2019年上海市中考数学试卷（解析版）

2019年上海市中考数学试卷

一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个

选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）（2019•上海）下列运算正确的是（）

A.3x+2x=5x2B.3x-2x=xC.3x・2x=6xD.3x4-2x=-

3

【考点】41：整式的混合运算.

【专题】11：计算题；512：整式.

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：（A）原式=5x,故A错误；

（C）原式=6x2,故c错误；

（。）原式=上，故。错误；

2

故选：B.

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础

题型.

2.（4分）（2019•上海）如果根>小那么下列结论错误的是（）

A.m+2>n+2B.m-2>n-2C.2m>2nD.-2m>-2n

【考点】C2：不等式的性质.

【专题】11：计算题；66：运算能力.

【分析】根据不等式的性质即可求出答案.

【解答】解：'：m>n,

-2m<-2〃,

故选：D.

【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础

题型.

3.（4分）（2019•上海）下列函数中，函数值y随自变量尤的值增大而增大的是（）

A.y——B.y—-—C.y——D.y—-—

33xx

【考点】F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质.

【专题】33：函数思想；534：反比例函数及其应用.

【分析】一次函数当a>0时，函数值y总是随自变量尤增大而增大，反比例函数当4<0

时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大.

【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选

项正确.

8、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随尤的增大而减小，故本选项错误.

C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随尤的增大而减小，故

本选项错误.

。、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故

本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数

的性质是关键.

4.（4分）（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图

所示，下列判断正确的是（）

A.甲的成绩比乙稳定

B.甲的最好成绩比乙高

C.甲的成绩的平均数比乙大

D.甲的成绩的中位数比乙大

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案.

【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9,

则其中位数为8,平均数为8,方差为Lx[（7-8）2+3X（8-8）2+（9-8）2]=0.4；

5

乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10,

则其中位数为8,平均数为8,方差为工义[（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+

5

（10-8）2]=2,

甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，

故选：A.

【点评】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的

离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也

考查了中位数.

5.（4分）（2019•上海）下列命题中，假命题是（）

A.矩形的对角线相等

B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等

C.矩形的对角线互相平分

D.矩形对角线交点到四条边的距离相等

【考点】O1：命题与定理.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：4矩形的对角线相等，正确，是真命题；

8、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；

C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；

。、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.

6.（4分）（2019•上海）已知OA与08外切，OC与OA、08都内切，且A8=5,AC=6,

8c=7,那么OC的半径长是（）

A.11B.10C.9D.8

【考点】MJ：圆与圆的位置关系.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】如图，设OA,QB,OC的半径为无，y,z.构建方程组即可解决问题.

【解答】解：如图，设04OB,OC的半径为x,y,z.

x+y=5

由题意：，z-x=6>

Lz-y=7

'x=3

解得，y=2，

.z=9

故选：c.

【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，

属于中考常考题型.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位

置上】

7.（4分）（2019•上海）计算：（2/）2=而.

【考点】47：幕的乘方与积的乘方.

【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，计算即

可.

【解答】解：（2a2）2=2V=4«4.

【点评】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键.

8.（4分）（2019•上海）已知/（x）=/-1,那么/（-I）=0.

【考点】E5：函数值.

【专题】11：计算题；33：函数思想.

【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.

【解答】解：当x=-10t,/（-1）=（-1）2-1=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键.

9.（4分）（2019•上海）如果一个正方形的面积是3,那么它的边长是

【考点】22：算术平方根.

【专题】511：实数.

【分析】根据算术平方根的定义解答.

【解答】解：•••正方形的面积是3,

，它的边长是

故答案为：Vs

【点评】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义.

10.（4分）（2019•上海）如果关于X的方程/-x+〃z=o没有实数根，那么实数机的取值范

围是.

q一

【考点】AA：根的判别式.

【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△<（）,由此可以建立关于机的不等式，解不

等式即可求出机的取值范围.

【解答】解：由题意知△=1-4mV0,

4

故填空答案：

4

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△>00方程有两个不相等的实数根；

（2）△=℃方程有两个相等的实数根

（3）△<0o方程没有实数根.

