第十章概率复习高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

概率复习必修第二册第十章《概率》温故知新知识网络一.古典概型温故知新古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；

从1~17内的质数中任意取出2个，则和为奇数的概率为______.2,3,5,7,11,13,17二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_______①若事件A发生，则事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．A⊆BΩ如：A＝“点数为1或2”，B＝“点数不大于2”，则______②若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.ΩA=B二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，③事件A与事件B至少有一个发生，且事件C中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．Ω如:C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______C=A∪B如:C＝“点数为2”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______④事件A与事件B同时发生，且事件C中的样本点既在事件A中，又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．ΩC=A∩B{1,2}∩{2,3}＝{2}二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，C3={3}，C4={4}用集合表示：事件C3与事件C4不可能同时发生.称事件C3与事件C4互斥.

用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.（如下图所示）ABΩ互斥事件二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，F={2，4，6}，G={1，3，5}用集合表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.我们称事件F与事件G互为对立事件.

用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，

一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记作.（如下图所示）AΩ

对立事件二.事件的关系与运算温故知新在掷骰子试验中，观察骰子朝上的点数，可以得到许多随机事件，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A,B,C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.温故知新三.事件及其概率温故知新事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立A发生则B一定发生A与B至少一个发生A与B同时发生A与B不能同时发生A与B有且仅有一个发生A⊆BAUB或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA∩B=Φ,AUB=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)P(A)+P(B)=1

？P(A+B)=P(A)+P(B)三.事件及其概率温故知新相互独立事件

对于任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.②事件A与事件B相互独立就是：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率.注意：①互斥事件：两个事件不能同时发生.②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.①

P(AB)=P(A)P(B)事件A与B相互独立.说明：三.事件及其概率温故知新相互独立事件

对于任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.②事件A与事件B相互独立就是：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率.①

P(AB)=P(A)P(B)事件A与B相互独立.说明：若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:相互独立事件的性质三.事件及其概率温故知新事件的关系或运算含义符号、概率表示事件A包含于事件B事件A发生，则事件B一定发生A⊆BP(A)≤P(B)事件A与B的并(和)事件事件A与事件B至少有一个发生

A∪B(或A＋B)P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)事件A与B的交(积)事件事件A与事件B同时发生A∩B(或AB)事件A与事件B互斥事件A与事件B不会同时发生A∩B=ϕP(A∪B)=P(A)+P(B)事件A与事件B互相对立事件A与事件B在有且仅有一个发生事件A与事件B相互独立事件A发生与否不影响事件B发生的概率P(AB)=P(A)P(B)四.课堂练习温故知新1.【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”，A与

,与B,与

都相互独立,由已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1温故知新2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”，A与

,与B,与

都相互独立,由已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1（2）“恰好有一人中靶”=A∪B，且A

与

B互斥,P(A∪B)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26温故知新2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”，A与

,与B,与

都相互独立,由已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1（3）事件“两人都脱靶”=，所以P()=P()P()=0.2×0.1=0.02温故知新2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.(4)①事件“至少有一人中靶,②∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”∴事件“至少有一人中把”的概率为“正难则反”温故知新3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都降雨的概率;（2）甲、乙两地都不降