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文档简介
二、特征值与特征向量例子:设则
.(3)定义3设为阶方阵,如果存在数和维非零向量满足则称为方阵的特征值,称为特征值对应的特征向量.即
它是个方程个未知量的齐次线性方程组,有非零解的充要条件是其系数行列式上式左边是的次多项式,称为的特征多项式,记为.方程称为的特征方程.由此可见,特征值即为特征方程的根.
而在复数范围内,特征方程必有个根(重根按重数计算),故阶方阵有个特征值.求特征值对应的特征向量解矩阵的特征多项式为例2求矩阵的特征值和特征向量.故
的特征值为当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值对应的全部特征向量为.当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值对应的全部特征向量为.当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值对应的全部特征向量为.故的特征值为.的特征多项式为解
矩阵例3求矩阵的特征值和特征向量.当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值
对应的全部特征向量为
,(
不同时为零).当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值
对应的全部特征向量为.故的特征值为.例4求矩阵的特征值和特征向量.的特征多项式为
解矩阵当时,求解方程组.由得基础解系,故特征值
对应的全部特征向量为.当
时,求解方程组.由得基础解系,故特征值
对应的全部特征向量为.例2:
例3:
例4:
矩阵的特征值和特征向量有以下的性质:(重根按重数计算),则有
同的特征值;阶矩阵
的全部特征值为
(2)设与它的转置矩阵
阶矩阵
有相性质3
(1)的特征值,
(3)若为方阵
为相应的特征向(ⅱ)为方阵
的特征值,相应的特征向为方阵
的特征值,相应的特征向量为
;
(ⅰ)量,则,其中
量为举例:若是的特征值,则:(1)是的特征值;(2)若,则是的特征值;若是的特征值,则是的特征值;(4)若方阵可逆,则
的全部特征值都不为零;
可逆,则
为
的特征值,(5)若方阵相应的特征向量为.举例:若是的特征值,则:(5)是的特征值;例5已知阶方阵的特征值为,
求.
解由可知从而可逆且.
又,故令,若为方阵的特征的特征值为,则的特征值为于是为的特征值.又值,则从例3中可看出,与,与是线性无关的,是与之对应的特征向量.若互不相同,则线性无关.这绝不是偶然的.一般地,有的是方阵个特征值,定理1设简言之,方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关.因而,例3只有两个线性无关特征向量,例2却有三个线性无关特征向量.定理2若阶方阵和相似,则和和有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.由定理2可得以下推论:相似,则是的个特征值(重根按阶方阵与对角矩阵推论如果重数计).例5设矩阵与相似,其中求和的值.解由于的特征值为,
故的特征值也是.又的特征方程为将代入上式可得,
即的特征方程为从而的特征值为,比较特征值得
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