2021年全国高考真题乙卷数学（理）试题（含答案解析）

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设2（z+z）+3（z-z）=4+6i,贝ijz=（）

A.l-2zB.l+2zC.1+zD.1-/

2.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃62},T={f'=4〃+l,"eZ},则S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命题〃：*£R,sinxv1；命题q:VxwR,e*Nl，则下列命题中为真命题的是（）

A.PMB.-PgC.D.

1—Y

4.设函数/（x）=——，则下列函数中为奇函数是（）

1+x

A../"（X-1）-1B./（X—1）+1C./（x+1）-1D..f（x+l）+l

5.在正方体ABC。—4月£。中，P为的中点，则直线与AQ所成的角为（）

兀f兀一兀_兀

A.-B.-C.—D.一

2346

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

17T

7.把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移人个

23

单位长度，得到函数丁=5皿卜一?

的图像，则/(x)=()

.(XlxX71

A.sin------B.sin—+一

(212212

sin2》-上D.sinI2xH---

C.I12I12

7

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()

4

7B喘0卷

A.D

9-1

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，”,G

在水平线AC上，OE和Q是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”,

GC和硝都称为“表目距”，GC与咫的差称为“表目距的差”则海岛的高钳二()

表高X表距主言表高*表距.一表高

A表目距的差一表问

表目距的差

表高X表距c表高X表距一

c表目距的差+表距表目距的差表距

10.设aH0,若x=a为函数/(x)=a(x—a)2(x—。)的极大值点，则()

Aa<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

尤22

11.设8是椭圆C：F+=1(«>/?>0)上顶点，若C上的任意一点户都满足1尸3区3,则C的离心

a瓦

率的取值范、围是()

D.。，；

A.与B.plc

7-H

12.设Q=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=—1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C:二—丁=1（根＞0）的一条渐近线为Jir+my=（），则C的焦距为.

m

14.已知向量£=（1,3）,B=（3,4）,若则4=

15.记AAHC的内角4,B,C的对边分别为a",c,面积为百，3=60。，/=3加，则）=

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选

侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图④图⑤

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1和7,样本方差分别记为S；和S；.

⑴求X,y,S；,S；；

i,则认为

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,_元22.

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥P—A8CZ)的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,〃为3c的中点，且

PBLAM.

⑴求8C；

(2)求二面角A—PM—3的正弦值.

21

19.记S,为数列｛%｝前〃项和，/为数列｛S.｝的前〃项积，已知相+区=2.

⑴证明：数列｛4｝是等差数列；

(2)求｛4｝的通项公式.

20.设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=?(x)的极值点.

(1)求4；

x+r(%)

(2)设函数g(x)=―证明:g(x)<L

xf[x｝

21.已知抛物线。：彳2=2外(0>0)的焦点为尸，且尸与圆M:l+(y+4)2=1上点的距离的最小值为

4.

(1)求〃；

(2)若点P在M上，24,是C的两条切线，A,B是切点，求△尸AB面积的最大值.

(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在直角坐标系宜方中，G)C的圆心为。(2,1),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数,f(x)=|x-a|+k+3|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)»6的解集；

(2)若〃x)>—。，求a的取值范围.

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设2（z+z）+3（z-z）=4+6i,则2=（）

A.1-2/B.l+2zC.1+zD.1-i

【答案】C

【解析】

【分析】设z=a+4,利用共辗复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、。的等式，解出这两个未知

数的值，即可得出复数z.

【详解】设2=。+初，则胃=。一次，则2（z+z）+3（z-z）=4a+6友=4+6,，

4a=4

所以，〈，解得。=8=1,因此，z=1+/.

6b=6

故选：C.

2,已知集合5=［卜=2〃+1,〃62},T={4f=4〃+l,〃eZ},则S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得T=S,由此可得出结论.

【详解】任取fwT,则f=4"+l=2・（2〃）+l,其中〃eZ,所以，t^S,故T=

因此，SC\T=T.

故选：C.

3.已知命题p：玉eR,sinx<1；命题,e1'1>j,则下列命题中为真命题的是()

A.P^qB.C.PAfD.->(pvq)

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题?的真假性，由指数函数的知识确定命题夕的真假性，由此确定正

确选项.

