函数的微分教案

间星期---月——日题 §2.5函数的微分教学目的理解函数微分的定义；微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；会求函数的微分。教学重点会求函数的微分。教学难点微分在近似计算中的应用课型专业基础课 教学媒体教法选择讲授教学过 程教法运用及板书要点一、函数的微分1、微分的定义引例一正方形金属薄片受温度变化影响，其边长由乂0变到乂0+4乂，问此薄片的面积改变了多少？分析面积A=x2，AA=(x+Ax)2一x2=2xAx+Ax20 0 0般f(x)满足定条件Ay=AA+0(Ax)，其中AA是Ax的线性函数。定义1：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+^x在这区间内，如果函数的增量Ay—f(x+Ax)f(x)可表示为：0 0Ay=AAx+0(Ax) (1)其中A是与x有关而与Ax无关的常数，o(Ax)是比Ax高阶的无穷小量，0那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AAx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量^x的微分，记作dy即：dy=AAx。那么，函数具有什么条件才可微呢，下面我们讨论可微的充要条件。Th1、函数y=f(x)在点x0处可微分的充要条件是该函数在x0处可导，且当f(x)在点x处可微时，有dy=f'(x)Ax。0 0证明："n”(必要性)若y=f(x)在点乂0处可微，Ay=AAx+0(Ax)，Ay40(Ax) ,「Ay…、A+ ，于是，A11m f(x)。Ax Ax Ax—Ax 0口TOC\o"1-5"\h\zAy …、"u"(充分性)设y=f(x)在点x处可导，即lim二=f*(x)0 Ax"A °根据极限与无穷小的关系有半=fXx)+alima=0，于是Ax 0 Ax-0Ay=f'(x)Ax+aAx aAx=0(Ax)，且f'(x)Ax不依赖Ax，即0 0dy=f'(x0)Ax，所以y=f(x)在点x。处可微。注1、可导今可微n连续n极限存在；可导n连续，反之不成立。2、当f'(x)丰0时，有0Ay—dy Ay—f'(x)Ax f'(x)lim———-二lim—-__J 0—二lim[1—J0]=0Ax-0Ay Ax—0 Ay Ax—0 AyAx表明当f'(x)丰0时，Ax-0时，Ay—dy不仅是比Ax高阶的无穷小，0而且也是比Ay高阶的无穷小；因此，dy是Ay的主部。从而当|Ax|很小时，Ayxdy。3、dx=Ax, y=(x)dx,令=f,(x)微商。dx【例1】求函数丫=乂3在x=1和x=2处的微分。解：函数丫=*3在x=1的微分为dy=(x3)'| dx=3dxx=1在x=2处的微分为dy=(x3)'|dx=12dx。x=2兀【例2】求函数y=sinx，当x=-,Ax=0.02时的微分。

PQ=MQtana=f'(x)A "以直代曲，即y=f(x)的微分0dy=f'(x)dx，在几何上就表示曲线在点M(x,y)处的纵坐标相应于0 0 0Ax的增量。如图2.5(P75)。3、基本初等函数的微分公式与微分运算法则(1)基本初等函数的微分公式(2)函数的和、差、积、商的微分法则d(u±v)=du±dv；d(uv)=vdu+udv；d(cu)=cdu；I,“、vdu一udv/八、d(-)= (v中0)。v v2(3)复合函数的微分法则设y=f(u),u=叭x),f'(u)及①'(x)存在，则复合函数y=f[^(x)]的微分为dy=f'(u和'(x)dx。由于①'(x)dx=du，所以复合函数y=f[p(x)]的微分也可以写成：dy=f'(u)du或dy=y'du 微分的形式不变性。u【例3】y=sin(2x+1),求dy。解：法1：y'=2cos(2x+1)dy=2cos(2x+1)dx。法2：dy=d(sinu)=cosudu=cos(2x+1)d(2x+1)=2cos(2x+1)dx【例3】y=ln(1+小2),求dy。, 八 、 1 … 、 ex2 , 2xex2,解：dy=dln(1+ex2)= d(1+ex2)= dx2= dx1+ex2 1+ex2 1+ex2【例4】y=e1-3xcosx,求dy。解：dy=d(e1-3xcosx)=cosxd(e「3x)+e「3xdcosx=e1-3xcosxd(1-3x)-e1-3xsinxdx=-e1-3x(3cosx+sinx)dx【例5】填空：(1)d()=xdx(x2+c)(2)d( )=~^x= (x++c)2 2Vx

