2021届高一数学单元测卷北师大版必修第一册第五章 函数应用（能力提升）（解析版）

第五章函数应用能力提升

第I卷(选择题)

一、单选题

1.已知函数y=/(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表:

X17345

y-2-0.310.430.891.21

则函数“X)一定存在零点的区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据零点存在定理判断.

【详解】

由函数值表知/(2)/(3)<0,因此在(2,3)上至少有一个零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查零点存在定理，在区间句上连续的函数，若/(a)/(b)<0,则在(a,〃)上至少存在一

个零点.

2.函数/(x)=2，-d的零点个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=0,得出2、=X2,将函数y=/(x)的零点个数转化为函数y=2,与函数图象的

交点个数，利用数形结合思想可得解.

【详解】

令/(x)=0,得出2，=X2，

则函数y=/(x)的零点个数转等于函数y=2,与函数y=/图象的交点个数，

如下图所示：

函数丁=2工与函数y=Y的图象有3个交点，因此，函数/(x)=2、—f的零点个数是3.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数零点个数的求解，常用代数法与图象法来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等

题.

3.统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际

面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有307(约2.16)倍.观察某

个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的

(1g2»0.3010,lg3=0.4771,lg7«0.8451)()

A./8倍B.21倍C.24倍D.27倍

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到10=,根据对数运算法则可解方程求得近似值.

【详解】

由题意可知，看到图形面积大小》与图形实际面积X之间满足y=%07

・•・若看到全国面积约为某县面积的10倍，贝U10=x°7,解得：lgx=¥^L43

1g27=31g3«1.43x«27

故选：D

【点睛】

本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数

运算性质求得结果.

x"-2ax—，尤<1

4.已知函数/(x)=2恰有两个零点，则实数。的取值范围是()

In%,%>1

A.B.再C.

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=。利用对数函数的图像及二次函数图像的性质，即可得到答案.

【详解】

依题当x21时，/(x)=lnx,令/(%)=0,解得》=1；

因为函数恰有两个零点，

,1

所以x<1时函数/(x)=x,-2ax—5与x轴有且仅有一个交点.

又因为八=4/+2>0,

所以/(x)=V-2仪-5与x轴有两个交点,

且其图像开口向上(如图所示)，

由二次函数图像的性质可得，要符合题意，则只需

/(l)=l-2tz-1=1-2tz<0,解得

故选：c

【点睛】

本题考查了根据函数的零点个数求参数，考查了数形结合的思想，属基础题.

5.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20,连环送活动”即顾客购物每满100元，就可

以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物,

最多可以获赠购物券累计()

A.280元B.320元C.340元D.360元

【答案】C

【解析】

【分析】

顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，则1400元可得280元购物券，280+60=340

元可得60元购物券，故可得结论.

【详解】

由题意，顾客购物每满10。元，就可以获赠商场购物券20元

1400x20%=280,又280+60=340还可获赠商场购物券60元，

280+60=340,

・•.在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计340元.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数应用题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

6.函数y=/(x)是定义域为R,周期为2的函数，且当1,1)时，〃x)=l—三；已知函数

g(x)=lg|x|,则函数y=〃x)-g(x)在区间内的零点个数为()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的周期性，作出函数/(尤)和g(x)的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数.

【详解】

函数y=是定义域为R，周期为2的函数，且当1目—1,1)时，/(x)=l-x2；

・•・作出函数/(光)的图象如图：

g(x)=lg|%],定义域(Y0,0)5。,+8)

・•・在同一直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图：

当9Kx<10时，——10<0

则〃X)=/(XT0)=1—(XT0)2

此时〃10)=Lg(10)=l

/(9)=0,g(9)=lg9

故由图象可知两个图象的交点个数为15个.

故选：C

【点睛】

本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定

难度.

7.函数/(x)=e*+2尤—3的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

判断函数单调递增，计算/'(0)<0,/⑴>0得到答案.

【详解】

/(幻=/+2尤—3,函数单调递增，计算得到了(0)=—2<0；/(l)=e-1>0

故函数在(0』)有唯一零点

故选：C

【点睛】

本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.

f2rX<0

8.已知函数/(x)=5一,若方程/(x)=x+a有两个不等的实根，则实数。的取值范围

[2-x,x>0

为().

A.(-oo,0]B.[1,2)C.D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

将/(x)=%有两个不等的实根，转化为y=-X与y=a的图象有两个交点求解.

【详解】

因为/(x)=x+a有两个不等的实根，

所以y=/(x)-x与y=a的图象有两个交点，

当x<0时，〃x)=2T—%是减函数，所以f(x)=Tx-x>l,

当x〉0时，〃％)=2-2%是减函数，所以/(x)=2-2x<2,

所以实数。的取值范围为1<a<2.

