2020-2021学年重庆市缙云教育联盟高一（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年重庆市缙云教育联盟高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.已知集合4={-1,2},8={尤|和+2=0},若AU8=A,则实数。的取值所组成的集合

是（）

A.{-1,2}B.{-1,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2}

2.设4=log38,Z?=logo.50.2,C=log424,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

2

3.函数f（x）="」gj_Lx-2乂+3）的单调减区间为（）

7

A.（一8,-1]B.（-3,-1]C.[-1,1）D.[-1,+8）

4.已知△ABC中，点M是线段5C上靠近3的三等分点,N是线段AC的中点，则加=（）

A.--ATMNB-4AM+Mc-4AT2™D-4AM+2MN

5.设等差数列{斯}的前“项和为S”，且S/WSu，&=21,若焉一+…+〈人

恒成立，则人的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知等差数列{〃〃}的前〃项和为Si,满足sin（«4-1）+2〃4-5=0,sin（〃8-1）+2〃8+1

=0,则下列结论正确的是（）

A.iSl1—•11,。4V〃8B.5111=11,。4>。8

C.Su—22,〃4V。8D.Sn=22,〃4>〃8

7.在棱长为2的正方体ABCD-AiBiGDi中，P,Q,H分别是AB,AD,B,。的中点，设

过尸，Q,R的截面与面A。，以及面A5,的交线分别为/,m,则/,m所成的角为（）

A.90°B.30°C.45°D.60°

8.若C^^"6=cg\2（nGN）,且（2-X）"=〃0+。1%+〃2^2+…贝"0—〃1+〃2—…+（—1）

“斯等于（）

A.81B.27C.243D.729

二、不定项选择题（共4小题）.

9.下列结论正确的有（）

A.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种

两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是工

2

若随机变量X服从二项分布X〜B(5,2)，则嘲

32281

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组

数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12

10.已知抛物线C：y~=4x,焦点为居过焦点的直线/与抛物线C相交于A(xi,力)，B

(X2,J2)两点，则下列说法一定正确的是()

A.|A2|的最小值为2

B.线段为直径的圆与直线x=-1相切

C.X1X2为定值

D.过点A,8分别作准线的垂线，垂足分别为C,D,则|CD|2=4|AF||Bfl

11.已知a,6为正实数，且油=14-2a-b,则()

A.成的最大值为18-8&

B.2a+b的最小值为8^2-4

C.a+6的最小值为4

12.在单位圆。：x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆。与x轴正半轴的交点为A,设将

绕原点。旋转到。尸所成的角为仇记x,y关于9的表达式分别为(0),y=g

(0),则下列说法正确的是()

A.函数/'在/'(e)g(0)是偶函数

B.函数(8)+g(8)-1］的最小正周期为2n

jrQjr

C.函数y=/(e)-g(0)的一个单调减区间为［=，1匚］

函数v=#'(0)+g(20)的最大值为当区

2

三、填空题(共4小题).

13.兄弟三人同在某单位上班，该单位规定，每位职工可以在每周7天中任选2天休息，一

旦选定以后不再改动，则兄弟三人恰有两人休息日完全一致的概率为;设兄弟三

人中休息日完全一致的人数为X,则随机变量X的均值是.

14.抛物线俨=4尤的焦点为尸，点尸关于原点的对称点为一，尸为抛物线上一点，NPF

1F=a,ZPFF'=0,若皂空则直线PF的斜率为_______.

sinp2

15.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层

的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为.

16.函数/(x)=3-乂?+2型在区间(-8,1)内递增，则〃的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.(10分)已知｛斯｝是等差数列，其前〃项和为｛瓦｝是正项等比数列，且勾+历=3,

bi=2aif〃3+历=13,S5~3Z?3=1.

(I)求数列｛斯｝与｛瓦｝的通项公式；

(II)若%=\+(-1)n,记〃=C101+C2历+…+Cnb,於N*,求7k

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin(A+B)=csin"上.

(1)求角A的大小；

(2)若角8为钝角，求电的取值范围.

c

19.(12分)已知圆台002,轴截面ABC。，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半

径为高的两倍，点E为下底圆弧而的中点，点N为上底圆周上靠近点A的源的四等分

点，经过。1,。2,N三点的平面与弧而交于点且E,M,N三点在平面ABC。的同

侧.

(I)判断平面01。2皿与直线CE的位置关系，并证明你的结论；

(II)尸为上底圆周上的一个动点，当四棱锥尸-ABC。的体积最大时，求异面直线CP

与DB所成角的余弦值.