11.（4分）（2019•上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6,

投这个骰子，掷的点数大于4的概率是1.

-3_-

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：..•在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，

掷的点数大于4的概率为2=工，

63

故答案为：1.

3

【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率PG4）=事件A可能出现的结

果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.

12.（4分）（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器

一小器五容二斛大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1

大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛回

—_6-

斛米.（注：斛是古代一种容量单位）

【考点】9A：二元一次方程组的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米

2斛，分别得出等式组成方程组求出答案.

【解答】解：设1个大桶可以盛米尤斛，1个小桶可以盛米y斛，

则俨+工,

[x+5y=2

故5x+x+y+5y=5,

则x+y=—.

6

答：1大桶加1小桶共盛3斛米.

6

故答案为：—.

6

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键.

13.（4分）（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃,已知某登山大

本营所在的位置的气温是2℃,登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在

位置的气温是y℃,那么y关于尤的函数解析式是v=-6x+2.

【考点】E3：函数关系式.

【专题】532：函数及其图像.

【分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃,海拔每升高1加1气温下降6℃,可求出

y与x的关系式.

【解答】解：由题意得y与尤之间的函数关系式为：y=-6x+2.

故答案为：y=-6x+2.

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气

温=地面的气温-降低的气温.

14.（4分）（2019•上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查

了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾

的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根

据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约90千克.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以迎可得答案.

50

【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约迎X100X15%=90

50

（千克），

故答案为：90.

【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的

大小表示各部分数量占总数的百分数.也考查了用样本估计总体.

15.（4分）（2019•上海）如图，已知直线含30°角的三角板的直角顶点C在人上，

30°角的顶点A在/2上，如果边与人的交点。是的中点，那么/1=120度.

【考点】JA：平行线的性质；KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】552：三角形.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DC,则4DCA=NZMC=30°,

再利用三角形外角性质得到N2=60°,然后根据平行线的性质求/I的度数.

【解答】解：♦..。是斜边AB的中点，

：.DA=DC,

：.ZDCA=ZDAC=30°,

Z2=ZDCA+ZDAC^6Q0,

.•.Zl+Z2=180°,

AZI=180°-60°=120°.

故答案为120.

【点评】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）.也考查了平行线的性质.

16.（4分）（2019•上海）如图，在正边形ABCDEB中，设就=三，前=总那么向量而用

【考点】LM：*平面向量.

【专题】5：特定专题.

【分析】连接C?利用三角形法则：BF=BC+CF,求出了即可.

【解答】解：连接CF.

多边形ABCDEF是正六边形,

AB//CF,CF=2BA,

—►—►

••CF=2a>

••,BF=BC+CF，

BF=2a+b，

故答案为2a+b.

【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法

贝U,属于中考常考题型.

17.（4分）（2019•上海）如图，在正方形48CZ）中，E是边AO的中点.将△ABE沿直线

8E翻折，点A落在点尸处，联结。F,那么NEDP的正切值是2.

【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】由折叠可得AE=FE,/AEB=/FEB,由折叠的性质以及三角形外角性质，即

可得到进而得到tan/£DP=tan/AEB=3^=2.

AE

【解答】解：如图所示，由折叠可得/AEB=/FEB=L/AEF,

2

:正方形ABC。中，E是AD的中点，

：.AE=DE=^AD=^-AB,

22

:.DE=FE,

：.ZEDF=ZEFD,

又ZAEF是ADEF的外角，

，NAEF=ZEDF+ZEFD,

NEDF=L/AEF,

2

/AEB=ZEDF,

tanZEDF—tanZAEB=-^-—2.

AE

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图

形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

18.(4分)(2019•上海)在△ABC和△4B1C1中，己知NC=NG=90°,AC=4Ci=3,

8c=4,BiCi=2,点。、。分别在边AB、AiBi±,且△AC。g△CiAiDi,那么的

长是9.

【考点】KA：全等三角形的性质.

【专题】553：图形的全等.

