西安交通大学城市学院-电路分析-第4章

第四章正弦稳态分析4.2正弦量目录本章重点4.3相量法的基础4.4阻抗和导纳4.5正弦稳态电路的功率4.1复数

重点：2.正弦量的相量表示3.电路定理的相量形式1.正弦量的表示、相位差4.正弦稳态电路的分析6.正弦稳态电路的功率计算下页上页返回正弦交流电路正弦输入的线性稳定电路，其（稳态）输出一定为正弦量，工程上称这种电路为交流电路。正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义正弦信号容易产生、传送和使用。下页上页优点返回引言正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。结论3.电路的性能可用频率响应反映。返回1.复数的表示形式FbReImaO

|F|代数式指数式极坐标式三角函数式4.1

复数下页上页返回几种表示法的关系：或下页上页FbReImaO

|F|返回例4.1则

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法下页上页F1F2ReImOF1+F2-F2F1ReImOF1-F2F1+F2F2返回2.复数运算加减运算——采用代数式乘除运算——采用极坐标式若

F1=|F1|

1，F2=|F2|

2则下页上页模相乘角相加模相除角相减返回共轭复数下页上页返回例4.2

解下页上页例4.3解返回

+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。3.特殊旋转因子ReImO下页上页注意返回4.2

正弦量1.

正弦量的产生动生电动势下页上页返回下页上页返回瞬时值表达式i(t)=Imcos(w

t+y)tiOT周期T

和频率f频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位:Hz(赫兹)单位：s(秒)正弦量为周期函数

f(t)=f(

t+kT

)下页上页波形返回2.正弦量的三要素

i(t)=Imcos(w

t+

)幅值

(振幅、最大值)Im反映正弦量变化幅度的大小。下页上页返回角频率ω初相位

单位：

rad/s

，弧度/秒相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。下页上页返回波形下页上页返回下页上页返回下页上页返回同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。注意下页上页返回例4.4已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，1.写出i(t)表达式；2.求最大值发生的时间t1。tiO10050t1解由于最大值发生在计时起点右侧下页上页返回3.同频率正弦量的相位差设

u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)相位差：j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i下页上页等于初相位之差返回规定：|

|<(180°)j>0，u超前ij角，或i

滞后

u

角

(u

比i先到达最大值)。

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角（

i比

u

先到达最大值）。下页上页返回

tu,iu

i

u

ijO同相反相正交电压超前电流特殊相位关系下页上页返回4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R直流IR交流i物理意义下页上页返回下页上页均方根值定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+

)返回下页上页返回所以同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系若交流电压有效值为U=220V

，U=380V

其最大值为Um

311VUm

537V下页上页注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。下页上页返回5.正弦稳态的概念RLiu+-下页上页返回稳态分量瞬态分量下页上页返回下页上页返回4.3

相量法的基础正弦输入电路的稳态解为正弦函数，频率与输入的相同，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量复数变换的思想造一个复函数无物理意义下页上页返回1.正弦量的相量表示对F(t)取实部任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。是一个正弦量有物理意义下页上页结论返回F(t)还可以写成复常数正弦量对应的相量下页上页相量的模表示正弦量的有效值。相量的幅角表示正弦量的初相位。注意返回任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量。结论同样可以建立正弦电压与相量的对应关系已知例4.5试用相量表示i,u。解下页上页例4.6试写出电流的瞬时值表达式。解返回例4.7

u(t)

是时间

t的函数,而相量不是。

u(t)

是电压的时域表示,而相量是频域表示。特别注意！注意下页上页返回在复平面上用失量表示相量的图。相量图下页上页返回

q+1+jO若则旋转相量与正弦量下页上页返回2.相量法的应用同频率正弦量的加减相量关系为：下页上页结论同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。返回i1

i2=i3下页上页例4.8返回借助相量图计算+1+j首尾相接下页上页+1+j返回OO正弦量的微分、积分运算微分运算积分运算下页上页返回下页上页返回查尔斯steinmetz：美籍德国人，电气工程师，电气工程领域的先驱，发明商用的交流电机。

他自认为最重要的三项成果是：(1)从事电磁领域的研究工作；(2)建立一个实用简便的使用复数计算交流电数值的方法、(3)弧光现象的研究。

steinmetz发明了三相电路。他的工作使电力工业在美国大力发展。

查尔斯steinmetz被认为是美国电气工程领域的先驱。CharlesSteinmetz(1865-1923)

正弦稳态解例4.9RLiu+-下页上页返回把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下页上页相量法的优点返回3.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：KCLKVL特别注意！下页上页返回时域相量域4.电阻元件VCR的相量形式uR(t)i(t)R+-R+-有效值关系相位关系UR=RI

u=

i时域模型相量模型下页上页返回波形图及相量图下页上页返回5.电感元件VCR的相量形式时域相量域有效值关系：U=wLI相位关系：

u=

i+90°

下页上页返回时域模型相量模型下页上页返回波形图及相量图感抗的性质表示限制高频电流的能力；感抗和频率成正比。wXLXL=L=2fL，称为感抗，单位为

(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，

称为感纳，单位为S

感抗和感纳下页上页返回相量关系式6.电容元件VCR的相量形式时域相量域时域模型相量模型有效值关系相位关系下页上页返回下页上页返回波形图及相量图XC=-1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC

=wC，

称为容纳，单位为

S

容抗和频率成反比

0，|XC|

直流开路(隔直)w

，|XC|0

高频短路w|XC|容抗与容纳下页上页返回相量表达式例试判断下列表达式的正、误。下页上页返回下页上页返回例已知电流表读数：A1＝8A下页上页＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?解返回＝I0max=?A0A0＝I0min=?下页上页＝?A2A0＝A1解返回A1A0Z1Z2A2下页上页解返回A0＝0满足什么关系A1A0Z1Z2A2下页上页解返回若电源的电压不变，频率增大一倍，讨论电流表读数的变化。不变减小一倍增大一倍A1A0Z1Z2A2例4.10解相量模型下页上页+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下页上页返回j20W-j10W+_15W例4.11解下页上页+_5WuS0.2

Fi相量模型+_5W-j5W返回4.4

阻抗和导纳1.阻抗的定义正弦稳态情况下Z+-无源线性网络+-阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下页上页返回注意阻抗为复数，但阻抗不对应正弦函数。当无源网络内为单个元件时有Z可以是实数，也可以是虚数。C+-下页上页R+-表明返回L+-2.

