2022年山西省中考数学模拟考试题(含答案)

山西省中考数学模拟考试题

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）某地一天的最高气温是12°C,最低气温是-2°C,则该地这天的温差是（）

A.-10°CB.IO°CC.14°CD.-14"C

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

•D.得

选C

3.（3分）下列运算中正确的是（）

A.>/2xV3=V6B.及+6=行C.R+&=2D.-I2=-2

4.（3分）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是（）

△△

主视图左视图

O

俯视图

A.B,4^c.gD.@

5.（3分）一副直角三角板如图放置，点C在阳的延长线上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,则NDBC

的度数为（）

FDC

3x>2x'-]~4的解集在数轴上表示正确的是（

6.（3分）不等式组)

.1<

-2-1012'

c.-2-102D.-2-102

7.（3分）如图，在四边形A8CD中，对角线AC、相交于点O,下列条件不能判定四边形ABC。为

平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

8.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈

绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量

木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设有木条长x尺，那么可列方程为（）

X

A.x-4.5=——1B.jr+4.5=-C.x+4.5=2(x+l)D.x+4.5=2(x—1)

22

9.（3分）如图，已知E为矩形纸片AfiCD的边ZX7上一点，将矩形纸片沿8E折叠，使点。恰好

落在边AD上的点尸处，若AB=6,AD=10,则DE的长为（）

DE

10.（3分）如图，在正方形中，点£是边上的一点，连接。E,AE,BD,且AE,BD交于

点尸，AB=6,BE=3,则阴影部分的面积是（）

A.12B.13C.14D.15

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）不等式上（x-2）＜3的解集是

12.（3分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是—.

13.（3分）如图是一组有规律排列的图案，它们是由边长为1的正方形组成，第（1）个图案有边长为1

的小正方形3个，第（2）个图案有边长为1的小正方形6个，第（3）个图案有边长为1的小正方形9

14.（3分）有三把钥匙（编号分别是1,2,3）与三把锁（编号分别是A,B,C）,每把钥匙只能打开

其中一把锁，每把锁只有一把钥匙能打开.如果从三把钥匙中随机抽取两把，那么能一次性（即不能试）

打开A锁与8锁的概率是.

15.（3分）如图，点A的坐标为（2,0）,点6的坐标为（0,2收,0A与y轴相切，点C是QA上的动点，

射线3c与x轴交于点。，则皮＞长的最大值等于.

三.解答题（共8小题，满分75分）

16.（1）计算：（一3—2）x（—（―；厂2+23

42

（2）下面是小祺同学化简分式-----------的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.

Cl~\。+1

2(。-1)

解：原式=(a_l)(a+l)_(q_l)(a+l)第一步

=4（。+1）-2（。-1）……第二步

=4a+4-勿+2...第三步

=2a+6……第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是；

②小祺同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是

任务二：请你写出正确的化简过程.

17.如图，四边形A8C0为矩形，AC为对角线，过点。作OE_LAC于点E.

(1)尺规作图：过点3作DE的平行线，交AC于点F,要求：标明相应字母，保留作图痕迹不写作法。

(2)在(1)的条件下，求证：DE=BF.

18.春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众，1月26日下午，习近平总书记在霍州市师庄乡冯

南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地，临近年关，某商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍

每件的进价比乙种花馍每件的进价少6元，花180元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数

相等.(1)求甲、乙两种花馍每件的进价；(2)由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定

用40()()元再购进一批甲、乙两种花馍共20()件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基

础上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%,则最多可购买乙种花馍多少件？

19.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个

大项、15个分项、109个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮，某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随

机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图:

若干名同学的成绩频数分布表

分组频数

60<x<704

70<x<8012

80<x<9()16

90<x<l(X)

请根据图表信息，解答下列问题：（1）本2成

绩在“90<xW100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为一。；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）

将此次竞答活动成绩在“80<xW90”的记为良好，在“90<xW100”的记为优秀，已知该校初、高

中共有学生240（）名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对冬奥知识掌握情

况达到良好或优秀的人数约为：24（X）x（40%+20%）=1440,请你分析她的估计是否合理，并说明理由；

（4）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022北京冬梦之约”的邮票，现有如

图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A,B,C,D,背面完全相同，将

这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画

树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

..................>>■■■>|

三，

快甲心丸3

\

CWXA.".

中间*故po*[**

ABCD

20.阅读与思考：请仔细阅读材料，并完成相应的任务.

利用数学知识求电阻的阻值

数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数学为物理提供了

计量、计算的工具和方法.

例如：已知两个电阻R1和此串联后的总电阻为7Q,并联后的总电阻为g。，求这两个电阻的阻值各是

多少.

根据串联电路中电阻之间的关系，得A+与=7,①

11人+凡7

根据并联电路中电阻之间的关系，得胃+丁=玉六=2②

K,R?&R?6

把①代入②，得鸟&=6③

以上问题也可以通过以下两种数学方法求解.

方法1：设飞阻值为％,则R2的阻值为7-x.根据③可将问题转化为x（7-x）=6是否有正数解的问题.

方法2：设两个电阻阻值分别为％和则根据③，得x+y=7,根据③，得孙=6.所以同时满足要求

的正数x和＞的值可以看成反比例函数的图象与一次函数y=-x+7的图象在第一象限内的交点

X

坐标（x,y）.

12

任务：（1）已知两个电阳R1和R2串联后的总电阻为io。，并联后的总电阻为三。，请你借助“方法1”,

求这两个电阻的阻值各是多少.