20.(12分)已知函数f6)=上如邑，设函数的最大值为机.

X

(1)求机的值；

(2)若对VxE(0,+°°),。%2+2〃%+^>加恒成立，求实数〃的取值范围.

21.(12分)已知曲线C：¥+X^l(a〉b>0)上的点。到点〃(2,0)的距离与到直

线“z:x=3的距离的比为工旦，点尸为直线加上的一个动点，且过点M的直线/与曲线

3

C交于A,B两点、.

(1)求曲线C的方程；

(2)若AABP为等边三角形，求线段A8的长.

22.(12分)某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表:

月份代码尤123456

市场点有率111316152021

y(%)

(1)可用线性回归模型拟合y与尤之间的关系吗？如果能，请求出y关于x的线性回归

方程，如果不能，请说明理由；

(2)公司决定再采购A,8两款车扩大市场，A,B两款车各100辆的资料如表：

车型报废年限(年)合计成本

1234

A103040201001000

元/辆

B15403510100800元/

辆

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆

车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期

望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？

6—266―

参考数据：£（x「x）=17.5,£（x「x）（y;y）=35,£（y^^-y）=76,

i=li=li=l

71330^36.5.

n__

£（x「x）（y「y）

参考公式：相关系数「=j'=1;

11-n-2

JZ（x「x）2£（y「y）

Vi=li=l

n__

-£(x£-x)(y--y)

回归直线方程,工，其中-------------------,-

y=bx+an_a=y-bx

2

£(X1-x)

i=l

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合4={-1,2},5={X|QX+2=0},若AU3=A,则实数4的取值所组成的集合

是（）

A.{-1,2}B.{-1,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2}

解：-：AUB=A,：.BQAf

当4=0时，B=0,满足条件；

当时，一〃+2=0或2〃+2=0,解得a=2或a=-1;

综上可得，实数〃的取值所组成的集合是：{0,2,-1).

故选：D.

2.设4=log38,/?=logo,50.2,c=log424,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<.cD.b<c<a

解：6Z=log38e(1,2),

12

g10-l-lg2lg5

V/?=logo,50,2==log25=log2^25,C=log424=log2^24,

15l-lg5lg2

：.b>c>2.

：.a<c<b.

故选：B.

2

3.函数/（x）='_x-2x+3）的单调减区间为（）

~2

A.(-00,-1]B.(-3,-1]C.[-1,1)D.[-1,+00)

解：由-N-2X+3>0,解得-3VxVI,

...函数£6）=1。8_1（-乂2-2乂+3）的定义域为（-3,i）,

2

令尸-x2-2x+3,则为单调递减函数，

2

由复合函数的单调性可知，f（x）的单调递减区间为f=-N-2x+3在（-3,1）上的单

调增区间.

t--x2-2x+3=-(x+1)2+4,对称轴为无=-l,开口向下，

；/=-N-2x+3的单调增区间为(-3,-1].

故选：B.

4.已知△ABC中，点M是线段BC上靠近2的三等分点,N是线段AC的中点，则而=()

A-4AFMNB.c-4证2诬D.-1AM+2MN

解：不妨设AABC为等腰直角三角形，其中/氏4。=90°,以线段BC所在直线为x轴，

线段BC的垂直平分线A0为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系；

设AC=3&,故B(-3,0),NC|，y),

_».qq

故BN=(W，—),A/(-1,0),A(0,3),

故正=(-1,-3),MN=(.，*|),

设丽=xM+y而，

f59

-x4Ty=7

则1,

c33

卜3x+qy至

解得,x=~2,y=2,

故而=春盛+2诵.

故选：C.

5.设等差数列｛斯｝的前“项和为S”，且S/WSu，8=21,若焉一+…+〈人

恒成立，则人的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

9

解：因为SdqSg

O

/w”,4X3,2〃,5X4,,

所以4a1+一~（5a一5-d）,

NJ/

得12QI+18d=10〃i+20d,即a\=d,

由S6=21,知6al•^^d=21，

即6ai+15d=21,所以〃i=d=1,

所以Sn=nE彳DJ(?1),

..1_1.11

斤以2Sn-n(n+l)-nn+1)

所以装一个^+…•fyS=]W[+•••*-^"二[一^<],

N\]N、2N'nN乙onn+J.n+X

所以入21.

故人的最小值为1.

