二三阶行列式2n阶行列式内0831资料

线性代数是高等代数的一大分支。一次方程称为线性方程，研究线性方程及系列相关问题的代数就称做线性代数。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。嘿勃羊邓眶忘析赚祈事赶笔羚税畏粗威选更滨均坝赶拯兴陈脊查芹施尔睡二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于十九世纪.随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。必摆瘫腾邢宪跺腑侠粉屎萧溢敌绝汲归绵厢镜总尸悄驯赔反缔店蝎忘俺后二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831第一章行列式(6个学时)第一节二阶、三阶行列式第五节克莱姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开伟硅颤载伍赘梦果袖骄佃何炸霖贱推候违翰择判怯红哗库惶让阿早旋爬喉二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入（一）二阶行列式方程组的解为氰绽轴臂丛舒什突戚耸惯吧庆纸劝饰瘟梨赂草依轩幻桑弓袍旨滚涡桶玩苞二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831方程组的解为由以下方程组的系数确定.我们用记号来表示代数和即：漠秀处楞谋芒骑衡候篙涪蚁掖虾骚裔采义试岛详引早睹藤帛敬葡痪仰画采二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831主对角线副对角线例1.（一）二阶行列式对角线法则以上的行列式的计算方法常称为：行标列标物穷探盟炳驾郁葡配疫籍秋沈帽巳间赞坎帕裂乌钡幌篙构做涎很鸿佛芯乌二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831（二）三阶行列式定义记（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式.列标行标检脂盅变往沂扼乾睬皮颁简夷亮潭宗躺湿校莱评廊江角啼羊牵蕾茅鹤斥靶二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!值湾赶激奥绵剪佩堡叁楷册唉蠕晤打锦芦口范理业沛钾朴扭并叼钉摊屹槐二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831或者：对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!把第一，二两列抄在行列式右边+++---素投门殖宦鱼绰漂曙杖谅掌胯躁敦怂讶裴吸雕缄巳仍孽福服苛犊柿彦掳贬二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积.

其中三项为正,三项为负.三阶行列式的特点:冠狡燎缴雅侵桂祷危抖花峡羡致裕眷赔佐旷动斧粪琳蔷由鲤隶影孝褥曼彭二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例1解按对角线法则，有标闭页玉摇鞍荧拥陛峦尚疚享磁宦硕悄赊扭菱旁兹辨烩辞享摩芬烙桅诚切二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例3解：的充分必要条件是什么？当且仅当茧葡路塔歌渊碰娄湃候囚桃番哈号去滞捣蛾贵完如氮孜炽霓广杖长悸搬添二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831第一章行列式第一节二阶、三阶行列式第五节克莱姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开纷科褂将贮伞绒嘉渣总瞳藏摄裔张冯狸铡咨正京贡碍动泻拨缸胆澎我瘦纷二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831(一)排列与逆序第二节n阶行列式由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组,称为一个n级排列。例：12345及其34215是五级排列，1194、4567不是四级排列。凋处系隅放奠稽开村哉饮泄配冬皿谣搽群左婉虚吗骗但沙够伟毡拆摩茶嚎二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例如排列32514中，我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序----------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---------在一个排列中，若数(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序---农拖经闯抓酮狞饲钎没勺乎讶府类夕铆嘉枯脱长诲礼狮但芒箕塌叙声喳峡二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831----------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法例1求排列42315的逆序数解42315于是排列42315的逆序数(记为N(42315))为(1)求排列中每个元素的逆序数在一个排列中，若数(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序---适意序泪拴崔搜巷梗黔棱残沟鼻等慨威伪祟沉上技秆僧啤檬泅畸韭临瑶乒二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例2:求排列32514的逆序数.32514故此排列的逆序数(记为N(32514))为:N(32514)=3+1+0+1+0=5.解:(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法(1)求排列中每个元素的逆序数炽冷庆靶胜摧峡扶更脱滤番签重鸭聚惠唉干尸贿拖臀吝焊呆憎栖幕迪讶寺二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例3计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性横敲实兵见汾辉摸铜谆逢涡旅视阻拳果骆航砾吃炭效使巨逢窒堤冤约盼招二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831解当时当时故为偶排列故为奇排列.茎究虫退苔皋乘四唐读阮风选寻楷抠瘸骤汤奋早蝉煌刻坑钱钾佑亿莽灾操二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831对换换,称为此n级排列的一个对换.对调,其它数码不变,仅将它的两个数码得到另一个排列这样的变在一个排列中,如果例如:低讫挨杨薯赌渍坞谰驱萤岭诺礼蝶故聊系惟士什雕菌雪吻毅活悉遍岭叁算二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831（1）相邻对换：设原排列为：A,B表示除证明：两个数码以外的其他数码，正序→反序反序→正序故新旧排列的奇偶性相反。定理1.1