RLC串联电路KVL：下页上页LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回Z+-阻抗无源线性网络+-Z

—复阻抗；|Z|

—复阻抗的模；

Z

—阻抗角；R

—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ下页上页返回若X>0,Z

是感性的，电流滞后电压。

若X<0,Z

是容性的，电流超前电压。

无源线性网络+-阻抗下页上页返回2.感性和容性例4.12计算图示电路的电流和电感电压。已知：3

1HiuS+-+-uL解13

j4

+-+-下页上页返回3

j4

+-+-解2下页上页返回例4.13

已知：求

i,uR,uL,uC。解画出相量模型下页上页返回12mH5F15

uSuLuCi+-+-+-+-uR15

+-+-+-+-j60-j4015

+-+-+-+-j60-j40UL=240>US=100，UC=160>US=100，分电压大于总电压。注意下页上页返回1）参考相量串联电路取电流为参考相量并联电路取电压为参考相量2）相量图由一些多边形组成每个多边形反映KCL或KVLR+-+-+-+-j

L下页上页返回3.导纳无源线性网络+-正弦稳态情况下导纳模导纳角Y+-下页上页返回对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有Y

可以是实数，也可以是虚数。下页上页表明返回C+-R+-L+-Y—复导纳；|Y|—复导纳的模；

Y

—导纳角；G

—电导(导纳的实部)；B

—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y导纳三角形|Y|GB

Y下页上页返回4.

复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/R，B

1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。下页上页ZRjXGjBY注意返回，求导纳

Y

。例4.14解下页上页返回5.

阻抗（导纳）的串联和并联分压公式阻抗的串联下页上页Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：下页上页Y1+Y2Yn－Y+-返回例求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为：下页上页1mH30

100

0.1FR1R2返回例4.151

+-+-0.2H0.01F5

i，求电流i和电压u2。已知：下页上页返回可看作双结点电路解9.3正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：下页上页返回1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。下页上页结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。返回例1画出电路的相量模型求各支路电流。已知：解下页上页返回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1+_R1R2R3R4列写电路的回路电流方程和结点电压方程例解回路方程下页上页+_LR1R2R3R4C返回结点方程下页上页+_R1R2R3R4返回方法1：电源变换解例下页上页Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴维宁等效变换求开路电压：求等效电阻：下页上页ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例

解下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回用叠加定理计算电流,下页上页Z2Z1Z3+-返回Z2Z1Z3+-例4.15参考相量解下页上页返回求交流电桥的平衡条件。

电桥平衡时例4.15

Z2Z1Z4Z3

|Z1|

1

•|Z4|

4

=|Z2|

2

•|Z3|

3|Z1|

|Z4|

=|Z2|

|Z3|

1

+

4

=

2

+

3

下页上页返回解例4.16

Maxwell电桥。求

Lx

和

Rx

。解下页上页返回求例4.17解15

+--+jLR2下页上页返回15

+--+jLR2下页上页返回4.5

正弦稳态电路的功率1.单口电路吸收的平均功率无源线性网络+-电流可分解为下页上页返回电阻元件的平均功率平均功率下页上页返回电感与电容元件的平均功率下页上页返回平均功率的测量测量平均功率时，通常也要使用电压表和电流表电流线圈的电流不能超过其额定值电压线圈的电压不能超过其额定值高功率因数表指针满偏转时的功率＝电压量程×电流量程结论下页上页返回2.无功功率瞬时功率的分解下页上页返回单位：var（乏）无功功率的绝对值反映了单口电路与电源之间往返瞬时功率的振幅。注意

Q>0，称电路“吸收”无功功率；Q<0，称电路“发出”无功功率。电感吸收无功功率，电容发出无功功率。无功功率也称为电抗功率。下页上页返回3.视在功率jSPQ功率三角形下页上页返回单位：VA例4.20三表法测线圈参数。已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下页上页返回RL+_ZWAV**解法2又下页上页解法3返回思考：若被测对象为电阻与电容的并联，求R

和C

。RC+_WAV**下页上页返回感性负载，，滞后功率因数容性负载，，超前功率因数功率因数是衡量电源利用率的重要指标。功率因数低，则线损大。功率因数取决于负载。4.功率因数的提高注意下页上页返回设备容量

S

(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=Scosjcosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3

满载

cosj

=0.7~0.85日光灯

cosj

=0.45~0.6发电设备的容量不能充分利用。电压、电流到了额定值，但有功功率很小；功率因数低带来的问题：下页上页S75kVA负载返回当发电机的电压和输出的有功功率一定时，线路及发电机绕组的电流和损耗增大。下页上页返回Z1Z2+_+_+_例图示输电线路，已知：线路阻抗Z1=6+j6，负载阻抗Z2的功率P=500kW，U2=5500V，cos=0.91，求线路消耗的功率。下页上页返回解设提高电网的功率因数cos

，发电设备容量得到充分利用，电能得到大量节约。对国民经济的发展有着重要的意义。结论Z1Z2+_+_+_j1j2解决办法：（1）高压传输（2）改进自身设备（3）并联