(3)d()=—— (—+c) (4)d()=cos5xdx(s'n"+c)x2 x 5ey练习：y=1+xey求dy。 (dy=eydx+xeydy,dy= dx)1一xey二、微分在近似计算中的应用.函数的近似计算如果y=f(x)在点x°处的导数f'(x0)丰0，且Ax很小时，有Ay六dy=f'(x)Ax0上式也可写成：Ay=f(x+Ax)一f(x)xf'(x)Ax (2)0 0 0f(x+Ax)xf(x)+f'(x)Ax (3)0 0 0令x=x+Ax，即Ax=x-x，(3)可以写成：0 0f(x)xf(x)+f'(x)(x-x) (4)0 0 0f(x)xf(0)+f'(0)x(x=0)0例6.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm.估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)?解：已知球体体积为V=3兀R3,R0=1cm,AR=0.01cm.镀层的体积为V=V(RQ+ARA-V(R0)xV'(R0)AR=4兀R02AR=4x3.14x12x0.01=0.13(cm3).于是镀每只球需用的铜约为0.13v8.9=1.16(g).例7.利用微分计算sin30。30，的近似值.解：已知30。3°'= ,%=3&=360.sin30°30'=sin(x0+Ax)xsinx°+Axcosx0•兀। 兀兀 133兀 八=sin-r+cosA-QAn=^+^-QAn=0.5076.6 6360 22360即 sin30°30'x0.5076.常用的近似公式(假定1x1是较小的数值)：(1)n1+xx1+1x；n(2)sinxxx(x用弧度作单位来表达)；(3)tanxxx(x用弧度作单位来表达)；(4)exx1+x；(5)ln(1+x)xx.

证明⑴取f(x)=n1+X,那么八0)=1,八0)=1(1+x)nT =1,代入n x=0nfx)^f(0)+f'(0)x便得n1+x^1+1x.n证明(2)取fx)=sinx,那么f(0)=0,f'(0)=cosxlx=0=1,代入fx)^f(0)+f'(0)x便得sinxxx.例8.计算7105的近似值.解：已知n1+xx1+1x,故nV1.05=J1+0.05x1+1x0.05=1.025.2直接开方的结果是J1.05=1.02470.2.误差估计在生产实践中，经常要测量各种数据.但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其它有关数据后,根据某种公式算出所要的数据.由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为A,它的近似值为。,那么lA-H叫做a的绝对误差，而绝对误差A-a与lal的比值与3叫做a的相对误差.lal在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内.如果某个量的精确值是A,测得它的近似值是a,又知道它的误差不超过3/A-al<54,贝器4叫做测量A的绝对误差限，紧叫A A A lal做测量A的相对误差限(简称绝对误差).例9.设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D的绝对误差限3=0.05.利用公式A二号D2计算圆钢的截面D 4积时，试估计面积的误差.解：AAxdA=A'-AD=—D-AD,2 'IAAlxldAl=—D-lADl<-D-3.2 2d已知D=60.03,3D=0.05,所以=^~D-3=^-x60.03x0.05=4.715(mm2);A21 D 21-0.17%.ID-5-0.17%.若已知A由函数y=f(x)确定：A=y,测量X的绝对误差是3%,那么测量y的3y=?由八y-dy=y'Ax,有TOC\o"1-5"\h\zy饪ldyl=ly1.IAxl<lyl.3^, |A所以测量y的绝对误差3y=ly'l.3x：测量y的相对误差为练习：1、求arctan1.02的近似值。1 ，…，、-解：取y=arctanx,由于y=- ，由公式(3)有:Ax1+X2Axarctan(x+Ax)-arctan(x)+0 0取x取x0=1A=0.02代入上式，兀即得arctan1.02--+0.01。4所以x=：，其值较小，所以x=：，其值较小，解：因为3，'65=