2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a23．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥24．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．35°7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A． B． C． D．8．（3分）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或39．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A． B．﹣ C． D．﹣11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．②③12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为．14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件元．16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是．17．（3分）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为．18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是．19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是．20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．三、解答题（共60分）21．（5分）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请解答下列问题：（1）这次被抽查的学生有多少人？（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是；（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，则BC＝，BF＝．27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a2【分析】A．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；B．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；C．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；D．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A．因为a+a＝2a，所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意；B．因为a•a＝a3，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；C．因为（a2）4＝a8，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；D．因为a3÷a﹣1＝a3﹣（﹣1）＝a4，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方运算法则进行求解即可得出答案．3．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2【分析】根据二次根式（a≥0），可得x﹣2≥0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，∴x≥2，故选：D．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三视图画出小正方体搭成的几何体即可作出判断．【解答】解：由三视图画出小正方体搭成的几何体如下：则搭成这个几何体的小正方体的个数是4，故选：B．【点评】本题主要考查三视图的知识，根据三视图画出小正方体搭成的几何体是解题的关键．5．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）A． B． C． D．【分析】画出树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，利用概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，∴两次都摸到红球的概率是，故选：D．【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．35°【分析】由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠D＝∠A＝50°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A． B． C． D．【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，即可求出k的值．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是正三角形，∴OC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，又∵k＞0，∴k＝4，故选：D．【点评】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．8．（3分）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m．【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，∴（m﹣3）x＝﹣2．当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．当m﹣3≠0时，x＝，∵方程无解，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴m﹣3＝﹣2，∴m＝1，综上：当m＝1或3时，原方程无解．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．9．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．故选：D．【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【分析】设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应线段的长，再计算①②③④中的比值即可解答．【解答】解：①设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，在Rt△ABC中，AB＝＝＝a，如图（3），由折叠得：AD＝AB＝a，∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC＝a﹣a，∴＝＝；②＝＝；③∵四边形MNCB是正方形，∴CN＝MN＝2a，∴ND＝a+a，∴＝＝＝；④＝＝；综上，比值为的是①③；故选：B．【点评】本题考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换，分母有理化等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，利用参数表示相应线段的长是解本题的关键，属于中考创新题目．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，∴点A（﹣5，0），点B（1，0），∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a，∵a＞0，∴9a+4c＜0，故③正确；④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为1×106．【分析】应用科学记数法﹣表示较大的数：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】【解答】解：1000000＝1×106．故答案为：1×106．【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法﹣表示较大的数的表示方法进行求解是解决本题的关键．14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件CB＝CE（答案不唯一），使△ABC≌△DEC．【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件15元．【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x﹣10＝2，再解答即可．【解答】解：设该商品的标价为每件x元，由题意得：80%x﹣10＝2，解得：x＝15．答：该商品的标价为每件15元．故答案为：15．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是4．【分析】根据数据的平均数计算出x的值，再确定数据的中位数即可．【解答】解：由题意知，＝4，解得x＝8，∴这组数据为1，2，3，5，5，8，∴这组数据的中位数是＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查平均数和中位数的知识，熟练掌握平均数和中位数的概念是解题的关键．17．（3分）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为4或2．【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝．综上所述，AC的长为4或2．故答案为：4或2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（3，5）．【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．【分析】根据旋转可得：BM＝B1M1＝B2M2＝3，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标．【解答】解：∵A（﹣1，2），OC＝4，∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴B1和B2的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是②③．【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD＝67.5°，这个根据已知得不出来，所以①错误；②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；③先计算AH的长，由④中得到的比列式计算可作判断．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定，计算线段的长或进行比例式的变形，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共60分）21．（5分）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝x﹣1，∵x＝cos30°＝，∴原式＝﹣1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．【分析】（1）利用待定系数法即可得出；（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得D的坐标，进一步求得点P的坐标，令x＝0即可求得C的坐标，利用勾股定理即可求得CP的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，∴C（0，3），∵P为BD的中点，∴P（2，2），∴CP＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．【分析】分两种情况，即等腰直角三角形ADE的直角顶点为点A或点D两种情况，分别画出相应的图形，通过作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出答案即可．【解答】解：利用三角板可作图1，图2；（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴AB＝＝5＝BC＝CD＝AD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠OAD+∠FAE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠FAE+∠FEA＝90°，∴∠OAD＝∠FEA，在△AOD和△EFA中，，∴△AOD≌△EFA（AAS），∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，∴EC＝＝；（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF的延长线于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∵EF⊥BD，∴∠OFG＝90°，又∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴四边形OCGF是矩形，由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，∴EC＝＝＝7；综上所述，EC＝或EC＝7．【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等以及等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形、矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请解答下列问题：（1）这次被抽查的学生有多少人？（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是120°；（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？【分析】（1）根据A．速度滑冰的人数和百分比即可解决问题；（2）根据60﹣12﹣20﹣8﹣4＝16，即可补全条形统计图；然后可以计算图中B类活动扇形圆心角的度数；（3）根据样本估计总体的方法即可解决问题．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），答：这次被抽查的学生有60人；（2）补全的条形统计图如图，B类活动扇形圆心角的度数＝×360°＝120°，故答案为：120°；（3）1500×＝200（人）．答：全校最喜爱雪地足球的学生约有200人．【点评】本题考查扇形统计图、统计表的知识，用样本估计总体，关键在于计算的准确性．25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为300米/分钟，乙的速度为800米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），∴G（6，2400）．∴H（8，2400）．∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），故答案为：300；800；（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），由（1）知G（6，2400）．∴，解得，．∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．∵O（0，0），H（8，2400），∴直线OH的解析式为：y＝300x，∵D（1，800），∴直线OD的解析式为：y＝800x，当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，∴令800x+300x＝600，解得x＝．∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x＝（不合题意，舍去）∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，解得x＝或x＝6．综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．【点评】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，则BC＝8，BF＝14或18．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入（x+500）中即可求出A种防疫用品的成本；（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；（3）设（2）中的生产成本为w元，利用生产成本＝A种防疫用品的成本×生产数量+B种防疫用品的成本×生产数量，即可得出关于w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出（2）中最低成本，设购买a台甲种设备，b台乙种设备，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案，再将其代入a+b中即可得出结论．【解答】解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，依题意得：＝，解得：x＝1500，经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，∴x+500＝1500+500＝2000．答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，依题意得：，解得：20≤m≤25．又∵m为整数，∴m可以为20，21，22，23，24，25，∴该工厂共有6种生产方案．（3）设（2）中的生产成本为w元，则w＝2000（50﹣m）+1500m＝﹣500m+100000，∵﹣500＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣500×25+100000＝87500．设购买a台甲种设备，b台乙种设备，依题意得：2500a+3500b＝87500，∴a＝35﹣b．又∵a，b均为正整数，∴或或或，∴a+b＝33或31或29或27．∵33＞31＞29＞27，∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33