=+()k∈Z时,max1y=;当22xkππ=-()k∈Z时当()2xkkπ=∈Z时;当2xkππ=+()k∈Z时,min1y=-.既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkππππ??-+????()k∈Z上是增函数;在32,222kkππππ??++????()k∈Z上是减函数.在[]()2,2kkkπππ-∈Z上是增函数;在[]2,2kkπππ+()k∈Z上是减函数.在,22kkππππ??-+???()k∈Z上是增函数.对称性对称中心()(),0kkπ∈Z对称轴对称中心(),02kkππ??+∈Z???对称中心(),02kkπ??∈Z???无函数性质()2xkkππ=+∈Z对称轴()xkkπ=∈Z对称轴第二章平面向量16.向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.17.向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.⑶三角形不等式:ababab-≤+≤+.⑷运算性质:①交换律:abba+=+;②结合律:()()abcabc++=++;③00aaa+=+=.⑸坐标运算:设()11,axy=,()22,bxy=,则()1212,abxxyy+=++.18.向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设()11,axy=,()22,bxy=,则()1212,abxxyy-=--.设A()11,xy、B()22,xy则()1212,xxyyAB=--.19.向量数乘运算:⑴实数λ与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作aλ.baCBAabCC-=A-AB=B①aaλλ=;②当0λ>时,aλ的方向与a的方向相同;当0λ<时,aλ的方向与a的方向相反;当0λ=时,0aλ=.⑵运算律:①()()aaλμλμ=;②()aaaλμλμ+=+;③()ababλλλ+=+.⑶坐标运算:设(),axy=,则()(),,axyxyλλλλ==.20.向量共线定理:ba//)0(≠a?baλ=.21.平面向量基本定理:如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122aeeλλ=+.(不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底)22.平面向量的数量积:⑴()cos0,0,0180abababθθ?=≠≠≤≤.⑵性质:设a和b都是非零向量,则①0abab⊥??=.②当a与b同向时,abab?=;当a与b反向时,abab?=-;22aaaa?==或aaa=?.③abab?≤.⑶运算律:①abba?=?;②()()()abababλλλ?=?=?;③()abcacbc+?=?+?.⑷坐标运算:设两个非零向量()11,axy=,()22,bxy=,则1212abxxyy?=+.若(),axy=,则222axy=+,或22axy=+.设()11,axy=,()22,bxy=,则12120abxxyy⊥?+=.ααα2tan1tan22tan-=设a、b都是非零向量,()11,axy=,()22,bxy=,θ是a与b的夹角,则121222221122cosxxyyababxyxyθ+?==++第三章三角恒等变换23.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()coscoscossinsinαβαβαβ-=+;⑵()coscoscossinsinαβαβαβ+=-;⑶()sinsincoscossinαβαβαβ-=-;⑷()sinsincoscossinαβαβαβ+=+;⑸()tantantan1tantanαβαβαβ--=+?(()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+);⑹()tantantan1tantanαβαβαβ++=-?(()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-).24.二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincosααα=.⑵2222cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-?降幂公式2cos21cos2αα+=,21cos2sin2αα-=.(3)必修5第一章解三角形1.正弦定理:在C?AB中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,R为C?AB的外接圆的半径,则有2sinsinsinabcRC===AB.2.正弦定理的变形公式:①2sinaR=A,2sinbR=B,2sincRC=;②sin2aRA=,sin2bRB=,sin2cCR=;③::sin:sin:sinabcC=AB;④sinsinsinsinsinsinabcabcCC++===A+B+AB.3.三角形面积公式:111sinsinsin222CSbcabCac?AB=A==B.4.余弦定理:在C?AB中,有2222cosabcbc=+-A,2222cosbacac=+-B,2222coscababC=+-.5.余弦定理的推论:222cos2bcabc+-A=,222cos2acbac+-B=,222cos2abcCab+-=.6.设a、b、c是C?AB的角A、B、C的对边,则:①若222abc+=,则90C=;②若222abc+>,则90C<;③若222abc+<,则90C>.第二章数列1.数列中na与nS之间的关系:11,(1),(2).nnnSnaSSn-=?=?-≥?(注意通项能否合并)。2.等差数列:⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即na-1-na=d,(n≥2,n∈N+),那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项:若三数aAb、、成等差数列2abA+?=⑶通项公式:1(1)naand=+-⑷前n项和公式:()()11122nnnnnaaSnad-+=+=⑸等差数列的常用性质:①若()+∈+=+Nqpnmqpnm,,,,则qpnmaaaa+=+;②在等差数列中,间隔相同的项取出一列数,仍组成等差数列;③数列{}ban+λ(b,λ为常数)仍为等差数列;④单调性:{}na的公差为d,则:ⅰ)?>0d{}na为递增数列;ⅱ)?<0d{}na为递减数列;ⅲ)?