故选：B

【点睛】

本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

9.9知函数/(》)=卜1「2，X41,且对于任意实数。e(0,1)关于x的方程

\—X+2mx—2m+1,%>1

/(x)—a=0都有四个不相等的实根石,电,项,工4，则%+尤2+毛+尤4的取值范围是()

A.(2,4]B.(-oo,0]u[4,+oo)

C.[4,+00)D.(2,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】

采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.

【详解】

由方程/(%)-a=0都有四个不相等的实根

则函数丁=/(1)与丁=。，ae(0,1)图像

有四个交点,

2

由/'("=Vl-x,x<1

—x2+2JWC—2m+1,x>1

A/1-x2,x<1

即/(%)=V

_(%-1)[%-(2根-1)],%>1

如图,

所以玉工

+x2=0,3+Z=2m

故%+工2+七+乂=2m

又《」'7=^>m>2

2m-1>1

所以%+X2+X3+Z24

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.

10.已知函数=—若关于X的方程/(x)+4(x)=0有〃个不同的实根，则〃的值

不可能为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

先作出函数〃“="|1一%||的图像，根据产(x)+4(%)=0得/(%)=0或/(X)=—。，原方程

根的个数，转化为函数/(%)与x轴以及直线y=F交点个数；结合函数图像，即可得出结果.

【详解】

x-2,x>2

2-x,l<%<2

x,0<x<1

一羽x<0

作出/(%)的图像如下:

由72(%)+如(九)=0得：〃x)=0或/(x)=

所以方程产(x)+4(x)=。的解的个数，即为函数/(%)与x轴以及直线广一。交点个数,

由图像可得：/(x)与％轴有2个交点,

①当-。＜0,即。〉0时，函数/(%)与直线y=-a无交点，故原方程共2个解;

②当-。=0,即。=0时，原方程可化为/(£)=0,故原方程共2个解;

③当0＜—。＜1,即—1＜。＜0时，函数/(%)与直线产F有4个交点，故原方程共6个解;

④当-。=1,即a=-1时，函数/（九）与直线。有3个交点，故原方程共5个解;

⑤当-。>1,即“<-1时，函数/（九）与直线y=r有2个交点，故原方程共4个解;

综上，原方程解的个数可能为2,4,5,6.

本题主要考查方程根的个数的判定，灵活运用转化与化归的思想，根据数形结合的方法即可求解,

属于常考题型.

11.若函数“X）的图像是连续的，且函数“X）的唯一零点同时在区间（1,5）,（1,3）,（2,3）,J1

内，则与符号相同的是（）

A./（5）B./（3）C.呜）D./（2）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据根的存在性定理分析/（2）与/（1）符号相同.

【详解】

因为函数/（九）有唯一零点，在区间12,g）内，所以零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同

号，所以与/。）符号相同的是/（2）.

故选：D

【点睛】

此题考查函数零点辨析，根据根的存在性定理结合零点个数分析得解.

12.已知函数/（x）=122一，若存在西，9^尺，且工产为2，使/（%）=/（羽），则实

ax-1,x>\

数。的取值范围是（）

A.a<3B.-2<a<3

C.-2<a<2D.a<2

【答案】A

【解析】

【分析】

讨论。<2和。22两种情况，分别计算得到答案.

【详解】

当■Icl,即。<2时，/（x）=-x2+tX¥,在X<1上存在石，赴eH,且百2%，

使/（石）=/（%），所以。<2时满足题意；

当。22时，需满足一1+々>"2一7，解得一2<〃<3,即24〃<3；

综上：实数〃的取值范围为。<3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数与方程问题，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.

第n卷（非选择题）

二、填空题

<2X+1（X<O）

13.已知函数/（x）=|、八、有2个零点，则实数。的取值范围是________.

x-1x-3［（无）0）

【答案】{a|a<—24+1或a=2^—1}

【解析】

【分析】

分a>0及aV0两种情况论即可.

函数/（x）有2个零点分以下两种情况：

第一种，当x<0时，函数/（元）有1个零点，当x>0时，函数/（元）有1个零点；

第二种，当xWO时，函数/（尤）没有零点，当x〉0时，函数/（x）有2个零点.

【详解】

（1）当。〉0时，/（%）=改+1（无<0）有1个零点，

则f（x）=x2-|a|x+1x-31（x>0）有1个零点，

lx—31

令％2一|々|%+|%一3|=0（%>0）,得i=%+-----,

x

x---卜1,x23

|x-3|

问题可转化为y="与ynX+J——L(X>0)=;的图象仅有1个交点.作出

X

xH---1,0<%<3

、X

y=工+乜二2（％>0）的图象，如图，易知当a=2j§—1时，y=a与丫=工+归丸（X〉0）仅有

xx

1个交点.

