经管类专升本复习参考题

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经管类专升本复习参考题

1.已知三角形的三个顶点坐标分别为A(4,3,1),B(3,1,2),C(5,2,3)，求该三角形的三边的长度，并问该三角形有何特征？

解：

由两点间的距离公式可得，AB

同理可得AC

BC

.

，

2.设aij4k，b2i2jk，求(2ab)(a2b).解：由于2ab=4i7k，a2b3i5j6k，所以(2ab)(a2b)4(3)(7)(6)30.

3.一平面过点(5,7,4)且在各坐标轴上的截距相等，试求该平面的方程.解：由题意可设所求平面方程为

*ayaza

1，那么

5a7a4a

1，a2，

所求平面方程为*yz2.

4.已知一平面垂直于平面*4y5z20且过原点和点(2,7,3)，试求该平面的方程.

A4B5C0,B13C,

解：设所求平面方程为A*ByCzD0，那么D0,解得A47C,

2A7B3CD0,D0,

所以所求平面方程为47*13yz0.5.求过两点M1(1,1,2)和M2(3,2,1)的直线方程.

*1y1z2

解：所求直线的方向向量为M1M22,3,1，所以所求直线方程为.

231

6.求过点(2,1,2)且与直线解：设所求直线与直线

*12y

y3

z31

垂直相交的直线方程.

的交点为(2t1,3t,t3)，

231

那么有向量{2t1,3t1,t5}，从而(2t1)(2)(3t1)3(t5)10，解得t0，所求直线的方向向量为{1,1,5}，所求直线方程为

*

*21

2

*1z3

y11

2

z25

.

7.设zf(*y,)，其中f具有二阶连续偏导数，求

y

z*

2

，

z*y

.

解：设u*y,v

*y

，那么zf(u,v).

z*

f1

1y

f2，

zy

f1

*y

2

f2，

z*

2

2

z**

*

(f1

1y

f2)f11

1y

f12

1y

(f21

1y

)f11f22

2y

f12

1y

2

，f22

z*y

2

zy*

y

(f1

1y

f2)f11

*y

2

f12

1y

2

f2

1y

(f21

*y

2

)f22

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(f11

1y

*y

)f12

2

*y

3

f22

1y

2

f2.

8.求由*yzsinz所确定的函数zz(*,y)的全微分和偏导数.解：方程两边微分得yzd**zdy*ydzcoszdz，解得dz

yzd**zdycosz*y

，

z*

yzcosz*y

，

zy

*zcosz*y

.

9.求由以下方程组所确定的函数的导数或偏导数.

22

z*y,dydzuv*uyv0,uv

〔1〕2求，；〔2〕求，，，.22

yu*v1,d*d****2y3z4,yy

dydz

2y2*,d*d*

解：〔1〕方程组两边对*求导，得

dydz2y3z*,d*d*

解得

dyd*

*(6z1)2y(3z1)

，

dzd*

*3z1

；

vu*yu,u*uyvvyu*v**

〔2〕方程组两边对*求偏导，得解得，；2222

uv**y**yy*v,**vu

*yv,yyu*vyuuyv

同理方程组两边对y求偏导，得解得，.2222

uvy*yy*yy*u,yy

2

*y,

10.求空间曲线在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.2

z*

dy

2y1,1d*

解：方程组两边对*求导，得在点(1,1,1)的切向量为1,,2，即2,1,4，

2dz2*,

d*

于是切线方程为

*1

214

法平面方程为2(*1)(y1)4(z1)0，即2*y4z7.

y1

z1

，

11.求函数f(*,y)*e*y在点P0(2,0)处沿从点P0(2,0)到点P(1,3)的方向l的方向导数.解：

f*

(1*y)e

*y

，

f

2*y

*e，l=

1,3，l=，y

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fl

(2,0)

1

4

.

12.计算以下二重积分：

〔1〕(1*y)d*dy，D:*0,y0,*y1；

D

〔2

〕

D

22

*dy，D:*y*；

〔3〕*yd，其中D是半圆形区域*2y24，*0；

D

2

〔4〕e

D

*y

22

d*dy，其中D是圆形区域*y4；y*

22

〔5〕arctan

D

*dy，其中D是由圆*y1,*y4及直线y0，y*所围成

2222

的在第一象限的区域．解：〔1〕D:0*1,0y1*，

(1*y)d*dy

D

10

d*

1*0

(1*y)dy

10

12

(1*)d*

2

16

(1*)

3

10

16

；

或：D:0y1,0*1y，

(1*y)d*dy

D

2

10

dy

1y0

(1*y)d*

10

12

(1y)dy

2

16

(1y)

3

10

16

；

〔2〕D:

2

,0rcos，

cos

3

D

*dy

2

2

d

rcosdr

2

45

20

cosd

3

428

1；5315

〔3〕D:

2

2

2

20

,0r2，

4

2

D

*yd

2

2

d

rcossindr

645

20

cossind

2

64164

；5315

〔4〕D:02,0r2，

2

2

e

D

*y

d*dy

20

derdr2

2

r

2

12

(e1)(e1)；

44

〔5〕D:0

y*

4

,1r2，

1

arctan

D

*dy

40darctan(tan)rdr

0

40drdr

1

2

3

2

64

．

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12.计算I区域．

*d*dydz，其中是由三个坐标面与平面*yz1所围成的闭

解：{(*,y,z)|0z1*y,0y1*,0*1}，所以I

13.zdv，其中

由球面z

1

d*

1*

dy

1*y

*dz

1

d*

1*

*(1*y)dy

12

10

*(1*)d*

2

124

．

与抛物面z

13

(*y)所围成的立体．

22

*rcos,

解：〔用柱面坐标〕yrsin,dv

rdrddz.

zz.

