2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每题2分，共16分）

1.（2分）一元二次方程2?+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,5

2.（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

A.y=/+3B.>=7-3C.y—（x+3）2D.y=（x-3）2

4.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-2,-3)

5.(2分)用配方法解方程f+4x=l,变形后结果正确的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2)2=2C.(%-2)2=5D.(%-2)2=2

6.（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“焉”的位置在“…”（图中

虚线）的下方，“焉”移动一次能够到达的所有位置已用“制标记，则“，患”随机移动一

次，到达的位置在“…”上方的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

7.（2分）如图，PA,PB是。O的切线，4,8为切点，点C为。。上一点，若NACB=70°,

则NP的度数为（）

C.20°D.40°

8.（2分）如图，线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点4出发，沿线段AB

运动至点8.以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆.设点P的运动时间为f,点P,

B之间的距离为y,。4的面积为S.则y与r,S与f满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系、一次函数关系

B.一次函数关系，正比例函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系

D.正比例函数关系，二次函数关系

二、填空题（每题2分，共16分）

9.（2分）抛物线y=-3（x-1）2+2的顶点坐标是.

10.（2分）若关于x的一元二次方程/+级+,〃=0的一根为-1,则机的值是.

11.（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,2）的抛物线的表达式：.

12.（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除

颜色不同外其余均相同的黑、白两种球.将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球

记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的

频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概

率为.

“摸出黑球的频率

1.0-

0.8-

0.6-

().4-

0.2-***...................

_______IIIIIIIIII

O5010()15020()250300350400450500摸球柏的总次数

13.（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走

长征路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参

观人数增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为.

14.（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,若ND4E=110°,ZB=40°,

则NC的度数为.

15.（2分）斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huan）

其外，旁有庞（tiao）焉意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个

同心圆.”如图所示.问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庞

旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形

16.（2分）如图，在边长为2的正方形ABC。中，E,尸分别是边DC,CB上的动点，且始

终满足DE=CF,AE,DF交于点P,则的度数为；连接CP,线段CP

的最小值为.

三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）

17.（5分）解方程：？-2x-8=0.

18.（5分）如图，A8为。0的弦，OCLAB于点M,交。0于点C.若00的半径为10,

OM：MC=3：2,求AB的长.

19.（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：。。（如图1）.

求作：。0的内接等腰直角三角形A8C.

作法：如图2.

①作直径A8；

②分别以点A,8为圆心，大于」的长为半径作弧，两弧交于点M；

2

③作直线MO交于C,。两点；

④连接AC,BC.

所以AABC就是所求作的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接M4,MB.

"：MA=MB,OA=OB,

：.MO是AB的垂直平分线.

又：直线MO交。。于点C,

是直径，

AZACB=（）（填写推理依据）.

.♦.△ABC是等腰直角三角形.

20.（5分）如图，在平面直角坐标系x。），中，抛物线y=a?+2x+c的部分图象经过点A（0,

-3）,B（1,0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围.

21.（5分）如图.在平面直角坐标系X。），中，AOAB的顶点坐标分别为。（0,0）,A（5,

0）,8（4,-3）.将△048绕点。顺时针旋转90°得到△OAb,点A旋转后的对应点

为4.

（1）画出旋转后的图形△OA5,并写出点4'的坐标；

（2）求点8经过的路径88'的长（结果保留TT）.

的方式确定两人.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片

的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名

字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

(1)“A志愿者被选中”是事件(填“随机”、“不可能”或“必然”);

(2)用画树状图或列表的方法求出A,8两名志愿者同时被选中的概率.

23.(6分)已知关于x的一元二次方程(A+4)x+4A=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个根小于2,求k的取值范围.

24.(6分)为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长为25m)的空地上修建

一个矩形小花园A8CD小花园一边靠墙，另三边用总长40%的栅栏围住，如图所示.设

矩形小花园A8边的长为XM7,面积为州长.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

/《//////////

AD

BC.