=0d{}na为常数列;⑤数列{na}为等差数列napnq?=+(p,q是常数)⑥若等差数列{}na的前n项和nS,则kS、kkSS-2、kkSS23-…是等差数列。3.等比数列⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项:若三数ab、G、成等比数列2,Gab?=即,Gab=±(ab同号)。反之不一定成立。⑶通项公式:11nnaaq-=⑷前n项和公式:()111(1)1(1)11nnnnaqSaqaaqqqq=??=-?-=≠?--?⑸等比数列的常用性质①若()+∈+=+Nqpnmqpnm,,,,则mnpqaaaa?=?;②nmnmaaq-=③在等比数列中,间隔相同的项取出一列数,仍组成等比数列;④若{}na是等比数列,则{}{}2nncaa,,1na??????,{}()rnarZ∈是等比数列。⑤若等比数列{}na的前n项和nS,则kS、kkSS-2、kkSS23-…是等比数列。⑥单调性:110,10,01aqaq>><<<或{}na?为递增数列;{}110,010,1naqaqa><<<>?或为递减数列;{}1nqa=?为非零的常数列;{}0nqa<?为摆动数列;既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列。第三章不等式1.不等式的基本性质①(对称性)abba>?>②(传递性),abbcac>>?>③(可加性)abacbc>?+>+④(同向可加性)dbcadcba+>+?>>,⑤(可积性)bcaccba>?>>0,;bcaccba<?<>0,⑥(同向正数可乘性)0,0abcdacbd>>>>?>⑦(平方法则)0(,1)nnababnNn>>?>∈>且⑧(开方法则)0(,1)nnababnNn>>?>∈>且⑨(倒数法则)babababa110;110>?<<<?>>2.几个重要不等式①()222abababR+≥∈,,(当且仅当ab=时取""=号).变形公式:22.2abab+≤②(基本不等式)2abab+≥()abR+∈,,(当且仅当ab=时取到等号).变形公式:2abab+≥2.2abab+??≤???用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③2221122abababab++≤≤≤+.3.一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc++><或2(0,40)abac≠?=->解集的步骤:判;求;画;集。一判:判断对应方程的根.二求:求对应方程的根.三画:画出对应函数的图象.四解集:根据图象写出不等式的解集.4.高次不等式的解法:穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.5.分式不等式的解法:先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx>??>?≥?≥??≠?(<≤“或”时同理)规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.6.指数不等式的解法:⑴当1a>时,()()()()fxgxaafxgx>?>⑵当01a<<时,()()()()fxgxaafxgx>?<规律:根据指数函数的性质转化.7.对数不等式的解法⑴当1a>时,()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx>??>?>??>?⑵当01a<<时,()0log()log()()0.()()aafxfxgxgxfxgx>??>?>??<?8.含绝对值不等式的解法:⑴定义:(0).(0)aaaaa≥?=?-<?⑵同解变形:①(0);xaaxaa≤?-≤≤≥②(0);xaxaxaa≥?≥≤-≥或③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx≤?-≤≤≥④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx≥?≥≤-≥或规律:关键是去掉绝对值的符号.9.线性规划问题解决线性规划问题的步骤:一设:设立未知数;二列:列出线性约束条件以及线性目标函数;三画:0.zl???画出可行域画出=0的直线四移:平移0.l,找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;五求:.???求出最优解求出最值六答:回答题目的结论。选修1-1第一章常用逻辑用语1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.3、四种命题之间的关系:4、四种命题的真假性之间的关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.5、若pq?,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.若pq?,则p是q的充要条件(充分必要条件).利用集合间的包含关系:例如:若BA?,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;6、逻辑联结词:⑴且(and):命题形式pq∧;⑵或(or):命题形式pq∨;⑶非(not):命题形式p?.pqpq∧pq∨p?真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真记忆口诀:命题形式pq∧;同真则真,一假则假。命题形式pq∨;一真则真,同假则假。命题形式p?;与原命题具有相反的真假性。7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“?”表示;全称命题p:)(,xpMx∈?;全称命题p的否定?p:)(,xpMx?∈?。⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“?”表示;特称命题p:)(,xpMx∈?;特称命题p的否定?p:)(,xpMx?∈?;第二章圆锥曲线一、椭圆1、平面内与两个定点1F,2F的距离之和等于常数(大于12FF)的点的轨迹称为椭圆.即:|)|2(,2||||2121FFaaMFMF>=+。