【分析】根据勾股定理求得48=5,设AO=x,则8。=5-尤，根据全等三角形的性质得

出CiDi=AD^x,ZAiCiDi^ZA,ZAiDiCi^ZCDA,即可求得NCi£)iBi=NB£)C,

根据等角的余角相等求得N8iCiDi=/B,即可证得△CIBIOS^BC。，根据其性质得出

至工=2,解得求出A。的长.

x

【解答】解：如图，•.•在△ABC和△A1B1C1中,NC=NCi=90°,AC=AiCi=3,BC

=4,51cl=2,

:•AB=N32+42=5,

设AO=x,贝!J81)=5-尤，

•/△AC。之△CiAiD,

C1D1=AD=x,ZA1C1D1=NA,ZA1D1C1=ZCDA,

：.ZC\D\B\=ABDC,

VZB=90°-ZA,N51clz)1=90°-ZA1C1D1,

：.ZBiCiDi=ZB,

：./\CiB\D^ABCD,

；^―=B］，即反三=2

C।D।C।B।x

解得尤="，

3

：.AD的长为3,

3

故答案为9.

3

【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，

证得△CIBIQS^BC。是解题的关键.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

2_

19.（10分）（2019•上海）计算：I盛-11-料义#6+—1l-83

2^3

【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数累.

【专题】511：实数.

【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少

即可.

2

【解答】解：lV3-II-/2XV6+1-83

2^3

=-/3-1-273+2+73-4

=-3

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行

实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最

后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，

有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

20.（10分）（2019•上海）解方程：上-8一=1

2

x-2X-2X

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题；522：分式方程及应用.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x*2-8—x2-2x,即/+2x-8=0,

分解因式得：（尤-2）（x+4）=0,

解得：x=2或工=-4,

经检验x=2是增根，分式方程的解为了=-4.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

21.（10分）（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于

直线且经过点A（2,3）,与x轴交于点B.

2

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设点C在y轴上，当AC=2C时，求点C的坐标.

>1♦

1

O1x

【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；FF：两条直线相交或平行问题.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）设一次函数的解析式为>=依+6,解方程即可得到结论；

（2）求得一次函数的图形与无轴的解得为8（-4,0）,根据两点间的距离公式即可得

到结论.

【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y^kx+b,

•.•一次函数的图象平行于直线y=^x,

'.k=—,

2

•一次函数的图象经过点A（2,3）,

；.3=!X2+4

:・b=2,

・•・一次函数的解析式为>=氏+2；

（2）由y=L+2,令y=0,得」+2=0,

22

*.x=-4,

一次函数的图形与无轴的解得为B（-4,0）,

:点C在y轴上，

设点C的坐标为（-4,y）,

\"AC=BC,

（2-0）2+（3▼）2=3（-4-0）2+（0寸）2,

2

经检验：y=是原方程的根，

2

...点C的坐标是（0,-L）.

2

【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解

题意是解题的关键.

22.（10分）（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形4BCD表示该车的后

备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°

时，箱盖ADE落在A。'E'的位置（如图2所示）.已知&。=90厘米，。£=30厘米，

EC=40厘米.

（1）求点。'到BC的距离；

（2）求E、E'两点的距离.

图1图2

【考点】LB：矩形的性质；T8：解直角三角形的应用.

【专题】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】(1)过点。'作H±BC,垂足为点交AD于点尸,利用旋转的性质可得

出4。'=AD=90厘米，/DAD'=60°,利用矩形的性质可得出NA阳'=/BHD'

=90°,在RtAW'尸中，通过解直角三角形可求出。'F的长，结合F〃=OC=OE+CE

及。'H=D'尸+”可求出点。'到BC的距离；

(2)连接AE,AE',EE',利用旋转的性质可得出AE'=AE,ZEAE'=60°,进

而可得出△AEE'是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE'=AE,在

中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE，=AE可得出E、E'两点的距离.

【解答】解：(1)过点。'作H±BC,垂足为点H,交于点凡如图3所示.

由题意，得：AD'=40=90厘米，ADAD'=60°.

:四边形A8C。是矩形，

C.AD//BC,

：.ZAFD'=ZBHD'=90°.

在RtZXAZT尸中，D'F^AD'♦sin/DAD'=90Xsin60°=45旧厘米.