25.(6分)如图，AC是。。的弦，过点。作OP_LOC交AC于点P,在0P的延长线上取

点、B,使得=

(1)求证：A8是0。的切线；

(2)若。。的半径为4,PC=2娓,求线段AB的长.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，点(1,机)和(2,〃)在抛物线y=-f+fev上.

(1)若胆=0,求该抛物线的对称轴；

(2)若切〃<0,设抛物线的对称轴为直线尤=r.

①直接写出/的取值范围；

②已知点(-1,yi),(3,>2),(3,yj)在该抛物线上，比较yi,”的大小，并说

明理由.

27.(7分)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP,BP,CP,将线

段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP,连接PP,BP'.

(1)用等式表示3P与CP的数量关系，并证明；

(2)当NBPC=120°时,

①直接写出NP8P的度数为;

②若M为BC的中点，连接PM,用等式表示与AP的数量关系，并证明.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中.。。的半径为1,对于直线I和线段AB,给出如下

定义：若将线段关于直线/对称，可以得到OO的弦A'B1(A',B1分别为A,B

的对应点)，则称线段A8是的关于直线/对称的“关联线段”.例如：在图1中，线

段AB是。O的关于直线/对称的“关联线段”.

(1)如图2,点4,Bi,A2,B2,A3,B3的横、纵坐标都是整数.

①在线段AiBi,A2B2,A3B3中，。0的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是；

②若线段A2B2,43B3中，存在。。的关于直线y=-x+m对称的“关联线段”，则

m=；

(2)己知直线)，=-返^+6(b>0)交x轴于点C,在AABC中，AC=3,AB=1.若

3_

线段AB是。。的关于直线>=-返叶6(6>0)对称的“关联线段”，直接写出b的最

3

大值和最小值，以及相应的BC

长

图1图2

2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题2分，共16分）

1.（2分）一元二次方程2?+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,5

【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可.

【解答】解：一元二次方程U2+彳-5=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2,

1,-5,

故选：B.

【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式,

注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号.

2.（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

的mi

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋

转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，

这个点叫做对称中心.

【解答】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意：

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

3.（2分）将抛物线y=/向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A.y=7+3B.>=7-3C.尸（x+3）2D.尸（%-3）2

【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式.

【解答】解：..•抛物线y=/向上平移3个单位，

平移后的解析式为：y=7+3.

故选：A.

【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题

关键.

4.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（3,2）D.（-2,-3）

【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.由此可求点A关于原点对称的

点的坐标.

【解答】解：•••点A（2,3）,

点关于原点对称的点为（-2,-3）,

故选：D.

【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是

解题的关键.

5.（2分）用配方法解方程7+4X=1,变形后结果正确的是（）

A.G+2）2=5B.（x+2）2=2C.（%-2）2=5D.（%-2）2=2

【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【解答】解：/+4x=l,

贝Uf+4x+4=l+4,即（x+2）2=5,

故选：A.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键.

6.（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“禹”的位置在“…”（图中

虚线）的下方，“焉”移动一次能够到达的所有位置已用“v标记，则“焉”随机移动一

次，到达的位置在“…”上方的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

【分析】用“——"（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案.

【解答】解：观察“焉”移动一次能够到达的所有位置，即用标记的有8处，

位于“——"（图中虚线）的上方的有2处，

所以“焉”随机移动一次，到达的位置在“——”上方的概率是2=工，

84

故选：C.

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有"种可能，而且这些

事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（4）=&,难度

适中.

7.（2分）如图，物，PB是的切线，4,8为切点，点C为OO上一点，若NACB=70°,

则/尸的度数为（）

C.20°D.40°

【分析】连接OB,根据圆周角定理求出/AO8,根据切线的性质得到OAL以,

OBVPB,根据四边形内角和等于360。计算，得到答案.