故选：A.

6.已知等差数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，满足sin(6i4-1)+2〃4-5=0,sin(〃8-1)+2^+1

=0,则下列结论正确的是()

A.S11=11,。4V〃8B.S11=11,。4>。8

C.Sii=22,。4V。8D.Si1—22,。4>〃8

解：sin(6/4-1)+2〃4-5=0,sin(〃8-1)+2〃8+1=0,

sin(〃4-1)+2(〃4-1)-3=0,sin(1一〃8)+2(1-〃8)一3=0,

令/(%)=sinx+2x-3,可得f(x)=cosx+2>0,

因此函数/(%)在R上单调递增.

又/(I)=sinl-KO,f(2)=sin2+l>0,

因此函数了(%)在(1,2)内存在唯一零点.

丁・〃4-1=1一〃8,1<〃4一1<2,1<1一〃8V2,

.,・〃4+〃8=2,2V〃4V3,-1<«8<0,

・・・S11=______1___\1—=______5_2_=11,〃4>。8,

22

故选：B.

7.在棱长为2的正方体中，P,Q,R分别是AB,AD,B,。的中点，设

过尸，。，R的截面与面AO,以及面A3,的交线分别为/,m,则/,小所成的角为()

A.90°B.30°C.45°D.60°

解：如图所示，作RG〃尸。交CDi于G,连接。尸并延长与C3的延长线交于连接

MR交BB\于E,连接尸£,

RE为截面的部分图形，

同理延长尸。交CD的延长线于N,连接NG交。。1于尸，连接。尸，FG,

则/,加所成的角即为石尸，所成的角，设为8,

易知EP=V^，后况=行，PM=V2，所以8=60°.

故选：D.

8.若C^^"6=cg\2(nGN),且(2-X)"=40+。1%+〃2^2+…+。6〃，贝[J"0—〃1+〃2—…+(—1)

〃斯等于()

A.81B.27C.243D.729

解：由C翁6=c穿得〃=4,

取x=-1得ao-。1+42-+(-1),,a„=34=81.

故选：A.

二、不定项选择题(本大题共4小题，共16.0分)

9.下列结论正确的有()

A.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是方

C.若随机变量X服从二项分布X〜B(5,2)，则P4<X<])=43

32281

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组

数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12

解：对于A,根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，

则10位乘客共有51。种下车的可能方式，故A错误；

对于8,两位男生和两位女生站成一排照相，基本事件总数n=A：=24,

两位女生不相邻包含的基本事件个数m=A^A|=12,.•.两位女生不相邻的概率

p=^~=12故B正确；

n242

对于C,若随机变量X服从二项分布X〜B(5,1■),

3223

CXC-i-)=p(x=2)4P(X=3)=c|(y)(y)+c|(y)(y)啜，故C正确;

对于D,设丢失的数据为x,则七个数据的平均数为卫广，众数是3.

由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，

若x43,则中位数为3,此时平均数空卢=3，解得尤=-10;

Q1+x

若3＜尤＜5则中位数为无，此时空产+3=2x，解得x=4；

Q14-v

若x＞5,则中位数为5,此时也卢+3=2X5,解得％=18.

综上,丢失数据的所有可能的取值为-10,4,18,三数之和为12.故。正确.

故选：BCD.

10.已知抛物线C:丁2=4%，焦点为F,过焦点的直线/与抛物线C相交于A(xi,yi),B

(x2,丝)两点，则下列说法一定正确的是()

A.|A5|的最小值为2

B.线段AB为直径的圆与直线％=-1相切

C.X1X2为定值

D.过点A,8分别作准线的垂线，垂足分别为C,D,则|C0|2=4|A尸||BF|

解：抛物线C：产;船的焦点厂(1,0),准线方程为1=-1,

直线经过£当直线A8垂直于x轴时，|A3|取得最小值4,故A错误；

设A3的方程为x=?ny+l,代入抛物线C：产=4%可得产一而。-4=0,

可得刀+丁2=4机，yiy2=-4,而％2=4»,”2=4x2,

/\2

所以X1X2=''1，2，=1,故。正确；

16

-1+丫22=卬产2)2-2了1y2=康+8=2+4他

4444

则弦长|A8|=XI+%2+2=4m2+4,

设AB的中点为MM到准线的距离为+1=2+2m2=^AB\,

所以以A3为直径的圆与准线相切，故B正确；

设A,B在准线上的射影分别为C,D,\AF\^a,\BF\=b,

可得|AC|=a,|2。=6,设3ELAC,垂足为E,可得|AE|=a-b,

而|C£)|2=|AB|2-|AE|2=(q+b)2_(。-匕)2=4而=4|A印\BF\,故。正确.

