2020年-2022年北京重点校初二（下）期末数学试卷汇编：特殊的平行四边形

第1页/共1页2020-2022北京重点校初二（下）期末数学汇编特殊的平行四边形一、单选题1．（2022·北京八十中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022·北京八十中八年级期末）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为(

)A． B．3 C． D．63．（2020·北京·北大附中八年级期末）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（

）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角4．（2020·北京·人大附中八年级期末）在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形正确的结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2020·北京·人大附中八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BF的长为()A．4 B．5 C． D．3.56．（2020·北京·人大附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点B的坐标为()A． B． C． D．7．（2020·北京·人大附中八年级期末）下列说法中正确的是()A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形B．四个角都相等的四边形是矩形C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形D．对角线垂直相等的四边形是正方形8．（2020·北京·北大附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是(

)A．(0，-5) B．(0，-6) C．(0，-7) D．(0，-8)9．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）．A．20 B．10 C．5 D．10．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(

)A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断二、填空题11．（2022·北京八十中八年级期末）如图，菱形ABCD中，，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝，则OE的长等于________，∠ADO的度数为_______.12．（2022·北京八十中八年级期末）如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是______m．13．（2022·北京八十中八年级期末）图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图所示的图形，则图中菱形的面积等于__________；图中间的小四边形的面积等于__________．14．（2020·北京·北大附中八年级期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________15．（2020·北京·101中学八年级期末）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．以上所有错误说法的序号是_____．16．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，在菱形中，，点是边的中点，是对角线上的一个动点，若，则的最小值是_____.三、解答题17．（2022·北京八十中八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．(1)求证：四边形BECO是矩形；(2)若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．18．（2022·北京八十中八年级期末）下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．作法：如图，①分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：(1)∠BAG的大小为；(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是；(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为．19．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，平分，求的长．20．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．（1）当DM＝2时，依题意补全图1；（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系．21．（2020·北京·北大附中八年级期末）已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．

参考答案1．D【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：点的坐标为，，四边形是菱形，，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，即，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，熟练掌握菱形的性质是解题关键．2．C【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决．【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°，∴∠AOB=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OC，∵AB=3，∴AC=6，∴BC=，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．D【分析】利用矩形的判定方法进行判断即可.【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．【点睛】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键.4．D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．5．B【分析】首先证明BF=BE=DE，设BF=BE=DE=，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，由翻折的性质可知，DE=BE，∠DEF=∠BEF，∴∠BFE=∠BEF，∴BF=BE=DE，设BF=BE=DE=，在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，∴2=32+()2，解得，∴BF=5，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．6．D【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=AD=13，在Rt△ODC中，OC=，∴OB=13-5=8．∴B（0，8）．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．B【分析】分别根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的对称性、正方形的判定逐项判断即得答案．【详解】解：A、一组对边平行、一组对边相等的四边形是不一定是平行四边形，如等腰梯形，所以本选项说法错误，不符合题意；B、四个角都相等的四边形是矩形，所以本选项说法正确，符合题意；C、菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，所以本选项说法错误，不符合题意；D、对角线垂直相等且平分的四边形是正方形，所以本选项说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形和正方形的判定以及菱形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键．8．A【分析】根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出OC的长，即可求出点C的坐标.【详解】∵点A的坐标为(12，13)，∴CD=AD=13，OD=12，∴OC=,∴C（0，-5）.故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.9．C【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=5．故选C．10．B【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD由已知可得，ADBC,ABCD∴四边形ABCD是平行四边形在Rt△BEC和Rt△DFC中∴Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BC=DC∴四边形ABCD是菱形故选B．【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等．11．

5

16°#16度【分析】根据菱形的性质得OA=OC，∠ADB=∠CDB，CD=AB=10，从而证得OE是△ADC的中位线，得OECD，OE=CD，即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD，AC，BD交于点O，∴OA=OC，∠ADB=∠CDB，CD=AB=10，∵E是边AD的中点，∴AE=DE，∴OE是△ADC的中位线，∴OECD，OE=CD=×10=5，∴∠ADC=∠AEO=32°，∴∠ADO=∠ADC=×32°=16°，故答案为：5，16°．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质，证OE是△ADC的中位线是解题词的关键．12．40【分析】由含30°角的直角三角形的性质可得AC＝80m，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得结论．【详解】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40m，∴AC＝2BC＝80m，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝40m，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．13．

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1【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．【详解】∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，∴菱形的面积等于×6×8＝24，菱形的边长等于＝5，∴图2中间的小四边形的面积等于25−24＝1．故答案为：24，1．【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．14．##【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：根据勾股定理，，，，∵，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．15．②④．【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．【详解】解：①如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故选项①正确；②如图2，四边形AECF不是矩形，故选项②错误．③如图3，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确．④如图4，如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．16．【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【详解】连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE==．∴PB+PE的最小值为．故答案为．【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．17．(1)见解析(2)【分析】（1）、由菱形的对角线互相垂直且平分，即可证明；（2）、由菱形性质，可得△ABC是等边三角形，则可得BC＝AC＝2，再有勾股定理求出OB，进而得出BD，在中由勾股定理即可求出．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，二次根式等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题关键．18．(1)60°(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)S2=2S1【分析】（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG=BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，∴AG=BG，∵AB=AG，∴AB=AG=BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG=60°；故答案为：60°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵EF⊥AB，∴GH//AD，∵GH=AD，∴四边形AGHD是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）设EF与AB交于M，∵S2=AD•AB，S1=HG•AM=AD•AB=AD•AB，∴S2=2S1，故答案为：S2=2S1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（1）见解析；（2）AD=6．【分析】（1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证；（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，由已知进而即可求得．【详解】（1）平行四边形，，，又，，即，，四边形为平行四边形，又，四边形是矩形．（2）平分，，，，，，在中，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键．20．（1）见详解；（2）；(3)AD=DM或AD=2DM．【分析】（1）根据题意作出图形便可，（2）连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；（3）设DM=x（x＞0），求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF或AF=EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果．【详解】（1）根据题意作图如下：（2）连接BM，如图2，∵点D与点E关于AM所在直线对称，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D==∠ABF