【解答】解：连接08,

；NAC8=70°,

AZAOB=2ZACB=140°,

尸2是OO的切线，

：.OArPA,OBLPB,

—360°-90°-90°-140°=40°,

故选：D.

c

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

8.（2分）如图，线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB

运动至点&以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆.设点P的运动时间为f,点P,

B之间的距离为y,OA的面积为S.则y与r,S与r满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系、一次函数关系

B.一次函数关系，正比例函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系

D.正比例函数关系，二次函数关系

【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型.

【解答】解：y=5-/,属于一次函数关系，

S=TTP,属于二次函数关系，

故选：C.

【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

二、填空题（每题2分，共16分）

9.（2分）抛物线y=-3（x-1）2+2的顶点坐标是（1,2）.

【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标.

【解答】解：••》=-3（x-1）2+2是抛物线的顶点式，

二顶点坐标为（1,2）.

故答案为（1,2）.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y

—a（x-/?）2+左中，对称轴为x=/2,顶点坐标为（h,k）.

10.（2分）若关于x的一元二次方程7+右+,“=0的一根为-1,则一的值是1.

【分析】先把x=-l代入方程，可得关于，"的一元一次方程，解即可.

【解答】解：把X=-1代入方程，得

（-1）2+2X（-1）+777=0,

解得m—\.

故答案是：1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大.

11.（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,2）的抛物线的表达式：y=/+2.

【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式。是正数，c=2即可.

【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0,2）的抛物线的表达式为y=/+2,

故答案为：y=?+2（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.

12.（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除

颜色不同外其余均相同的黑、白两种球.将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球

记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的

频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概

率为0.2.

“摸出黑球的频率

1.0-

（）.8-

0.6-

0.4-

0.2-***...................

______IIIIIIIIII

O5010015020025030()35040()450500摸球柏的总次数

【分析】根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率.

【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在

0.2左右，

所以，“摸出黑球”的概率为0.2,

故答案为：0.2.

【点评】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时

不能估计概率.

13.（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走

长征路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参

观人数增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为10（l+x）2

=12.1.

【分析】利用5月份的参观人数=3月份的参观人数X（1+月平均增长率）2,即可得出

关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：10（1+x）2=12.1.

故答案为：10（1+x）2=12.1.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

14.（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AQE,若ND4E=110°,NB=40°,

则/C的度数为30°.

【分析】由旋转的性质可得ND4E=N8AC,由三角形的内角和定理即可求解.

【解答】解：将aABC绕点4顺时针旋转得到△AOE,

：.ZDAE^110°,

VZB=40°,

AZC=180°-ZB-ZBAC=180°-40°-110°=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问

题是本题的关键.

15.（2分）斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（hudn）

其外，旁有庞（tiao）焉意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个

同心圆.”如图所示.问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庞

旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形

的边长为尺.

【分析】根据正方形性质确定△CQE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正

方形外接圆的直径CE,求出8,问题得解.

【解答】解：如图，

•.•四边形CDEF为正方形,

；./。=90°,CD=DE,

为直径，NECD=45°,

由题意得AB=2.5,

：.CE=2.5-0.25X2=2,

：.CD=近CE=M.

2

故答案为：

【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正

方形对角线为其外接圆直径.

16.（2分）如图，在边长为2的正方形ABC。中，E,尸分别是边。C,CB上的动点，且始

终满足OE=CF,AE,OF交于点P,则NAPD的度数为90°；连接CP,线段CP

的最小值为_-1

【分析】根据“边角边”证明aAOE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/

DAE=/CDF,然后求出/APO=90°,取40的中点O,连接0P,根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半可得点P到AQ的中点的距离不变，再根据两点之间线段最

短可得C、P、。三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO,再求

解即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

：.AD=CD,ZADE=ZDCF=90°,

在△AOE和△OCF中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD>

DE=CF

A^ADE^/\DCF(SAS),

：.ZDAE=ZCDF,

,/ZCDF+ZADF^/AZ)C=90°,

/.ZADF+ZDAE=90°,

，NAP£>=90°,

取4D的中点。，连接OP,则OP=」/Z)=』X2=1(不变)，

22

根据两点之间线段最短得C、P、。三点共线时线段CP的值最小，

在RtZkCO。中，根据勾股定理得，CO=7CD2OD2=V22+12=A/5,

所以，CP=CO--1.

