5.1.1 矩形的性质 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

第5章特殊平行四边形单元大概念素养目标单元大概念素养目标对应新课标内容理解矩形、菱形的概念,能运用矩形、菱形的性质定理解决相关问题探索并证明矩形、菱形的性质定理【P66】能运用矩形、菱形的判定定理解决相关问题探索并证明矩形、菱形的判定定理【P66】理解正方形的概念,知道正方形既是矩形,又是菱形,能用正方形的判定解决相关问题正方形既是矩形,又是菱形【P66】理解正方形具有矩形和菱形的一切性质理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】5.1矩形第1课时矩形的性质基础过关全练知识点1矩形的定义1.【新独家原创】在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AO=OC,BO=DO,∠ABC=65°,要使四边形ABCD是矩形,AB至少要绕点A逆时针旋转()A.15°B.20°C.25°D.35°知识点2矩形的性质2.【一题多变·利用矩形的性质求边长】如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=6,则AB的长为()A.4B.43C.3D.5[变式1·利用矩形的性质求度数]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,则∠OCB的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°[变式2·矩形的性质与勾股定理相结合]如图,已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=4cm,求BC的长.3.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AC=13,则四边形ABOM的周长为.

4.如图,矩形ABCD中,对角线交于点O.若点E为BC上一点,连结EO并延长,交AD于点F,则图中全等三角形共有对.

能力提升全练5.(2023浙江杭州外国语学校期中,8,★★☆)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB=6,BC=8,则AE的长为()A.253B.6C.2546.【一题多变·矩形中心在原点,求点的坐标】如图,矩形ABCD的对角线交于点O,以点O为原点建立平面直角坐标系,AC所在直线为y轴,AB=2,∠ABD=60°,则点C的坐标为.

[变式·矩形中心不在原点,求点的坐标]如图,矩形ABCD在平面直角坐标系上,点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上,AE=EF,DF∥x轴,则点D的坐标为.

7.(2023贵州中考,16,★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点,且AB=1,AD=3,∠BAE=75°,∠BCE=60°,则四边形ABCE的面积是.

8.【一题多解】如图,已知矩形ABCD中,F是BC上一点,且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,连结DF.(1)求证:△ABF≌△DEA;(2)求证:DF平分∠EDC.素养探究全练9.【推理能力】如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连结PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是.

第5章特殊平行四边形5.1矩形第1课时矩形的性质答案全解全析基础过关全练1.C∵在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ABC=180°,要使平行四边形ABCD是矩形,只需∠BAD=90°,∵∠BAD=180°-65°=115°,∴AB至少要绕点A逆时针旋转115°-90°=25°.2.C∵四边形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=1∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB=3.[变式1]A∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°,∴∠OCB=30°.[变式2]解析∵四边形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD,AC=BD.∴OA=OB=∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=4cm,∴AC=2OA=2×4=8(cm).在Rt△ABC中,根据勾股定理得,BC=AC2-AB23.答案20解析∵在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,CD=AB=5,∴AD=AC2-C∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,∴OM=12CD=12AB=2.5,AM=∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,∴BO=12AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为4.答案10解析∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°,AD∥BC,∴OA=OB=OC=OD,在△ABC和△DCB中,AB=DC,∴△ABC≌△DCB(SAS),同理:△ABC≌△CDA(SAS),△ABC≌△BAD(SAS),∴△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD,两两全等,共有6对;在△DOC和△AOB中,OD=OA,∴△DOC≌△AOB(SAS),同理:△DOA≌△COB(SAS),共2对;∵AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,在△AOF和△COE中,∠OAF=∠OCE,∴△AOF≌△COE(ASA),同理:△DOF≌△BOE(ASA),共2对.综上所述,题图中全等三角形共有10对,故答案为10.能力提升全练5.C如图,连结CE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°,∵O为矩形ABCD对角线的交点,∴O为AC的中点,又∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,∴AE=CE,设AE=x,则CE=x,DE=8-x,在Rt△DEC中,∵CE2=DE2+CD2,∴x2=(8-x)2+62,解得x=254,即AE=254,6.答案(0,-2)解析∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠ABD=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=OC=2,∴点C的坐标为(0,-2).[变式]答案(4,1)解析如图,过点D作DH⊥x轴于点H,设AD交x轴于点G,∵DF∥x轴,∴∠HOF=∠OFD=∠DHO=90°,∴四边形OFDH是矩形,∴DF=OH,DH=OF,∵E(1,0),F(0,1),∴OE=OF=1,∴∠OEF=45°,AE=EF=2,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵∠AEG=∠OEF=45°,∴AG=AE=2,∴EG=2,∵DH=OF=1,∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,∴GH=DH=1,∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,∴D(4,1).7.答案3-1解析如图,连结AC,在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=1,AD=BC=3,∴AC=AB2+BC2=2,∴AB=12AC,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∵∠BAE=75°,∴∠CAE=15°,过E作EF⊥AC于H,交BC于F,连结AF,∵∠BCE=60°,∴∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°=∠ACB,∴∠CEF=60°,∴△CEF是等边三角形,∴EH=FH,易知∴△ABF是等腰直角三角形,∴BF=AB=1,∵BC=3,∴CF=EF=3-1,∴EH=12EF=3-12,∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEC=12×3×1+12×2×38.证明(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC.∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠DEA=90°=∠B.∵AF=BC,∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.(2)证法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,DC=AB.∴DC=DE.∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.∵DF=DF,∴Rt△DCF≌Rt△DEF,∴∠CDF=∠EDF.∴DF平分∠EDC.证法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA.∵AF=BC,∴EF=CF.易知DC⊥CF,∵DE⊥AF,∴DF平分∠EDC.素养探究全练9.答案②④解析过点P分别作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高,分别记做h1、h2、h3、h4,如图1,由矩形的性质知AB=CD,AD=BC,所以S1+S2=12AB·h1+12BC·h2,S3+S4=12CD·h3+12AD·h4,S1+S3=12AB·h1+12CD·h3=12AB(h1+h3)=1S2+S4=12BC·h2+12AD·h4=12BC(h2+h4)=12BC·AB,因为AB=DC,所以当S3=2S1时,h3=2h1,因为点P到直线AD的距离与点P到直线BC的距离不确定,即h4与h2的长度不确定,所以S4与S2的关系不确定,故③不一定成立;连结BD,过点A作AM⊥BD于M,