又：CE=40厘米，。£=30厘米，

：.FH=DC=DE+CE=7Q厘米，

：.D'H=D'F+FH=(4573+70)厘米.

答：点。'到3C的距离为(45百+70)厘米.

(2)连接AE,AE',EE',如图4所示.

由题意，得：AE'=AE,ZEAE'=60°,

.,.△A££/是等边三角形，

：.EE'=AE.

•.•四边形A8C。是矩形，

AZA£)E=90°.

在中，40=90厘米，。£=30厘米，

•••A£=VAD2+DE2=3。板厘米,

：.EE'=3(h/T^厘米.

答：E、E'两点的距离是3OVI5厘米.

D]*

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及

勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D'F的长度；（2）利用勾股定

理求出AE的长度.

23.（12分）（2019•上海）已知：如图，AB,AC是O。的两条弦，且AB=AC,。是4。延

长线上一点，联结8。并延长交。。于点E,联结C。并延长交。。于点F.

（1）求证：BD=CD-,

（2）如果432=49.4。，求证：四边形是菱形.

【考点】L9：菱形的判定；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似

三角形的判定与性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）连接8C,根据A8=AC,OB=OA=OC,即可得出垂直平分BC,根据

线段垂直平分线性质求出即可；

（2）根据相似三角形的性质和判定求出求出再根

据菱形的判定推出即可.

【解答】证明：(1)如图1，连接BC,OB,OC,

图1

AC是。。的两条弦，且4B=AC,

AA在BC的垂直平分线上，

'：OB=OA=OC,

：.。在BC的垂直平分线上,

垂直平分8C,

:.BD=CD；

(2)如图2,连接0B,

'：AB1=AO-AD,

•AB=AD

"AOAB"

•：/BAO=NDAB,

：.AABOsAADB,

：.ZOBA=ZADB,

•：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB,

：.ZOAB=ZBDA,

：.AB=BD,

\"AB=AC,BD=CD,

J.AB^AC^BD^CD,

，四边形ABOC是菱形.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直

平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题

的关键.

24.（12分）（2019♦上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线-2刈其顶

点为A.

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.

①试求抛物线y=/-2x的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y=/-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴

与x轴交于点C,且四边形OA8C是梯形，求新抛物线的表达式.

1

O-1^~

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；23：新定义；33：函数思想；64：几何直观.

【分析】（1）：a=l>0,故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1,-1）;

（2）①设抛物线“不动点”坐标为。，力贝1=尸-23即可求解；②新抛物线顶点2

为“不动点”，则设点m）,则新抛物线的对称轴为：x^m,与x轴的交点C（〃z,

0）,四边形。48c是梯形，则直线x=机在y轴左侧，而点A（1,7）,点8（优，m）,

则比=-1,即可求解.

【解答】解：⑴Va=l>0,

故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1,-1）;

（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t,t）,贝卜=P-2r,

解得：f=0或3,

故“不动点”坐标为（0,0）或（3,3）；

②•••新抛物线顶点8为“不动点”，则设点8（m,机），

...新抛物线的对称轴为：x=m,与无轴的交点COw,0）,

:四边形。ABC是梯形，

，直线x=m在y轴左侧，

与OA不平行，

：.OC//AB,

又'.,点A（1,-1）,点2（m,m）,

•*-1,

故新抛物线是由抛物线y=--2x向左平移2个单位得到的，

；・新抛物线的表达式为：y=（x+l）2-1.

【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类

新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

25.（14分）（2019•上海）如图1,AD,8。分别是△A8C的内角/8AC、/ABC的平分线,

过点A作AE±AD,交BD的延长线于点

[.图1图2

（1）求证：/£==L/C；

2

(2)如图2,如果AE=A8,且8。：DE=2：3,求cos/ABC的值;

(3)如果NA8C是锐角，且△ABC与△AOE相似，求NA8C的度数，并直接写出鲁因

SAABC

的值.

【考点】so：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)由题意：Z£=90°-/ADE,证明NAOE=90°-L/C即可解决问题.

2

(2)延长AO交BC于点尺证明AE〃BC,可得/&尸8=/胡。=90°,典=毁，由

AFDE

BD：DE=2：3,可得cosNABC=9=巫=2.