故答案为：90°,V5-1.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的

关键.

三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）

17.（5分）解方程：？-2x-8=0.

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解：（x-4）（x+2）=0,

x-4=0或x+2=0,

所以X1=4,X2—-2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

18.（5分）如图，AB为。。的弦，OCLAB于点M,交。O于点C.若。。的半径为10,

OM-.MC=3：2,求AB的长.

【分析】先求出OM的值，再根据垂径定理求出何，再根据勾股定理求出AM即

可.

【解答】解：设OM=3x,MC=2x,

的半径为10,

/.3x+2x=10,

解得：x=2,

即OM=6,

连接。4,

VOC±AB,0c过圆心0,

：.AM=BM,NAMO=90°,

由勾股定理得：BM=AM=7QA2-0M2=V102-62=8,

."8=8+8=16.

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

19.（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：Q0（如图1）.

求作：。。的内接等腰直角三角形A8C.

作法：如图2.

①作直径AB-,

②分别以点A,8为圆心，大于LB的长为半径作弧，两弧交于点M；

2

③作直线M0交。。于C,0两点；

④连接AC,BC.

所以aABC就是所求作的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接M4,MB.

'：MA=MB,0A=。8,

.•.历。是4B的垂直平分线.

又；直线交。。于点C,

：.AC=BC.

是直径,

，NACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（填写推理依据）.

.'.△ABC是等腰直角三角形.

【分析】（1）根据题干要求的步骤依次求解即可;

（2）根据圆周角定理求解即可.

【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：连接MA,MB.

'：MA=MB,OA=OB,

是A8的垂直平分线.

又直线MO交于点C,

：.AC^BC.

\'AB是直径，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

...△ABC是等腰直角三角形.

故答案为：BC、90°,直径所对的圆周角是直角.

【点评】本题主要考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图

和圆周角定理.

20.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=—+〃+,的部分图象经过点A（0,

-3）,B（1,0）.

（1）求该抛物线的解析式;

(2)结合函数图象，直接写出yVO时，x的取值范围.

【分析】(1)通过待定系数法求解.

(2)求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解.

【解答】解：(1)将A(0,-3),B(1,0)代入y=o?+2x+c得卜"c,

I0=a+2+c

解得卜=1,

1c=-3

.'.y—x2+lx-3.

(2)令/+2x-3=0,

解得x=-3或x=1,

，抛物线经过(-3,0),(1,0),

：抛物线开口向上，

；.yV0时，-3Vx<l.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二

次函数与方程及不等式的关系.

21.(5分)如图.在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(5,

0),B(4,-3).将△04B绕点。顺时针旋转90°得到△OA5,点A旋转后的对应点

为A'.

(1)画出旋转后的图形△O4B，，并写出点4'的坐标；

(2)求点B经过的路径的长(结果保留7T).

iy

（2）根据弧长公式求解即可.

【解答】解：（1）如图所示，△OA'B'即为所求.

（2）由图知，ZAOA'=90°,OB=^32+42=5,

...点8在旋转过程中所走过的路径长B8'=9°兀*5=且匚

1802

【点评】本题主要考查作图一旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧

长公式.

22.（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程.某

学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A,B,C,。四名志愿者中通过抽签

的方式确定两人.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片

的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名

字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中”是随机事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；

（2）用画树状图或列表的方法求出A,8两名志愿者同时被选中的概率.

【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2

种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，

故答案为：随机；

（2）画树状图如下:

开始

ZANZBN/CNZDN

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种，

B两名志愿者同时被选中的概率为2=工.

