高考二轮复习理科数学课件第3讲高考情境题的数学建模

第3讲高考情境题的数学建模近年来,高考数学试题紧密联系生活实际且与“五育”结合,以考查学生基础知识和基本能力为主线,突出考察数学建模、数据分析、逻辑推理等核心素养.为适应高考命题的特点,二轮复习应强化学生对高考情境题的数学建模能力.数学建模解决高考情境题的基本思路:D(2)(2021全国乙,理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(

)A对点训练1(1)(2023陕西西安一模)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表,根据此算法可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=htanθ.对同一“表高”两次测量,第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,且tan(α-β)=,若第二次的“晷影长”与“表高”相等,则第一次的“晷影长”是“表高”的(

)A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍BA考向2函数模型的情境问题例2(1)(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(

)A.1.2天

B.1.8天

C.2.5天

D.3.5天BB对点训练2(1)(2021全国甲,理4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2

C.0.8

D.0.6C

D考向3数列模型的情境问题例3(1)(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C

(2)(2023山东菏泽一模)2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天又向前迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数n是(

)(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)A.40 B.41

C.42

D.43C解析

设当对折n次时,纸的厚度为an,每次对折厚度变为原来的2倍,由题意知{an}是以a1=0.2为首项,公比为2的等比数列,所以an=0.2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg

2n≥lg

3.8+12,即nlg

2≥0.6+12,解得

,所以至少对折的次数n是42,故选C.A.5 B.6

C.7

D.8A解析

如图,设圆Dn,Dn-1与AC相切于点E,F,过点Dn作FDn-1的垂线,垂足为G,则∠FDn-1Dn=60°,(2)(2023陕西安康一模)南京市某地铁总行程大约为51.3千米,小张是陕西来南京游玩的一名旅客,从起点站开始,他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米,以后每经过一站,里程约增加0.1千米,据此他测算出本条地铁线路的站点(含起点站与终点站)一共有(

)A.18个

B.19个

C.21个

D.22个B考向4概率模型的情境问题例4(1)数学家阿基米德建立了这样的理论:“任何由直线与抛物线所围成的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图,直线x=1与抛物线y2=2x交于A,B两点,A,B两点在y轴上的射影分别为点M,N,向矩形ABNM内任投一点,则该点落在阴影部分的概率为(

)A(2)(2023山东烟台一模)某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成,每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购,利用如下方法进行抽检:从该企业产品中随机抽取1包产品,再从该包产品中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是一等品,则决定采购该企业产品;否则,拒绝采购.假设该企业这批产品中,每包产品均含1个或2个二等品零件,其中含2个二等品零件的包数占10%,则小张决定采购该企业产品的概率为________.

对点训练4(1)算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的.如图是一把算盘的初始状态,中间的档是作定位用的,自右向左,分别是个位、十位、百位,…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨3粒下珠,得到的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是(

)B

(2)(2023上海浦东新区模拟)数学老师从6道习题中随机抽3道让学生考试,规定至少要解答正确2道题才能及格,某学生只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是________.

考向5空间几何模型的情境问题例5(1)(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(

)C(2)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体.在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,已知AB=BC=4,AC=4

,若阳马C1-ABB1A1的侧棱C1A=8,则鳖臑C1-ABC中,点C到平面C1AB的距离为________.

对点训练5(1)(2020山东,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为(

)A.20°

B.40°C.50°

D.90°B解析

由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.(2)(2023山东临沂一模)古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理:“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交,那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”,即V=Sl(V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积,S表示平面图形的面积,l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB⊥AD,AB=3CD,AD=3,则其重心G到AB的距离为(

)C考向6圆锥曲线(圆)模型的情境问题例6(2023四川南充二模)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线,探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P斜率为,且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点),则双曲线的离心率为(

)D对点训练6(2023江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷,是中国瓷器的主流品种之一.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上,瓷碗底座高为1cm,瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线,碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为22cm的筷子,筷子的两端紧贴瓷碗内壁.若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm,则该抛物线的通径长为(

)A.16 B.18 C.20 D.22C