ABAE3

(3)因为△ABC与△?!£)£相似，/DAE=90；所以/ABC中必有一个内角为90°因

为/ABC是锐角，推出/ABC#90°.接下来分两种情形分别求解即可.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

,：AE1AD,

：.ZDAE=90°,NE=90°-ZADE,

,：AD平分4BAC,

AZBAD=^-ZBAC,同理乙48。=1乙4BC,

22

•/ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

：.ZADE^CZABC+ZBAC)=90°-J-ZC,

22

.•.NE=90°-(90°-L/C)=L/C.

22

(2)解：延长A。交BC于点?

图2

'：AB=AE,

：./ABE=NE,

BEABC,

：./ABE=/EBC,

：.ZE=ZCBE,

C.AE//BC,

：.ZAFB^ZEAD^90°,空=世

AFDE

\'BD：DE=2：3,

cos/ABC=W=题=2

ABAE3

(3)•.•△48(7与44。£1相似，ZZ)AE=90°,

/ABC中必有一个内角为90°

•/ZABC是锐角，

ZABC^90°.

①当N8AC=/D4E=90。时，

VZ£=1.ZC,

2

/./ABC=/E=L/C,

2

VZABC+ZC=90°,

AZABC-30°,此时^51=2-V3.

SAABC

②当/C=NZME=90°时，NE1/C=45°,

：.ZEDA=45°,

△ABC与△ADE相似,

/.ZABC-45°,此时,SAADE=2-V2.

SAABC

s

综上所述，ZABC=30°或45°,△仙E=2一Q或2-Q.

SAABC

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压

轴题.

考点卡片

1.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数尤的平方等于a,即/=a,那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

3.分数指数塞

分数指数塞.

4.塞的乘方与积的乘方

(1)哥的乘方法则：底数不变，指数相乘.

(/)n=amn(m,w是正整数)

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数哥的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（”是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

5.整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

6.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

7.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=房-4改）判断方程的根的情况.

一元二次方程a/+6x+c=0（aWO）的根与△=-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

8,解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

9.不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不

变，即:

若那么4土

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a>b,J!Lm>0,那么或且>旦；

mm

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a>b,且m<0,那么am<bm§£—<—；

mm

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不

变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才

改变.

【规律方法】

1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一

定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母

是否大于0进行分类讨论.

2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c.

10.函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式.

注意：

①函数解析式是等式.

②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自

变量的函数.

③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是龙的函数，若写成x=-y+9

就表示X是y的函数.

11.函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.

注意：①当己知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函

数值时，求相应的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是

多个.

12.正比例函数的性质

正比例函数的性质.

13.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=fcv+6；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对尤，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数>=依+匕，则需要两组x,y的值.

14.两条直线相交或平行问题

直线>=履+6,晨W0,且比b为常数），当左相同，且6不相等，图象平行；当上不同，且

b相等，图象相交；当上。都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组

的解.

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即左值相同.

例如：若直线yi=hx+bi与直线y2=A”+b2平行，那么匕=%2.

15.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y=k（k¥0）的图象是双曲线；

(2)当4>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小;

(3)当左<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

16.二次函数综合题

(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

17.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.•简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

18.全等三角形的性质

(1)性质1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三

角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指

边的对角.

19.直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜

边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条

边为斜边的直角三角形.

该定理可一用来判定直角三角形.

20.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：四边形A3CD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形"）.

几何语言：：四边形ABC。是平行四边形.,.平行四边形ABCD是菱形

21.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

22.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，

有四条对称轴.

23.*平面向量

平面向量.

24.圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等,

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心

旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

25.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

26.圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含.

如果两个圆没有公共点，叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离,

当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两

个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫

两个圆相交.

(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：

①两圆外离od>R+r；

②两圆外切=d=R+r；

③两圆相交QR-r<d<R+r(R2，)；

④两圆内切od=R-r(R>r)；

⑤两圆内含od<R-r(R>r).

27.命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知

事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

3、定理是真命题，但真命题不一定是定理.

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后

面解的部分是结论.

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正

确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个