数学全等三角形难题

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1、（2022年成都）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(!)求证：BF=AC；(2)求证：CE=

1

BF；2

(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。

2.（2022?内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

3（08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观看、测量，猜想并写出AB与AP所满意的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满意的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

C（F）图14-1

P

l

F

l

B

（E）

l

图14-2

图14-3

4.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB

＝∠COD＝90o，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△COD

绕点O顺时针旋转肯定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？

（3）若△COD绕点O顺时针旋转肯定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）依据等腰三角形的两腰相等进行解答．

（2）证明△DOB≌△COA，依据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：解：（1）相等．在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；（2）相等．

在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，

∴BD=AC．点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要留意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．

5（2022河南）．（9分）复习“全等三角形”的学问时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则

BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明白△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发觉“BQ=CP”仍旧成立，请你就图②给出证明．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；探究型．分析：此题的两个小题思路是全都的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而依据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．解答：证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，

AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．（2）BQ=CP仍旧成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中，

AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），

∴BQ=CP．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．

5（2022山西太原）将一张透亮     的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．且△ABC≌△DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

①当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)，C，D在同始终线上时，?AFD与?DCA的数量关系是．②当△DEF连续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）依据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA；

（2）成立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD

的垂直

平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：

方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC．

在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．

∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．

方法二：连接AD．同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC．

由△ABC≌△DEF，得FD=CA．

在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．

AD

（3）如图，BO⊥AD．

方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，

F得∠BAC=∠BDF，BA=BD．

∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA．

BC∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，E

∴∠OAD=∠ODA．

∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上．∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．

方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．

在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．

∴BO⊥AD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础学问要娴熟把握．

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：延长EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，

由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，

又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，

∴∠EAF=45°．

答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．

例2D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

A

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连CD，依据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，依据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，依据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；

（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，依据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．解答：解：（1）连CD，如图，∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△DCE和△ADF中，∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，MMBBB∴△DCE≌△ADF，∴DE=DF；

DDCC（2）∵△DCE≌△ADF，FFNN∴S△DCE=S△ADF，NE

∴四边形DECF的面积=S△ACD，M而AB=2，（图1）（图2）（图3）∴CD=DA=1，

∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD?DA=12．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三