垂直平分线的证明

关于垂直平分线的证明问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.

ABC第2页,共36页，2024年2月25日，星期天ABMNC

P第3页,共36页，2024年2月25日，星期天MN

CABQ

第4页,共36页，2024年2月25日，星期天ABMNP.Q.C

第5页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理(线段垂直平分线的性质定理)第6页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理第7页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理第8页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理第9页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.定理第10页,共36页，2024年2月25日，星期天直线MNAB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.已知：PA=PB求证：ABCN

MP第11页,共36页，2024年2月25日，星期天证明:∵MNAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定义)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已证)PC=PC(公共边)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ABCMN

P第12页,共36页，2024年2月25日，星期天ABCMN

P当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?PCA与PCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB第13页,共36页，2024年2月25日，星期天已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?PABMN

C

P/这样的点P/不存在第14页,共36页，2024年2月25日，星期天ABPC

已知:线段AB,且PA=PB求证:点P在线段AB的垂直平分线MN上.

过点P作PCAB垂足为C.∵PA=PB(已知)∴PAB是等腰三角形(等腰三角形的定义)∴AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)∴PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线MN上.证明:第15页,共36页，2024年2月25日，星期天和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.逆定理第16页,共36页，2024年2月25日，星期天小结:1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.2.和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.第17页,共36页，2024年2月25日，星期天ABC

MN

第18页,共36页，2024年2月25日，星期天C

ABMN第19页,共36页，2024年2月25日，星期天和线段两个端点距离相等的所有点的集合.线段的垂直平分线可以看作是第20页,共36页，2024年2月25日，星期天例

已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:PA=PB=PC.∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)证明:∵点A在线段AB的垂直平分线上(已知)同理PB=PC∴PA=PB=PC.ACBMPNM/N/第21页,共36页，2024年2月25日，星期天问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.

ABCP

点P为校址第22页,共36页，2024年2月25日，星期天作图题:如图,在直线l上求一点P,使PA=PB

l

BAP点P为所求作的点第23页,共36页，2024年2月25日，星期天填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为

三角形.ABCE

D1题图等腰第24页,共36页，2024年2月25日，星期天填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为

三角形.2.已知:等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AD上一点,则BE

EC.(填>、<或=号)ABCE

DABCE

D1题图2题图等腰=第25页,共36页，2024年2月25日，星期天3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则1=

,2=

.ABCDMN30o1275o30o60o45o第26页,共36页，2024年2月25日，星期天填空：4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为

cmABDCE

3cm3cm1913cm第27页,共36页，2024年2月25日，星期天5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD

第28页,共36页，2024年2月25日，星期天证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.ABCD

证明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形内角和定理)∴A=ABD(等量代换)∴D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分线的定义)30o∴AD=BD(等角对等边)第29页,共36页，2024年2月25日，星期天证明题:2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:AD∥BC.ABCDO123证明:∵线段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(线段垂直平分线的性质定理)∴1=3(等边对等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分线的定义)∴2=3(等量代换)∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)第30页,共36页，2024年2月25日，星期天证明题:3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,A=120o,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.求证:CF=2BF.ABCEF300

60O30030OCF=2AFAF=BFCF=2BF第31页,共36页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点,

在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.小结：第32页,共36页，2024年2月25日，星期天作业:P952.3.4第33页,共36页，2024年2月25日，星期天证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.ABCDEF

1234第34页,共36页，2024年2月25日，星期天ABCDEF

1234∴1+2=4(等边对等角)又∵4=B+3(三角形