第三节分部积分法

第三节分部积分法要求：把握不定积分的分部积分法，明确用不定积分分部积分法解题的类型。重点：用分部积分法计算的题型并会计算。难点：换元积分法与分部积分法结合应用。作业4－3〔P

〕1,4,6,12,13,14,19,21258问题提出：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；和差求导公式逐项积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分〔不同类型函数乘积的积分〕例如计算不定积分xcosxdx．xcosx为某两函数乘积导数的一局部，即d(xsinx)xcosxdxsinxdx，上式两端积分 d(xsinx)xcosxdxsinxdx，得 CxsinxxcosxdxcosxC，1 2于是 xcosxdxxsinxcosxC.一般地，假设函数uu(x)vv(x)具有连续导数，那么两个函数乘积导数公式为[uv]uvvu移项，得 uv[uv]uv两边积分，得或上式称为分部积分公式．

uvdxuvvudxudvuvvdu 〔dvvdx，duudx．一、直接应用分部积分公式udv[uv]vdu．1．计算不定积分

xexdx．解设ux ，dvexdx，则dudx，vex〔，于是 xexdxxdex留意

xex

exdx

xex

ex

C．〔1〔〕处没有加C，这是由于加了C后，在后面计算中会抵消；假设设uexdvxdx，则xexdx

1x2ex1

1x2exdx，2 2积分x2exdx比积分xexdx要简洁，没有到达预期目的．由此可见，选择u与dv格外关键，一般要考虑以下两点：v要易求；积分vdu要比积分udv易计算．2．计算不定积分x2exdx．解设ux2 ，dvexdx，则du2xdx，vex，于是 x2exdxx2dex

x2ex

2xexdxx2ex2[xexexdx]x2ex

2xex2ex

C．留意假设要两次分部积分，选取udv要全都，否则会复原．3．计算不定积分x2cosxdx．解设ux2dvcosxdx；则du2xdxvsinx，所以x2cosxdx x2sinx2xsinxdx．又设uxdvsinxdx；则dudxvcosx，于是x2codxx2sinx2xsinxdxx2sinx2(xcosxcosxdx)x2sinx2xcosx2sinxC(x22)sinx2xcosxC．4．计算不定积分arcsinxdx．解设uarcsinxdvdx；则du

dx1x2,1x2于是arcsidxarcs

xdx

xarcs111x2

1x21x1x21x25．计算不定积分xarctanxdx．

C．解设uarctanxdvxdx；则du

dx 1,v x2,1x2 21 1 x2 1

1 x211x2arctanx 2 2 1x2

dx x2arctanx dx2 2 x211 1 1 1 1 x2arctanx 2 2

)dx x2arctanx (xarctanx)C2 21 1 (x21)arctanx xC．2 2例6．计算不定积分(4x33x27lnxdx．dx解设ulnxdv(4x3

3x2

7)dx；则du

,vx4x37x,x于是(4x3

3x2

7)lnxdx(x4x37x)lnx(x31

x27)dx1(x4x37x)lnx

x4 x37xC．4 3从这几个典型例题可以看到，被积函数具有以下形式时可用分部积分法解决．p(xxa及b为常数，则〔1〕假设〔2〕

p(x)eaxdx时，设up(xdveaxdx；p(x)sixxp(x)cosaxdxup(x)，dvsinaxdx〔dvcosaxd；假设

p(x)ln(axb)dx时，设uln(axbdvp(x)dx；假设

p(x)arcsinaxdx或

p(x)arctanaxdx时，设uarcsinaxdvp(x)dx．说明u及dv更加便于积分．一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．二、不同类型函数乘积7．计算不定积分

xex(1x)2

dx．解设uxexdv

；则du(1x)ex,v ,dx 1(1x)2 1xdx 1于是

xex 1 xex ex(1x) xex dx xexd( ) dx ex (1x)2 1x 1x 1x 1xxex

exdx

xex

exC．1x 1x8．计算不定积分xarctanxdx．1x211x21x2解设uarctan1x2

xdx

；则du

dx1x2

,v ，1x2于是x1x21x2

arct dx1x21x2 arctanxln(x 1x1x21x29．计算不定积分x2f(x)dx．解设ux2dvf(x)dx；则du2xdxvf(x),所以 x2f(x)dxx2f(x)2xf(x)dx．又设ux,dvf(x)dx；则dudxvf(x，于是x2f(x)dxx2f(x)2xf(x)dxx2f(x)2(xf(x)f(x)dx)x2f(x)2xf(x)2f(x)C．10．计算不定积分(lnx)2dx．x2设u(lnx)2dv

dx dx 1 ；则du 2lnx ,v x2 x x所以 (lnx)2dx

(lnx)2

2

lnxdx．1x2 x x21又设ulnxdvdx；则du1dxv1，x2 x x(lnx)2 1 lnx于是 dx (lnx)22 dxx2 x x21 1 (lnx)22[ lnx1 1 x x x21 2 2

dx]x(lnx)2xlnxxC．三、循环积分11．计算不定积分I

exsinxdx．解设uexdvsinxdx；则duexdxvcosx，所以Iexcosxexcosdx．又对于积分excosxdx，再设uexdvcosxdx；则duexdxvsinx，于是Iexcosxexcosdxexcosxexsinxexsinxdx，从而IexcoexsinxI，1故 I

ex(sinxcosx)C．212．计算不定积分I

sec3xdx．解由于Isecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2

xdxsecxtanxsecx(sec2

secxtanxsec3xdxsecxdx，所以 I1setanx1sedx2 21secxtanx1ln|secxtanx|C．2 2四、混合运算13．计算不定积分e

xdx．解

tettdt2tet

2td

2(tet

etdt)2tet2et

c2

C．xx14．计算不定积分sinlnxdx．xx解sinlnxdx

lxt

etsintdt

et(sintcost)C1x(sinlnxcoslnx)C．2五、递推公式15．求不定积分In

dx (x2a2)n

解当n1时，用分部积分法设u 1

dvdx；则

du

2nx

dx,vx，于是 I

(x2

a2)nx

2n x2

(x2dx

a2)n1x

2n

x2a2a2dxn (x2

a2)n

(x2

a2)n1

(x2

a2)n

(x2

a2)n1x dx dx(x2

a2)n

2n

(x2

a2)n

2na2

(x2

a2)n1(x2

xn

2nI 2na2In

，n1从而有递推公式I