:02,

20

0r

r

2

13

rz

2

zdv

dr1

dz2

3

12

rz

2r

rr

3

19

r)dr

5

134

．

14.

v，其中由曲面*yzz所围成的立体．

222

*sincos,

解：〔用球面坐标〕ysinsin,dv2sindrdd.

zcos.

:02,0

2

,0

cos.

cos0

v

20

d2d

sind2

2

20

sin

14

cosd

10

．

15.

计算I

L

s，其中L是圆周*ya(a0)，直线y*及*轴在第一象

222

限中所围成图形的边界.

解：L分成三段LL1L2L3，其中L1:y0,(0*a)，dsd*；

*acost,

L2:(0t)，ds

adt；L3:y*,(0*

4yasint,

2

)，ds*；

I

L

s

a0

ed*

*

40

eadt

a

*e(2

a

4

a)2.

16.计算曲线积分(*y)d*(*y)dy，其中曲线L为(1)从A(1,0)沿直线*y1到B(0,1)；

L

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〔2〕从A(1,0)沿直线*1到C(1,1)，再沿直线y1到B(0,1).解：〔1〕(*y)d*(*y)dy

L

01

[1(2*1)(1)]d*(22*)d*(*1)

1

2

10

1；

〔2〕(*y)d*(*y)dy

L

AC

(*y)d*(*y)dy

1

1

CB

(*y)d*(*y)dy

10

(1y)dy

1

(*1)d*(y

y

2

2

)(*

*

2

2

)

12

32

1.

17.计算曲线积分(*2y2)d*，其中L是抛物线y*2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

L

解：(*2y2)d*

L

20

(**)d*(

24

*

3

3

*

5

2

5

)

83

325

5615

.

2

2

2

18.利用格林公式计算I线.

解：由格林公式得I

L

22

*yd**ydy，其中L为逆时针方向圆周*ya(0)曲

L

*yd**ydy

2

22

2

(*y)d*dy

2

22

20

d*rdr

a

3

2

a.

4

*ya

19.验证(*22*yy2)d*(*22*yy2)dy为*Oy平面内某一函数u(*,y)的全微分，并计求u(*,y).

解：由于P*22*yy2,Q*22*yy2，

Py

2*2y

Q*

,

所以(*22*yy2)d*(*22*yy2)dy为*Oy平面内某一函数u(*,y)的全微分.又(*22*yy2)d*(*22*yy2)dy*2d*2*yd*y2d**2dy2*ydyy2dy

d(d(

**

3

3

3

)yd*yd**dy*dyd(*y*y

*

3

2

2

2

2222

y

3

3

)d(

*

3

3

)d(*y)d(*y)d(

22

y

3

3

)

y

3

33

)，

2

所以u(*,y)

3

*y*y

(1,2)(0,0)

y

3

3

C.

2

2

20.证明曲线积分

3*(*2y)d*(3*y)dy与路径无关，并求其值.

Py

Q*

证明：由于P3*(*2y),Q3*2y2，

(1,2)(0,0)

6*

,

所以

3*(*2y)d*(3*y)dy与路径无关.

2

2

3

2

22

3*(*2y)d*(3*y)dyd(*3*y

y

3

3

)，

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(1,2)(0,0)

3*(*2y)d*(3*y)dy

2

22

(1,2)(0,0)

d(*3*y

32

y

3

3

)(*3*y

32

y

3

(1,2)

3

)

(0,0)

133

.

21.计算曲面积分I

*dS，其中封闭曲面是由平面*yz1，*0，y0，z0

所围成四周体的整个边界曲面.

解：1234，1:*yz1，2:*0，3:y0，4:z0，1在*Oy面上的投影区域为D*y(*,y)0*1,0y1*，

I

1

10

*dS

1*0

2

2

*dS

2

3

*dS

10

2

4

1*0

2

*dS

d*

*

*00

2

d*

2

*d*(1

2

10

13

(1*)d*

2

2

3

112

2

(1

.

22.计算曲面积分I解：:z

2

(*y)dS，其中是上半球面*yz9且z0.

22

*Oy面上的投影区域为D*y(*,y)*y9，

I

(*

20

y)dS

2

(*

D*y

2

y2

*dy

3

d

30

3

r6

30

3

rr3sint36

3

20

sintdt108.

3

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1.已知三角形的三个顶点坐标分别为A(4,3,1),B(3,1,2),C(5,2,3)，求该三角形的三边的长度，并问该三角形有何特征？

解：

由两点间的距离公式可得，AB

同理可得AC

BC

.

，

2.设aij4k，b2i2jk，求(2ab)(a2b).解：由于2ab=4i7k，a2b3i5j6k，所以(2ab)(a2b)4(3)(7)(6)30.

3.一平面过点(5,7,4)且在各坐标轴上的截距相等，试求该平面的方程.解：由题意可设所求平面方程为

*ayaza

1，那么

5a7a4a

1，a2，

所求平面方程为*yz2.

4.已知一平面垂直于平面*4y5z20且过原点和点(2,7,3)，试求该平面的方程.

A4B5C0,B13C,

解：设所求平面方程为A*ByCzD0，那么