2023-2024学年深圳市实验高二数学（下）4月考试卷附答案解析

-2024学年深圳市实验高二数学（下）4月考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数，则的虚部为（

）A．4 B．-4 C．4i D．-4i2．下列说法正确的是（

）A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量C．若，则 D．零向量与任意向量平行3．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A．B．C． D．5．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．在中，，，则的形状为（

）A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形8．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若复数为的共轭复数，则以下正确的是（

）A．在复平面对应的点位于第二象限 B．C． D．为纯虚数10．在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（

）A．的面积为2 B．外接圆的半径为C． D．11．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数.13．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为.14．已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知平面向量，，．(1)若，求x的值；(2)若，求的值．16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求角；(2)若为边上一点，且，求.17．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=(1)试用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值．18．某小区拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

(1)请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？(2)设，求的取值范围.19．定义非零向量若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．(1)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；(2)已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；(3)已知向量的“伴生函数”在时的取值为．若在三角形中，，，若点为该三角形的外心，求的最大值.1．B【分析】由复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意复数，则的虚部为-4.故选：B.2．D【分析】根据向量的有关概念确定正确选项.【详解】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.故选：D3．A【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可.【详解】因为是的外接圆圆心，，所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，因为，所以为等边三角形，，所以向量在向量上的投影向量为，故选：A4．A【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.【详解】由题意，所以，从而与向量同方向的单位向量为.故选：A.5．B【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.【详解】因为，且，，三点共线，所以存在实数，使得，即，则，解得.故选：B6．B【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，联立，可解得，因为点在线段上运动，则可设，，又，所以，，因为，所以．故选：B．7．D【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以为等腰非等边三角形.故选：D8．C【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.【详解】因为，得．由余弦定理得，所以，即．由正弦定理得，因为，则，所以，即．因为是锐角三角形，所以，，所以．又在上单调递增，所以，则．因为是锐角三角形，所以，，，所以，由正弦定理得，令，因为，所以．在上单调递增，当时，，当时，，故故选：C．【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.9．BD【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项.【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误；对B，根据复数模的公式，，故B正确；对C，，而，故C错误；对D，，，故D正确.故选：BD.10．ABD【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形面积公式逐项分析计算即可得解.【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理，得，解得，B正确；的面积，A正确；由，得，C错误；由，得，即，由，得，因此，所以，D正确．故选：ABD【点睛】策略点睛：求三角形面积是解三角形的一种常见类型，经常利用正弦定理，进行边角转化求解.11．ACD【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，

所以，则，根据向量数量积的几何意义知：，同理，所以，正确；B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，所以，，由，则，当时的最小值为，错误；

C：由题设，则，所以，若为中点，则，故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；

D：由题设，，则，所以，若为中点，则，故，所以的轨迹经过的外心，正确.

故选：ACD【点睛】关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.12．【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，设，，则，所以，，解得.故答案为：.13．6【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，其中，则，，，当时，有最大值6．故答案为：6.14．【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围.【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().

【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.15．(1)或3(2)1或【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可.（2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可.【详解】（1）若，则．整理得，解得或．故的值为或．（2）若，则有，即，解得或．当时，，，∴，∴．当时，，，∴，∴．综上，的值为1或．16．(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合余弦定理求解，（2）根据正弦定理即可结合和差角公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得，由余弦定理得，又，所以.（2），.在中，，，由正弦定理可得，即，又，得，即，化简得，显然，即.17．(1)(2)【分析】（1）由两个三点共线设出来，列出方程组求解即可；（2）由平面向量的数量积的定义求夹角的余弦值即可.【详解】（1）因P，R，C共线，则存在使，则，整理得.由共线，则存在使，则，整理得.根据平面向量基本定理，有，则.（2）由（1），，，则，，.则；18．(1)当时，(2)【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得关于的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.（2）由平面向量基本定理首先得，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.【详解】（1）

由题意，，，，在中，，由正弦定理得，即，即，则顾客的休息区域面积，即，其中，而，因为，所以，则当，即时，顾客的休息区域面积取得最大值，且最大值为.（2）由（1），，所以，由题意，所以，所以，因为，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：关键是熟练利用三角恒等变换，从而可得三角函数性质，由此即可顺利得解.19．(1)(2)(3)3【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；（2）根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；（3）根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可.【详解】（1）因为向量为函数的“源向量”，所以，则方程上有且仅有四个不相等的实数根，所以在上有且仅有四个不相等的实数根，令，①当时，②当时，，所