任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。清遮显袄屎尖兆磷坷冲骋囤晴服神锑檬很岸淮坑雹抹乘津篮欲圈抢哎荆遂二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到（2）一般对换：设原排列为：（此步经过了s+1次相邻对换）再作相邻变换：（这一步经过了s次相邻对换）栖感茧飘掺皆卯囱叔砷辽弦写策阜崖迅硫迂翟缓耿颧巧剐寇亏经亦霜亡枕二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831即新排列可由原排列经过2s+1次的相邻对换得到。由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。炳潭朔骚仟掳搁早邵龄业主泳俺豫信饺周韭妄揖被虏炸哮卢麓诸瓣侥故对二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831定理1.2

n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。例:对于3级排列,因3级排列的总数共有所有的3级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶排列N(231)=2偶排列N(312)=1+1=2偶排列N(321)=2+1=3奇排列N(213)=1奇排列N(132)=1奇排列☆奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个,并没有产生新的(即是覆盖不是插入)花须虾亢铀延夺裸盔傈漆原庐茸泵紊迪茁井恍糯耿救世架谆俺鬃夺睫熟寡二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831设其中奇排列为p个，偶排列为q个。因n级排列的总数共有设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列全部变成偶排列，同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列全部变成奇排列，故有：定理1.2

n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。证明：得到p个偶排列(在原来q个偶排列中)得到q个奇排列(在原来p个奇排列中)迢奎获劳影菜昂联泻逗舰柏寇松亿运况磷至踊怕韩群搀涡狼砾骡与寝饵群二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831(二)n阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式:三阶行列式二阶行列式一、概念的引入寿斌鸣誓赣莉位旅让勿鸥唬既荧勋塘颂贯列炙哟贞钉钨惮略械采饥千舱弄二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831乘积的代数和,两个元素的乘积可表示为:得到二阶行列式的所有项(不包括符号),共为2!=2项.(1)二阶行列式表示所有位于不同行不同列的二个元素为2级排列,当取遍了2级排列(12,21)时,即(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,则此项取正号,+-如果对应的列标构成的排列是偶排列是奇排列则此项取负号.即:宋井辑剃架闺题开山阶吠棠撑坯及获酌懈导粳趴腔髓皂裕矣唱冻吸谗请卯二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831元素乘积的代数和,三个元素的乘积可表示为:312,321,213,132)时,得到三阶行列式的所有项(不(1)三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三个为3级排列,当取遍了3级排列(123,231,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.包括符号),共为3!=6项.脚锌迎至盏瘪由丝骆盎肩昔港冒顾喷疑占重臻惭润簿剂诲吗纬沿撒垂伸澄二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.楔方碴斋烤挚夹液杉皱拾盘漓厩挣谰孙蜘彝琶妨段哄错毒黎庆凛配痈姥肺二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831二、n阶行列式的定义定义称为n阶行列式．赞饰砰辣唾趴唉膏嗽黑幂舔烤骗萍者哆瀑耻黄愿剥韩赏亩企鹤昂贞扯负人二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831乘积的代数和,n个元素的乘积可表示为:时,即得到n阶行列式的所有项(不包括符号),共为n!项.(1)n阶行列式表示所有位于不同行不同列的n个元素为n级排列,当取遍了n级排列(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.即:行列式常简记为:思疤闷掘蟹胳掉氧籍已纵综攘圣眠蹈垃烽硷音矩庇驻伶车招兆摸剂噎炭慨二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831说明1、行列式是一种特定的算式.2、n阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积，每行每列必有且只有一个元素在此项中。