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二、特征值与特征向量例子：设则

.（3）定义3设为阶方阵,如果存在数和维非零向量满足则称为方阵的特征值,称为特征值对应的特征向量.即

它是个方程个未知量的齐次线性方程组，有非零解的充要条件是其系数行列式上式左边是的次多项式,称为的特征多项式,记为.方程称为的特征方程.由此可见，特征值即为特征方程的根.

而在复数范围内，特征方程必有个根(重根按重数计算)，故阶方阵有个特征值.求特征值对应的特征向量解矩阵的特征多项式为例2求矩阵的特征值和特征向量.故

的特征值为当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值对应的全部特征向量为.当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值对应的全部特征向量为.当时，求解方程组.由得基础解系,故特征值对应的全部特征向量为.故的特征值为.的特征多项式为解

矩阵例3求矩阵的特征值和特征向量.当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为

，（

不同时为零).当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.故的特征值为.例4求矩阵的特征值和特征向量.的特征多项式为

解矩阵当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.当

时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.例2：

例3：

例4：

矩阵的特征值和特征向量有以下的性质：（重根按重数计算），则有

同的特征值；阶矩阵

的全部特征值为

(2)设与它的转置矩阵

阶矩阵

有相性质3

(1)的特征值，

(3)若为方阵

为相应的特征向（ⅱ）为方阵

的特征值，相应的特征向为方阵

的特征值，相应的特征向量为

；

（ⅰ）量，则，其中

量为举例：若是的特征值，则：（1）是的特征值；（2）若，则是的特征值；若是的特征值，则是的特征值；(4)若方阵可逆，则

的全部特征值都不为零；

可逆，则

为

的特征值，(5)若方阵相应的特征向量为.举例：若是的特征值，则：（5）是的特征值；例5已知阶方阵的特征值为,

求.

解由可知从而可逆且.

又，故令，若为方阵的特征的特征值为，则的特征值为于是为的特征值.又值，则从例3中可看出,与，与是线性无关的,是与之对应的特征向量.若互不相同,则线性无关.这绝不是偶然的.一般地,有的是方阵个特征值,定理1设简言之,方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关.因而,例3只有两个线性无关特征向量,例2却有三个线性无关特征向量.定理2若阶方阵和相似，则和和有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.由定理2可得以下推论：相似，则是的个特征值（重根按阶方阵与对角矩阵推论如果重数计）.例5设矩阵与相似，其中求和的值.解由于的特征值为,

故的特征值也是.又的特征方程为将代入上式可得,

即的特征方程为从而的特征值为，比较特征值得

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