故选：BCD.

11.已知〃，Z?为正实数，JLab=14-2tz-b,贝U()

A.必的最大值为18-8衣

B.2a+b的最小值为队历-4

C.〃+/?的最小值为4

解：对于4选项，2a+b=14-ab>2^2ab=2A/2(Vab)，即

(V^b+V2-4)(VabW2+4)<0,

又a,b为正实数，所以我44-血，即ab418-8&,当且仅当2q=b时，不等式可

取等号，故A正确；

2

对于8选项，2ab=28-2(2a+b)冬⑫与空)一,即(2a+b+4)2>128,

4

又。，b为正实数，所以2a+b38&-4,当且仅当2a=6时，不等式可取等号，故B正

确；

对于C选项，'：ab=U-2a-b,：.(o+l)(6+2)=16,

a+b=(a+1)+(b+2)-3>2\/(a+l)(b+2)-3=5,

当且仅当a+l=6+2,即a=3,b=2时，不等式可取等号，故C错误;

对于D选项，(47+1)9+2)=16,•••士』2P-・-L.1

a+1b+2va+1b+22

即盍喏(贵晨

当且仅当〃+l=b+2,即〃=3,b=2时，不等式可取等号，故。正确;

故选：ABD.

12.在单位圆O：N+y2=l上任取一■点P(x,y),圆0与x轴正半轴的交点为A,设将

。4绕原点。旋转到。尸所成的角为仇记x,y关于8的表达式分别为x=/(8),y=g

(0),则下列说法正确的是()

A.函数t=f(S)g(9)是偶函数

B.函数/=|f(8)+g(9)-1]的最小正周期为如

兀

C.函数y=/(0)-g(0)的一个单调减区间为[一屋，9

D.函数y=2f(0)+g(20)的最大值为

解：由题意知x=/(6)=cos0,y=g(0)=sin0,

对于A,f(0)g(0)=cos0sin0,7(-0)g(-0)=-cos0sin0=-f(0)g(0),

t=f(0)g(0)为奇函数，故A错误；

对于B,t=\f(0)+g(0)-I|=|cos0+sin0-l|=h/^sin(0+-^-)-1|,最小正周期为2n,

故B正确；

对于Cf(8)-g(8)=cos8-sin©5/2cos(0+^-),

'JlQ\I\I

因为----,-----1,9+-----G[0,IT],又y=cosx在XE[0,n]单调递减，故C正确;

444

对于£),t=2f(0)+g(20)=2cos0+sin20,

因为/=一2sin0+2cos20=-2sin0+2(1-2sin20)=-2(2sin0-1)(sin0+l),

当sin8€(5"，1)t'<0,t=2/(0)+g(20)是减函数，

当sinB£(-1,>0,t=2f(0)+g(20)是增函数，

所以当sin8=/,cos8=噂，r最大，贝。正确，

乙//

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.兄弟三人同在某单位上班,该单位规定，每位职工可以在每周7天中任选2天休息，一

on

旦选定以后不再改动，则兄弟三人恰有两人休息日完全一致的概率为9-;设兄弟

-147—

41

三人中休息日完全一致的人数为X,则随机变量X的均值是上匚.

-147—

解：总事件数为（«）3=9260种，

X=2包含的事件数为C2C?（C?+CJCJ）=1260^,

所以p（x=2）=3L0L；

9261147

由已知可得X=0,2,3,

X=3包含的事件数为。=21种,

_21二1

所以尸（X=3）-926?"441

X=0包含的事件数为9261-1260-21=7980种,

on14.1

所以E(X)=0XP(X=0)+2XP(X=2)+3XP(X=3)=0+2X^-+3X—!—

147441147

2041

故答案为：

147147

14.抛物线V=4x的焦点为尸，点尸关于原点的对称点为户，尸为抛物线上一点，NPF

1F=a,ZPFF'=p,若s吗则直线尸尸的斜率为士.

sinp22

解：设抛物线的准线/:x=-1与x轴的交点为尸，过尸点作PP_L/,垂足为P.