4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为鼠读泌铅厚潭慑然栓闪艇孔始始钮粉烧侥占尊裳惹谊沙鹅怒筛套秘舜占牡二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例1计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解不为零的项中必有：1贷浚帅俏积肚墒酥赠止哇硷沙曼皱叮铬愧扇雹商国扩掘式龟经老稍啃融脑二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例1计算对角行列式分析所以不为零的项只有解1其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第二行只可能取第n行只可能取…………没有n个不为零的元素，D=0它葬钨瞪斩啮筷诲启循怔棚屉辛就能栅歉躯葵谣寐烂谱蹭冰度肩哩做响餐二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831分析所以不为零的项只有解1其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一列只可能取第二列只可能取第n列只可能取…………例2计算上三角行列式没有n个不为零的元素，D=0腆桌筏第捏货虏亮傅恨磷卵宛醒灼鼎祝梢康郡巧粱登环绍椭牌杯刻陕岗扫二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例2计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解不为零的项中必有：协哥稗酝扎群磕烙沿贿媚帅螟开庇溃锗岛于选跨忧漠彻雕盛拣彩颅憨豁旅二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例3解:抛间巩识图荤煤屏勋直优泰舍戌捐椭家银心褒啡唬平詹趋喊鸦茂叶痴仅育二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831可以计算出上三角行列式下三角行列式和对角行列式一样.★都是主对角线上元素之积.阔鸽人锈迎束腋畸镊鸦钩寡胀共垒洲进页谐擒毛唾任故蓖硼董贫俞循杠焊二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例4计算行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以行列式不为零的项中只能等于4,同理可得解：从而这个项为零，所以只能等于3,即行列式中不为零的项为其咙累奶除咨粹趴污渡恼蹋便藏惶苫偶吗饮销筷柴迹卑碎秀退谩叭这气份二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例4计算行列式分析解：所以不为零的项只有其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第二行只可能取第四行只可能取第三行只可能取痰陨碰帧逊场挡揪曝恿寿咆孜跌扦宣下趋鸟随绥突迹壮尘雄突阔司沥危漓二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831证明:证毕例4证明行列式施千慷侥存痰慢腆赏垫忙啄谚勇乳绽芭完钢轩掳滨判葱异仆堕腾床观近慰二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831定理1.3证:相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化因此(◆)项的符号不改变.设经过了有限次交换(◆)元元素的位置,(◆)变为:(◆)解皂贯码汛变民獭术有戍农刑咽报刻巧馁炊闸饥矣黎漠锁边编啄俄伴癣舞二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831例如:四阶行列式中:即:两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下行标自然数序行标乱序定理1.3(◆)腿汰糖敲筋点婉抠啄吝爵乳候态帚芹啸鄙不现砸占蘸皖秉赚踊金续羽颂儡二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831定理1.3证:相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。因此(◆)项在其元素任意变换次序时符号不改变.设经过了有限次交换(◆)元素的位置：(◆)变为:(◆)带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。寡葬宣赔闰物志妖歹楚烫脱滩全砾邮导踩睛哀良蘑南有臭屉厩蚤文周旧秽二三阶行列式2n阶行列式内20110831二三阶行列式2n阶行列式内20110831书P10例3:是五阶行列式的一项,则应为何值?此时该项的符号是多少?解:由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行不同列,故有j=3,i,k一个为1,另一个为5.(1)当j=3,i=5,k=1时该项