这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程()222210xyabab+=>>()222210yxabab+=>>范围axa-≤≤且byb-≤≤bxb-≤≤且aya-≤≤顶点()1,0aA-、()2,0aA()10,bB-、()20,bB()10,aA-、()20,aA()1,0bB-、()2,0bB轴长长轴的长2a=短轴的长2b=焦点()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc焦距()222122FFccab==-对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率()22101cbeeaa==-<<3、e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆。二、双曲线1、平面内与两个定点1F,2F的距离之差的绝对值等于常数(小于12FF)的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF<=-。这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.2、双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程()222210,0xyabab-=>>()222210,0yxabab-=>>范围xa≤-或xa≥,yR∈ya≤-或ya≥,xR∈顶点()1,0aA-、()2,0aA()10,aA-、()20,aA轴长实轴的长2a=虚轴的长2b=焦点()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc焦距()222122FFccab==+对称性关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称离心率()2211cbeeaa==+>渐近线方程3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线(a=b).4、等轴双曲线的离心率三、抛物线1、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.即dMF=||定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.2、抛物线的几何性质:标准方程22ypx=()0p>22ypx=-()0p>22xpy=()0p>22xpy=-()0p>图形顶点()0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF?????,02pF??-???0,2pF?????0,2pF??-???准线方程2px=-2px=2py=-2py=离心率1e=范围0x≥0x≤0y≥0y≤3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,即2pAB=.4、焦半径公式:若点()00,xyP在抛物线()220ypxp=>上,焦点为F,则02pFxP=+;若点()00,xyP在抛物线()220xpyp=>上,焦点为F,则02pFyP=+;第三章导数及其应用1、函数()fx从1x到2x的平均变化率:2、导数定义:()fx在点0x处的导数记作xxfxxfxfyxxx?-?+='='→?=)()(lim)(00000;.3、函数()yfx=在点0x处的导数的几何意义是曲线()yfx=在点()()00,xfxP处的切线的斜率.即k=)(0xf'二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()fxc=(c为常数),则()0fx'=;2若()fxxα=,则1()fxxαα-'=;3若()sinfxx=,则()cosfxx'=4若()cosfxx=,则()sinfxx'=-;5若()xfxa=,则()lnxfxaa'=6若()xfxe=,则()xfxe'=7若()logxafx=,则1()lnfxxa'=8若()lnfxx=,则1()fxx'=导数运算法则:()1()()()()fxgxfxgx'''±=±????;()2()()()()()()fxgxfxgxfxgx'''?=+????;()3()()()()()()()()()20fxfxgxfxgxgxgxgx'??''-=≠????????.复合函数求导:()yfu=和()ugx=,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx=为一个复合函数(())()yfgxgx'''=?三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(,)ab内:(1)如果()0fx'>,那么函数()yfx=在这个区间单调递增;(2)如果()0fx'<,那么函数()yfx=在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数:求函数()yfx=的极值的方法是:(1)如果在0x附近的左侧()0fx'>,右侧()0fx'<,那么0()fx是极大值(2)如果在0x附近的左侧()0fx'<,右侧()0fx'>,那么0()fx是极小值;3、求函数()yfx=在[],ab上的最大值与最小值的步骤是:()1求函数在内的极值;()2将函数的各极值与端点处的函数值()fa,()fb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.高中数学选修1-2知识点()yfx=()yfx=(),ab回归分析(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.(2)回归方程为y^=b^x+a^,其中b^=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1x2i-nx2,a^=y-b^x.独立性检验假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表为:22()()()()()nadbcKabcdacbd-=++++易误提醒:(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断.(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,因此才出现了临界值表.在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释.推理与证明考点一合情推理1.归纳推理(1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.(2)特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.(2)特点:是由特殊到特殊的推理.易误提醒(1)在进行类