【详解】由于—iWsinxWl,所以命题「为真命题；

由于国之。，所以所以命题q为真命题；

所以〃八4为真命题，—p八q、〃八r、」(pvq)为假命题.

故选：A.

4.设函数/(x)=±W,则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A.f(x—1)—1B./(x-1)+1C../(x+1)-1D.f(x+1)+1

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

1_r9

【详解】由题意可得/*)=——=-1+——，

1+X1+X

2

对于A,y(x-i)-i=一一2不是奇函数；

X

2

对于B,7(X—1)+1=一是奇函数；

X

2

对于c,y(x+i)-i=------2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

2

对于D,/(X+1)+1=-,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

5.在正方体-中，尸为BQi的中点，则直线形与A2所成的角为（）

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】平移直线A2至BG，将直线P8与AA所成的角转化为PB与BG所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接6G，PG，P8,因为

所以NPBG或其补角为直线PB与AD］所成的角，

因为8用_L平面所以8g，PG，又PC1上BQi，BBiCBQi，

所以PG_L平面PBB、,所以pqj.PB,

设正方体棱长为2,则=20,P&=g,

sinZPBC,=所以

故选:D

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法

原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中

任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位

置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有41种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解.

7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移§个

单位长度，得到函数》=$抽(％-£］的图像，则/*)=()

【答案】B

【解析】

71

【分析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得至勤=/2X------

.（万）

即得了2%——•=sinx----,再利用换元思想求得y=fM的解析表达式;

<4,

解法二：从函数y=sin(x

出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=/(x)的解析表

达式.

【详解】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，得到y=/(2x)

的图象，再把所得曲线向右平移?个单位长度，应当得到y=/的图象，

根据已知得到了函数y=sin(无一北的图象，所以/2卜一三=sin"）,

zt兀71t7C

令,!HiJx=-+—,x-------1-----

Wf234212

所以/(f)=sin(5+^),所以/(x)=sin[：+5

解法二：由已知的函数y=sin[x-7)逆向变换，

第一步：向左平移2个单位长度，得到y=sinx+g-g=sinx+三的图象，

313I12)

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin[]+3]的图象,

即为y=/(x)的图象，所以/(力=$也心+总.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，

关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是x的变换，图象向左平移。个单位，对应x替换成x+a,

图象向右平移“个单位，对应x替换成x-牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标仰长或缩短到原

X

来的k倍，对应解析式中X替换成一.

K

7

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】B

【解析】

【分析】设从区间(0,1),。,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

。={(3)|0<x<l,l<y<2},设事件A表示两数之和大于则构成的区域为

A="x,y)[0<x<l,l<y<2,x+yt1,分别求出。,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即

可解出.

y

、2

7

B（oq）

【详解】如图所示:1

X

设从区间（0,1）,（1,2）中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

Q=｛（x,y）|o<x<l,l<y<2｝,其面积为$=1x1=1.

设事件A表示两数之和大于（，则构成的区域的A=｛（x,y）0<x<l,l<y<2,x+y）：｝,即图中的阴影

13劣23S23

部分，其面积为集=1一一x-x-=—,所以P（A）=d=n

24432Sn32

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决儿何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件Q,A对应的区

域面积，即可顺利解出.

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，H,G

在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”,

GC和EH都称为“表目距”，GC与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）

表高x表距D表高x表距主一

表目距的差+表目距的差一表图

表高x表距「表高x表距―

,表目距的差表距

表目距的差

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

【详解】如图所示：

DFFHFGCG

由平面相似可知，——=——，一■=一■，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEH_CG_CG-EH_CG-EH

,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,

AC-AH~~CH

表高x表距

即AB=CG—EH+EGXDE=EGXDE.DE+表高.

CG-EHCG-EH一表目距的差

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

10.设GHO,若x为函数〃x)=a(x-a)2(x—"的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】结合对“进行分类讨论，画出/(x)图象，由此确定正确选项.

【详解】若a=。，则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

依题意，x=“为函数〃x)=a(x—々口》—Z?)的极大值点，

当”0时，由龙>人，/(%)<(),画出“X)的图象如下图所示:

由图可知b<a,a<0,故a匕〉

当a>0时，由时，/(%)>0,画出/(力的图象如下图所示:

由图可知h>a,a>0，故a/?〉".