(ii)当时，/(x)=ox+l(x<0)无零点,

则/(x)=V—|a|x+|x—3|(x>0)有2个零点.

I-3|

令xz-\a\x+\x-3\=0(x>0),得一a=x+--------

x

x-----3

|x-3|

问题可转化为y=_。与y=龙+J——L(x>0)=(；的图象有2个交点，结合

x

xH----1,0<%<3

x

y=x+左a（x>0）的图象，可知—。>2出—1，得。<一26+1.

X

综上，实数。的取值范围是{a|a<—2月+1或a=2百—1}.

【点睛】

本题主要考查分段函数的零点，二次函数的图象和性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，数

形结合能力.试题以分段函数为载体，题干简短易懂，引导考生通过分类讨论利用二次函数的图象

解题，重点考查直观想象、逻辑推理的核心素养.

14.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因

为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续

对折了，一张长边为卬，厚度为X的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为

2

ry

厚度变为4x.在理想情况下，对折次数〃有下列关系：«<-log-(注：1g2ao.3),根据以上

32x

信息，一张长为21。相，厚度为0.05加机的纸最多能对折一次.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据题意计算n<|log24200得到答案.

【详解】

22(

川《mlog24200=log24+log21000+log22+SlogzI。+log2—

】s11八F21I221

因为Iog210=7i=Rw，0<log2—<1>所以“<8+qk>g2右的最大值为8.

U.DNU3ZU

故答案为：8

【点睛】

本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.函数/(%)=2、恤了|—1的零点个数为.

【答案】2

【解析】

【分析】

由题意结合函数零点的概念可转化条件得|lnx|=g，在同一直角坐标系中作出函数y=|山X与

>=］的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.

【详解】

令/(x)=2xJlnx|—l=0,则|lnx|=!，

在同一直角坐标系中作出函数y=|lnx|与y=：的图象，如图:

由图象可知，函数y=|lnx|与y=/的图象有两个交点，

所以方程|lnx|=£有两个不同实根，所以函数/(%)=2*恤乂—1的零点个数为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想,

属于中档题.

|犬x<0

16.已知函数/。)=,'-八.若方程y(x)=kx-1无实根，则实数上的取值范围是____________

llnx,x>0

【答案】(L+8)

【解析】

【分析】

【详解】

画出直线丁=丘-1和函数〃无）的大致图象如图,

1,、

设过点（0,-1）与曲线y=lnx相切的直线为y—%=—（x—玉）），其中（％,%）为切点，将点（0,

T）代入得,即为=0,故％=1，此时切线的斜率为1，若方程/（x）=kx—1无实根,

只需直线丁=区-1和函数〃无）的图象没有交点，结合图象可知实数人的取值范围是（L+8）.故答案

为（1,+oo）.

三、解答题

17.若关于％的方程9*+（4+。）3*+4=0没有实数解，求。的取值范围.

【答案】（-8收）

【解析】

【分析】

44

利用参变量分离法得出。/一3*-三一4,令》=3工＞0,可知。不属于函数y=T—?—4«〉0）的

4

值域，并利用基本不等式求得函数y=T-7-4“〉0）的值域，由此可求得实数。的取值范围.

【详解】

,、gr4

令9*+（4+。）3'+4。0,可得^_+±A^一4=-3''—4，

'73V3,

令/=3*>0，可知a不属于函数y=—7—；—4“〉0）的值域，

当f〉0时，由基本不等式可得y=T—4—2，]=—8,

所以，函数y=T—；—4“〉0）的值域为（―8,—8].

因此，实数a的取值范围是（-&a）.

【点睛】

本题考查利用方程根的个数求参数，利用参变量分离法转化为参数与函数值域的关系是解题的关键,

考查了基本不等式的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

is.保护环境，防治环境污染越来越得到人们的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y（单

位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为、=2尤2+（10-3左）尤+124+8.现为了减少

大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为上万元，除尘后，当日产量x=2时，每日

生产总成本y=52.

（1）求女的值；

（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少吨时，每吨产品的利润最大，最大利

润为多少万元？

【答案】（1）左=2；（2）日产量为4吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为26万元.

【解析】

【分析】

（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=2时，总成本y=52,代入计算得左=2；

(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.

【详解】

解：(1)由题意，除尘后y=2f+(10—3Qx+12左+8+依=2/+(10—2左)x+12A+8,

将x=2,丁=52代入得52=2*22+(10-24)><2+12左+8解得左=2；

(2)由(1)值y=2x?+6尤+32,总利润L=48x—(2炉+6尤+32)=42%一2/一32(尤>0),

贝U每吨产品的利润：=42—+T；，42—4g号=26,

当且仅当x=L,即x=4时取等号，

x

所以除尘后日产量为4吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为26万元.