则NPPF'=a,

根据抛物线的定义，知PF=PP'.

sinaPFPP，

在中,-cosa,,"cos

sin6RRa理

71

・・a=^,

6

兀

..sinVV3,可求得Sin

sin82

P'与尸'不能重合，所以直线尸尸与抛物线有两个交点,

B=±*

•"cos

即tanB=±夸■，

二直线尸/的斜率为土喙・

15.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层

的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为_2

解：上面三个球的球心所在平面EFG与下面三个球的球心所在平面ABC平行,

且平面EFG与圆柱上底面的距离为1,平面A8C与圆柱下底面距离为1,

如图：

△ABC与△所G均是边长为2的等边三角形，设上下底面的中心分别为。2,

连接。1。2,则。1。2为平面ABC与平面EFG的距离，

取FG中点则EM=V3«MOI芈，

取2C中点K,连接AK,则人023?，可得⑷V=A0250|=g，

二0102=MN=J(«)？-(*■)2=胃,

则该圆柱体的高的最小值为2/^.

3

故答案为：2」^号.

16.函数f(x)=3-x?+2ax在区间(-8,1)内递增，则〃的取值范围是［1,+8)

解：由函数/（x）=3-1+22在区间（-8,1）内递增，可得函数y=-N+2ox在区

间（-8,1）内递增，

故有421,

故答案为：［1,+8）.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.（10分）已知｛Z｝是等差数列，其前〃项和为S〃，｛瓦｝是正项等比数列，且〃1+6=3,

b\=2a\,〃3+仇=13,85-3仇=1.

（I）求数列｛斯｝与｛瓦｝的通项公式;

(II)若“=@/(一1)n,记G=C101+C2历+…+Cn瓦，nGN*,求7k

解：(/)设等差数列｛〃〃｝的公差为d,等比数列｛瓦｝的公比为q(q>4),

由〃i+/?i=3,%=2。1得。1=1,b\=2,

\+2d+2a2=13

由43+63=13与S5-3Z?3=1可得：<,

2

k5(l+2d)-6q=l

解得：d=2,q=2,

n

故斯=2〃-1,bn=2;

n

(〃)由⑺得：cn=an+(-l)=2n-l+(-1)〃，

nnn

'%八=@»口+(-1)bn=(2n-l)2+(-2),

设An=21+312+5・23+…+(2n-l)2n

贝U2An=22+3,23+5,24+…+(211-1)2*1②，

由①-②得：-A"=2I+2-22+2-23+■■■+2-2"-(2w-1)2"+1=

2+?3(:展L(2n-l)2nH=(3-2n)2n+1-6-

LN

：.An=(2〃-3)2〃+i+6,

又(-2)1+(-2)2+...+(一2)%二2?-(钟力事(-2)J],

nn+1n

••-Tn=(2n-3)2叫6看[(-2)-l]=(2n-3)2卷(-2)+y--

R+C

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且〃sin(A+8)=csin-^.

(1)求角A的大小；

(2)若角8为钝角，求为的取值范围.

C

解：(1)因为asin(A+B)=csiiF,,

所以asinC=ccos~，

、A

由正弦定理，得sinAsinC=sinCcos^・

由OVCVn,得sinC¥O,

所以2sin5CQS^=COS与

因为畀(0,-y),

所以sin|■总，

所以9d，可得

2bo

0<C<^-,

(2)由8为钝角，得《

TT兀

B=n--C>—,

o4

解得从而0〈tanC〈^^.

63

由正弦定理得

,豆、1V3

bsinBsin（F）ysinC^-cosC

1

V3xV3=2,

csinCsinCsinC2,2tanC4

故为的取值范围是(2,+8).

c

19.(12分)已知圆台OiO2,轴截面ABC。圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半

径为高的两倍，点E为下底圆弧庙的中点，点N为上底圆周上靠近点A的窟的四等分

点,经过Oi,。2,N三点的平面与弧而交于点且E,M,N三点在平面A3C。的同

侧.

(I)判断平面OiOzMN与直线CE的位置关系，并证明你的结论；

(II)尸为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P-ABC。的体积最大时，求异面直线CP

与DB所成角的余弦值.

N

解：(I)CE〃平面OiOzMN.

证明：二•圆台的两个底面互相平行，

「・平面OiOiMN与圆台两个底面的交线平行，

又因为点N为上底圆周上靠近点A的篇的四等分点，

・••点M为下底圆周上靠近点D的a的四等分点，

・・ZAO1N=ZDO2M-,

IT

・・•点E为下底圆弧CD的中点，/.ZOoCE=—,

乙4

・•・O1M//CE,

又CMfu平面O1O2MN,CEC平面OiOiMN,

・・・CE〃平面O1O2MN.