综上所述，加?>/成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

22

11.设8是椭圆C:]+与=l(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点户都满足1尸3区3,则C的离心

ab

率的取值范围是(

AM11D.*

A.—，1B.c

L7z-H.

【答案】c

【解析】

【分析】设由3((),。)，根据两点间的距离公式表示出|P8|,分类讨论求出|尸用的最大值，再

构建齐次不等式，解出即可.

22

222

【详解】设。(%,%)，由8(0,力)，因为其+磐=1，a=b+c,所以

a~b~

(2\„2(.3\2,4

-=_+22

|P§|2=片+(%-好=4］一/+(y0^)"7Ty()~+—+a+b,

IhJh\cJc

>3

因为—b<y0"，当一彳w—b，即时，|盟:=4)2,^\PB\nm=2h,符合题意，由从2/可

得a222c2,即0<e«也；

2

当一耳>一人，即/<。2时，|PB|2=2+/+/，即4•+/+/<4〃，化简得，(/—/)2。，显

然该不等式不成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出|「耳的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论

函数的单调性从而确定最值.

12.设a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/LO4-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对。力的大小作出判定，对于〃与c,b与c的大小关系，

将0.01换成X,分别构造函数/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+Lg(x)=ln(l+2x)-，1+4X+1,利用导数分

析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合40)=0,g(0)=0即可得出。与c,0与c的大小关系.

【详解】«=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=^,

所以

下面比较c与。力的大小关系.

222

记〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+lJiV(())=0,/(x)=

]+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x)-=2x-x2=x(2-x)

所以当0<v<2时,l+4x—(1+x)>0,即A/1+4x>(1+x),/(x)>0,

所以在［0,2］上单调递增，

所以/(0.01)>/(O)=0即21nl.01>VT5?-1,即。>c;

2(Jl+4x-l-2x)

令g(x)=ln(l+2x)—A/TT^+1,则g(O)=O,g［x)22

l+2xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x)~=Tx?,在x>0时,l+4x—(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+oo)上单调递减,所以g(O.Ol)<g(O)=O,即lnL02<JE5?-1,即所c;

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C:二—产=1(m>())的一条渐近线为6x+/2=0,则C的焦距为

m

【答案】4

【解析】

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中从对应关系，联立求解"？，再由

关系式求得C,即可求解

【详解】由渐近线方程、Qx+my=()化简得)，=-正X,即2=同时平方得耳=三，又双曲线中

matnam~

31

/=〃?力2=1,故弓=上，解得,"=3,%=0(舍去)，c2=/+b2=3+i=4nc=2,故焦距2c=4

tnm

故答案为：4

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键

14.已知向量£=(1,3)石=(3,4),若(2—/1垃_1以则4=.

【答案】|3

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为£一加=（1,3）-/1（3,4）=（1-3/1,3-4/1）,所以由倒一时可得，

3（1—32）+4（3—42）=（）,解得4=1.

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=（芯,,）石=（々,%）,

aA_b<=>a-b=0<=>x^x2+%%=（），注意与平面向量平行的坐标表示区分.

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为c,面积为6，3=60。，储+02=3〃。，则人=

【答案】20

【解析】

【分析】由三角形面积公式可得QC=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，S=>acsinB=更~ac=6，

A/1OC24

所以ac=4,a2+c?=12,

所以。2=a2+c2-2accosB=12-2x4x；=8,解得b=2及（负值舍去）.

故答案为：20.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选

侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图①图②图③

【答案】③④

【解析】

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体ABCD-A与G9中，AB=BC=2,BB]=1,

分别为棱B居,BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E—A。尸.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关

系.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为嚏和J,样本方差分别记为和.

⑴求"S：,S；；

i,则认为

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果,_元22.

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）工=10,5=10.3,S：=0.036,£=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没

有显著提高.

【解析】

【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

……-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

［详解］(］)x=----------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=--------------------------------------------------------=10.3,

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22,、…

--------------------------------------------------=0.04.

10

（2）依题意，y-x=0.3=2x0.15=2,0.152=2V0.025，=270.038,

U走延,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

-Vio

18.如图，四棱锥P—A3CD的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M为的中点，且

PB1AM.

(1)求BC；

（2）求二面角A—QM—3的正弦值.