【点睛】

本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题

19.设关于1的方程左9”—左3>1+6(左—5)=0.

(1)若常数上=3,求此方程的解；

(2)若该方程在［。,2］内有解，求上的取值范围.

【答案】(1)=log34；(2)gw左W8.

【解析】

【分析】

(1)将左=3代入方程，得到3・夕—93—12=0,将其整理得到⑶+1)(3*-4)=0,集合指数

函数的值域，得到3*=4,从而得到x=logs4,求得结果;

30

（2）将式子k9x-左3*+6（左一5）=0整理得出k=J33"，令『=3：1。，贝V苗

借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.

【详解】

（1）当上=3时，方程左9*—左32+6（左—5）=0即为39—9-3,—12=0,

化简得9*—3-3、—4=0,即(3*+1)(3r-4)=0,

解得3、=一1（舍去）或3*=4,

所以x=k»g34,所以，此方程的解为尤=logj4,

(2)由k9x-左3>1+6(左—5)=0可得k(9x-3k+l+6)=30,

所以左=———30——

9,—33+6

令f=3;xe[0,2],贝Ve[l,9],

,3,15

所以9工一3・3,+6=产一3f+6=（r—己）？+」，

24

由/c口,9]可得当t=乡时,（t-1）2+与最小值为”,

2244

3、15

当f=9时，«—万产+1的最大值为60,

30<30<30

所以0一夕―3计1+6一国，即:W左48,

所以人的取值范围是8].

2

【点睛】

该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程

中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.

20.某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元，每生产x（xwN*）千件需另投入成本为C（x）（万

元）.当年产量不足80千件时，C（x）=-x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，

C（x）=51x+U幽—1450（万元）.通过市场分析，每件售价为500元最为合适.

x

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？

--x2+40x-2500<x<80,xeN*

3

【答案】（1）L=\（2）该产品年产量为100千件时，该

_X_1P222+I2OOx>8O,xe7V*

x

厂所获利润最大.

【解析】

【分析】

（1）对产量x是否小于80分类讨论求出另投入的成本，求出总销售额，减去固定成本和另投入的

成本，即可得出利润函数解析式；

（2）根据利润函数的特征，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出分段函数的的最大值，对比

即可求出结论.

【详解】

1,

—+10x0<x<80,xeN*

3

(1)依题意C（x）=〈

l10000…八

51x+----------1450x>80,xeN*

x

1,

——%2+40X-2500<x<80,xeN*

L=50x-C(x)-250=<

10000

-x-+---1-2--0-0--x>80,xeNf

x

（2）由（1）得

当0<x<80,xwN时，L=+40x—250=—§(x—60)2+950,

当x=60时，41ax=950万元,

当x280,xcN*时，£=-(%+^222)+1200<-2,10000+1200=1000,

x

当且仅当x="S=100时，等号成立，即4ax=1000万元

x

所以利润的最大值为1000万元.

答：该产品年产量为100千件时，该厂所获利润最大.

【点睛】

本题考查函数应用问题，建立函数模型是解题的关键，要注意单位的统一，考查数学抽象、数学建

模、数学计算能力，属于中档题.

21.⑴己知函数〃力=4+4a+2,若函数的一个零点在（0,1）内,一个零点在（1,4）内,

求实数。的取值范围；

（2）若关于x的方程次+（2根—3）［；［+根=0在上有唯一实数解，.求实数机的取值

范围.

【答案】（1）［一;（2）^0,J或:

【解析】

【分析】

/（0）=2>0

（1）根据题意，由根的分布可得</。）=3+4。<0,再求解.

/（4）=18+16a>0

（2）设'=，所以当El寸，/e[5,+co],方程相.[；）+（2m—3）-^^+根=0在

（—8,1）上有唯一实数解，可转化为m2+Q加-3"+根=0,te[,+oo]上有唯一实数解，进而

3t3/1\1

转化为一/+2/+1—/+1+2/e[5，+ooj上有唯一实数解，再令M（r）=/+：+2,由对勾函数

的图象和性质求解.

【详解】

/（0）=2>0

（1）由题意|/。）=3+4。<0,解得ae93

84

/（4）=18+16a>0

（2）设f=,所以当xe（-oo,l）时，/e1g,+co],

门、=3t=3

此时，由题意得^+（2加一3"+根=0,f©15，+°0J有唯一实数解"一/+2f+l-,+1+2

有唯一实数解

令K（/）=t-\—卜2,

由对勾函数的性质可知

时，"⑺=%+：+2在（5,1]单调递减，在5，+s）上单调递增,

所以在（川单调递增，在上单调递减，