(〃)当四棱锥尸-ABC。的体积最大时，也就是点尸到平面的距离最大,

此时点P为上底圆周上窟的中点.

设圆台的上底面圆的半径为厂，则高为「，。2。=2兀

以点。2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,2/，0),P(厂，0,厂)，。(0,-2r,0),B(0,r,r),

CP=(r,-2r,r),DB=(O,3r,r),

n,(r,-2r,r)-(0,3r,r)

则cos(CP，DB)=-------7=--尸一

V6r-V10r

.,.异面直线CP与所成角的余弦值为H.

6

当点P在源的另一侧中点时，异面直线CP与。8所成角的余弦值也是立

6

异面直线CP与DB所成角的余弦值为

6

20.(12分)已知函数f(x)=L且更，设函数的最大值为“

(1)求机的值;

(2)若对VxE(0,+8),〃X2+2〃元+^>加恒成立，求实数〃的取值范围.

—ix-(1+1nx)

解:(1)f(x)x~lnx.

：~2"

x

当(0,1)时，/(%)>0,当尤(1,+8)时，/1(x)<0,

(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+8)上为减函数.

.*./(x)rnax=f(1)=1,即机=1.

(2)原问题转化为1>0在(0,+8)上恒成立.

设g(%)=ax1+2ax+ex-1,xE(0,+°°),(x)=2ax+2〃+eS

令/z(x)=gi(x)=2ax+2a-^ex,h'(x)=2〃+e\

(i)若〃20,则/?(x)>0恒成立，h(x)在(0,+8)上为增函数,

h(0)=2«+1>0,.\h(x)>0,即/(x)>0恒成立,

g(%)在(0,+8)上为增函数,

而g(0)=0,・・.g(x)>0.

(ii)若qVO,令h'(x)=0,得x=In(-2〃).

①当In(-2〃)WO,即4<a<0时，h(x)在(0,+8)上为增函数，

又/z(0)=2〃+1>0,同(i)成立；

②当(-2。)>0,即a<—■时，此时/i(x)在(0,bi(-2〃))为减函数,

在(In(-2a),+8)上为增函数，而h(0)=2«+1<0,

.\h(x)=0在(0,+8)上有唯一的解xo,

「•g(x)在(0,xo)上为减函数，(xo,+°°)上为增函数,

而g(0)=0,存在g(%)<0,不符合题意.

综上，实数a的取值范围为a>q.

22

21.(12分)已知曲线C：¥+X『l(a〉b>0)上的点。到点〃(2,0)的距离与到直

线“z:尤=3的距离的比为1,点P为直线相上的一个动点，且过点M的直线/与曲线

3

C交于A,B两点、.

（1）求曲线C的方程；

（2）若为等边三角形，求线段A8的长.

22

解：（1）设点。（x,y）为曲线C：%+^l（a>b>0）上的一点,

则】（x-2）2+/=雪|x-31>

22

整理得曲线c的方程为2+X_=i.

62

（2）由（1）知，b=,^2，c=2.

当直线/的斜率不存在时，/：x=2,此时A（2,乎），B（2,-坐■）（或A（2,

B（2,乎）），

••瓦丹

若△ABP为等边三角形，则点尸在无轴上，

又点尸为直线相：尤=3上的一个动点，：.P（3,0）,

•••|喇=画|=房夸#茅，

此时aAB尸不是等边三角形，不符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Z（冗-2）,

联立消去％得（3F+1）x2-12Fx+12F-6=0.

直线y=Z（x-2）恒过定点（2,0）,在椭圆内部，・・.△>（）恒成立.

19v212k2-6

设A(xi,%),B(私，＞2),则有X[+x,='X['x?=-------

3k^+l3k'+l

_2粕@2+1)

贝,"222

AB|=V(1+k)Ix]-x2I(1+k)[(X1+X2)-4X1X2]

3k2+1

6k22k

设AB的中点为Q（尤0,yo）,则x。:e勺^?

直线尸。的斜率为上（由题意知/羊0）,

k

又P为直线x=3上的一点，xp=3

当为等边三角形时，网|=浮匝|,

即h+k23(k2+l)V3276(k2+1)

匕下TP3k2+1，

解得k—士1,|AB|=A/5-

22.(12分)某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表:

月份代码X1234