【答案】（1）72；（2）—

14

【解析】

【分析】（1）以点。为坐标原点，D4、DC、OP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系，设

BC=2a,由已知条件得出丽.而=0,求出。的值，即可得出8C的长；

（2）求出平面的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）平面ABC。，四边形ABC。为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.QC、DP所

在直线分别为X、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设3c=2a,则0（0,0,0）、尸（0,0,1）、3（2”,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

则而=（2a,l,-1）,W=

■.PBLAM，则丽•病=—2/+1=0,解得。=J，故BC=2a=也;

2

（2）设平面PAW的法向量为加=（%,昨4）,则画？=一当,1,0,AP=（-0,O,。，

—72

/TI•AM=----X,4-Vi=0I——»/二《

由121取%=J5,可得.=（j2J2）,

fh•AP--A/2XJ+ZJ=0

设平面PBAf的法向量为〃=（为0），3河=（一手,0,0,BP=（-V2,-l,lj,

7

V2

nBM--=0可得7=(0/,1),

由V2一取为=1

万•BP=-V2X2-y2+z2=0

----------m-n335/14

cos<m,n>=pq-pf=-j=-f==-n-

局."v7x>/214

sin<诏,1>=Jl—cos?〈加5>=画,

所以,

14

因此，二面角A—9—B的正弦值为叵.

14

【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为

坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，

从而得到二面角的余弦值.

21

19.记S,为数列｛%｝的前〃项和，2为数列｛S.｝的前〃项积，已知相+区=2.

（1）证明：数列｛包｝是等差数列；

（2）求｛4｝的通项公式.

[3,

—,n=1

2

【答案】（1）证明见解析；（2）an=1]

----1----i\，〃N2

〃（〃+1）

【解析】

21cc2"3

【分析】（1）由已知—+—=2得S“=丁、，且2声0,取〃=1,得4=：,由题意得

七22b”T2

2bl2仇2h.2bh、

另七'…胡士■="，消积得到项的递推关系互受？=管+｝，进而证明数列也（”｝是等差数列；

[3।

—=1

2

（2）由（1）可得々的表达式，由此得到5〃的表达式,然后利用和与项的关系求得见=｛1.

----7----2

〃（"+1）

2।2b

【详解】（l）由已知晨+区=2得s,,=才、，且〃产。，b产3,

3

取另=1,由岳="得

由于〃，为数列｛S,,｝的前”项积,

2b,2b,2h,

所以-----------=-.....n..-b

八2瓦一12b2T2hn-1

所以2——的-----为

%,

2b「I2瓦一12bz-

2"+1_b“+i

所以

2%-1『

由于〃,用H0

21!其中nGN*

所以/kf即…=

M+I2

O|

所以数列｛2｝是以4=：为首项，以d=；为公差等差数列；

22

（2）由（1）可得，数列｛2｝是以4=白为首项，以d为公差的等差数列,

22

〃

b.=3F(772—I)X_I=1ld,

〃21722

S_2d_2+〃

”2b"71+〃’

3

当〃=1时，4=5]

2

2+〃1+〃1

当〃22时,a-S"_]，显然对于不成立,

n1+〃n»(/?+1)«=1

3।

—,n=I

2

n，〃N2

〃-(J九+l)

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前〃项和与项的关系，数列的前〃项积与项的关系，其中由

2%2%=勿"是关键一

备念T一券也得到走=〃川，进而得到

2%一12%-1a

步；要熟练掌握前"项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和

（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.

20.设函数/（x）=ln（a-x）,已知x=0是函数y=犷（力的极值点.

（1）求〃;

X+f(X)

(2)设函数g(x)=.;、.证明:g(x)<l.

xf(x)

【答案】1;证明见详解

【解析】

【分析】（1）由题意求出y',由极值点处导数为0即可求解出参数

%+ln(l—x)

（2）由（1）得g（x）%<1且%。0,分类讨论xw（0,1）和x€（9,0）,可等价转化为要

xln(l-x)

证g（x）<l,即证x+ln（l-在x«0,l）和X«YO,0）上恒成立,结合导数和换元法即可

求解

IY

【详解】（1）由/（x）=ln（Q-x）n/“）=----,y=^（x）ny=ln（a-x）+-----,

x-ClX-Cl

又x=0是函数y=4（x）的极值点，所以y'（0）=lna=0,解得〃=1；

x+/(x)x+ln(l-x)

(2)由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)京rwhf且田，