126

【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念.树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回

试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.（6分）已知关于x的一元二次方程）-（k+4）x+4k=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2,求女的取值范围.

【分析】（1）根据根的判别式：△=[-（Z+4）产-i6Z=F-8k+16=（Z-4）220,即

可得到结论；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出xi=4、X2=k,根据方程有一根小于2,

即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.

【解答】（1）证明：-（A+4）164=必-8%+16=（h4）2》0,

无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）解：Vx2-（什4）x+4A=0,

:.（x-4）（x-k）=0,

•・xi=4,x2=k.

•・•方程有一根小于2,

：.k<2,

的取值范围为A<2.

【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，

解题的关键是：(1)牢记“当△》()时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法解一

元二次方程结合方程一根小于2,找出关于k的一元一次不等式.

24.(6分)为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长为25根)的空地上修建

一个矩形小花园A8CD小花园一边靠墙，另三边用总长40皿的栅栏围住，如图所示.设

矩形小花园A8边的长为m2，面积为

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

///////////、/

AD

BC.

【分析】(1)根据矩形的面积公式写出函数解析即可；

(2)根据函数的性质求最值即可.

【解答】解：(1)由题意得：y=x(40-2x)=-2X2+40X,

：0V40-2xW25,

.,.生Wx〈20,

2

与x之间的函数关系式为y=-2?+40x(」立《20)；

2

(2)由(1)知，y=-2/+40x=-2(x-10)2+200,

；-2<0,生《20,

2

...当x=10时，y有最大值，最大值为200,

答：当x=10时,小花园的面积最大,最大面积是200"/.

【点评】本题考查的是二次函数的实际应用.关键是根据函数的性质求最值.

25.(6分)如图，AC是。。的弦，过点。作OPLOC交AC于点P,在。尸的延长线上取

点8,使得=

(1)求证：AB是的切线；

(2)若。。的半径为4,PC=2通,求线段A8的长.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到NC=NOAC,ZBPA=ZBAP,求得NCPO=

NBAP,推出N8AO=90°,根据切线判定定理得到A3是。。的切线；

（2）根据勾股定理得到0「=加©2—℃2=寸（2＞海）2.42=2,设3A=4P=x,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：VOA=OC,

AZC=ZOAC,

•:PB=BA,

:.NBg=NBAP,

9：ZCPO=ZBPAr

：.ZCPO=ZBAPt

「OP.LOC,

：.ZCOP=90°,

・・・NC+NCPO=90°,

・・.NC4O+NA4P=90°,

即NBAO=90°,

・・・0A是OO的半径，

・・・AB是。。的切线；

(2)解：'：ZCOP=90Q,OC=4,PC=2娓,

•■•OP=VPC2-OC2=V(2V5)2-42=2>

设BA=BP=x,

VZBAO=90°,

：.AB2+AO1=OB2,

AX2+42=(2+X)2,

.”=3,

，线段AB的长为3.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线

的判定定理是解题的关键.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1,山）和（2,〃）在抛物线y=-f+fcc上.

（1）若%=0,求该抛物线的对称轴；

（2）若团〃＜0,设抛物线的对称轴为直线x=f.

①直接写出f的取值范围；

②已知点（-1,yi）,（3,＞2）,（3,y?）在该抛物线上，比较yi,”，”的大小，并说

2

明理由.

【分析】（1）把点（1,0）代入y=-f+bx求得b的值，即可根据对称轴公式求得答案；

（2）①分类讨论b的正负情况，根据mn＜Q可得对称轴在与直线x=\之间；②

2

根据各点到对称轴的距离判断），值大小.

【解答】解：（1）若m=0,则点（1,0）在抛物线y=-7+fev上，

/.0=-\+b,解得6=1,

抛物线的对称轴为直线》=-————=-2=工；

2X（-1）-22

（2）①，.,=-^+bx,

抛物线开口向下且经过原点，

当人=0时丁抛物线顶点为原点，龙＞0时y随x增大而减小，0＞加＞〃不满足题意，

当6V0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＞"＞机不满足题意，

当力＞0时，抛物线对称轴在y轴右侧，1=1时机＞0,1=2时〃V0,

即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0,0）,另外一个在1和2之间，

抛物线对称轴在直线•与直线X=1之间，

2

即UfV1；

2

②；点（-1,yi）与对称轴距离（-1）<2,

2

点（旦，丝）与对称轴距离g-yi,

2-22

点（3,”）与对称轴距离2<3-<立

2

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌

握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解.

27.（7分）如图，在等边三角形ABC中，点尸为AABC内一点，连接AP,BP,CP,将线

段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP',连接尸P,BP,.

（1）用等式表示8P与CP的数量关系，并证明：

（2）当NCPC=120°时，

①直接写出/PBP的度数为60°；

②若M为BC的中点，连接PM,用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.

【分析】（1）利用SAS证明△ABPNaACP,即可得出答案；

（2）①由三角形内角和定理知N8+N6=180°-/BPC=60°,再利用角度之间的转化

对NPBP进行转化，ZP'BP=Z4+Z7=Z5+600-Z8=60°-Z6+60°-Z8,从而

解决问题；

②延长PM到N,使PM=MN,连接BN,CN,得出四边形P8NC为平行四边形，贝lj8N

〃CP且BN=CP,再利用SAS证明△P8P畛△N8P,得PP=PN=2PM.

【解答】解：（1）BP,=CP,

证明：:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,/BAC=60°,

.*.Z2+Z3=60o

:将线段AP绕点A顺时针旋转60°得至！|AP',

：.AP=AP',4p=60°,

，N1+N2=6O°,

AZ1=Z3,

A(SAS),

：.BP'=CP；

(2)①当N5PC=120°时，

贝|JN8+N6=18O0-ZBPC=60°,

△ABPNaACP,

N4=N5,

・・・NP3P=N4+N7

=Z5+600-Z8

=60°-N6+600-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°,

故答案为：60°；

②AP=2PM,理由如下：

延长PM到N,使PM=MN,连接BN,CN,

・「M为5。的中点，

:・BM=CM,

・・・四边形P8NC为平行四边形,

:・BN〃CP旦BN=CP,

：・BN=BP,Z9=Z6,

XVZ8+Z6=60°,

・・・N8+N9=60°,

：.ZPBN=600-ZP'BP,

又,：BP=BP,PB=BN,

:./XP'BPW/XNBP(SAS),

:.PP'=PN=2PM,

又•••△APP为正三角形，

：.PP'=AP,

：.AP=2PM.

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四

边形是解题的关键.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中.。。的半径为1,对于直线/和线段给出如下

定义:若将线段AB关于直线/对称，可以得到。。的弦A'B1(A',B1分别为A,B

的对应点)，则称线段AB是。0的关于直线/对称的“关联线段”.例如：在图1中，线

段AB是。。的关于直线/对称的“关联线段”.

(1)如图2,点4,Bi,A2,B2,A3,&的横、纵坐标都是整数.

①在线段AiBi,A282,MB3中，。。的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是A\B\；

②若线段AiBi,A2B2,A3B3中，存在。。的关于直线丫=-x+〃?对称的“关联线段”，则

"?=2或3；

(2)已知直线y=-®">0)交x轴于点C,在△ABC中，AC=3,AB=\.若

3_

线段A8是。。的关于直线丫=-率+6对称的“关联线段”，直接写出匕的最

大值和最小值，以及相应的BC

长

图1图2

【分析】（1）①分别画出线段AiBi,A2B2,43B3关于直线y=x+2对称线段，如图，即

可求解；

②从图象性质可知，直线y--x+m与x轴的夹角为45°,而线段AiBi_1_直线y—-x+m,

线段A1B1关于直线了=-x+m