（2）是否存在两个电阻R1和与，使串联后的总电阻为4C，并联后的总电阻为？

小明借助“方法2”解答如下：

假设存在，设这两个电阻的阻值分别为％和y,

根据①，得x+y=.根据③，得回=.

在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数y=9和一次函数y=-x+4的图象.

X

观察图象可知，（填“存在”或“不存在”）满足条件的两个电阻.

21.2021年是中北大学建校80周年，某校“综合与实践”小组的同学来到中北大学参观学习，他们在德怀

楼前的广场上参观了彭德怀元帅的雕像（如图1）,并计划测量“彭德怀元帅雕像”的高度.他们制定了测量

方案并完成了实地测量.如图2,该小组同学在点C处用测角仪（高度不计）测得该雕像顶端A的仰角

ZAEM=61°,向雕像的另一侧前进9.5m到达点。处，再次测得该雕像顶端A的仰角NAGN=45。，

已知该同学的眼晴到地面的距离为1.5加，请根据上述测量数据，求彭德怀元帅雕像的高度.（结果精确

到0.1根；参考数据：sin61°»0.87,cos61°«0.48,tan61°®1.80）

图1

22.综合与实践

问题情境：四边形A8CO是正方形，对角线AC,相交于点。，尸是正方形内一点，ZBFC=90°.

将△BEC绕点。按顺时针方向旋转一定角度得到ADEC,点3,P的对应点分别为点。，E,直线EF

经过点。.

特例分析：（1）如图1,当点尸与点。重合时，判断四边形CEOF的形状，请说明理由，并直接写出所

与。£的数量关系.

深入探究：（2）如图2,当点尸与点。不重合时，试判断OE，E0,尸。之间的数量关系，并说明理

由.

类比迁移：（3）如图3,将正方形ABCO改为菱形，对角线AC,3。相交于点。，厂是菱形内一点,

N3fC=90°,将△班C绕点。按顺时针方向旋转60°得到△OEC，点B,尸的对应点分别为点。，E.

请直接写出。E，EO,尸。之间的数量关系.

1,

23.综合与探究：如图，抛物线＞=一5/+区+。与％轴交于人，3两点，与丁轴交于点C,点3,C

的坐标分别为（2,0）,（0,3）,点。与点。关于x轴对称，P是直线AC上方抛物线上一动点，连接P。、

交AC于点Q.

（1）求抛物线的函数表达式及点A的坐标；（2）在点P运动的过程中，求PQ：OQ的最大值；（3）在

y轴上是不存在点〃，使NAA仍=45°?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）某地一天的最高气温是12°C,最低气温是-2°C,则该地这天的温差是（）

A,-10℃B.10'CC.14℃D.-14℃

【答案】C

【详解】12-(-2)=14(°C).故选:C.

既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【详解】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选：A.

3.（3分）下列运算中正确的是（）

A.V2x>/3=V6B.V2+>/3=V5C.后+6=2D.-l2=-2

【答案】A

【详解】A、原式=7^=",所以A选项正确；B、虚与石不能合并，所以8选项错误;

C、原式=而万=3,所以C选项错误；D、原式=-1,所以。选项错误.故选：A.

4.（3分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（）

【答案】A

【详解】•.•主视图和左视图是三角形，.,・几何体是锥体，

•.•俯视图的大致轮廓是圆，该儿何体是圆锥.故选：A.

5.（3分）一副直角三角板如图放置，点C在尸D的延长线上，ABHCF,NF=NAC8=90。，则ND8C

的度数为（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

【答案】B

【详解】由题意可得：NEDF=45°,ZABC=30°,

-,-AB//CF,:.ZABD=ZEDF=45°,.-.ZZ)SC=45o-30o=15o.故选：B.

6.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

3x>2x-1

111!’1I—1

A.-2-1012'B.-2-102

1]I1

c.-2-io2，D.-2-102

【答案】C

【详解】｛；!：2?二台4①，由①得若，］；由②得天>一1；故不等式组的解集为T<X,1，

-I心」------------->

在数轴上表示出来为：-2-102.故选：c.

7.（3分）如图，在四边形MCD中，对角线AC、8。相交于点O,下列条件不能判定四边形AfiCD为

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

【答案】B

【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；

3、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；

C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；

。、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B.

8.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈

绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量

木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设有木条长x尺，那么可列方程为（）

YY

A.x-4.5=--lB.x+4.5=--lC.x+4.5=2（x+l）D.x+4.5=2（x-l）

22

【答案】D

【详解】依题意，得：x+4.5=2（x-l）.故选：D.

9.（3分）如图，已知£为矩形纸片ABCD的边DC上一点，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点C恰好

落在边4）上的点尸处，若A8=6,AE>=10,则OE的长为（）

O1A

A.2B.-C.3D.—

33

【答案】B

【详解】设止=x,则CE=6—x,由翻折的性质得，

BC=BF=\0,AB=6AF=8DF=AD-DF=\0-8=2,

在RtADEF中，•.­EF=CE=6-x,DEr+DF2-EF2,x2+22=(6-x)2,

解得：x=-.BPDE--.故选：B.

33

10.（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边3c上的一点，连接£>£,AE,BD,且AE,BD交于

点尸，AB=6,BE=3,则阴影部分的面积是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【详解】・・•四边形/WOO是正方形，.•.AD//8C,AD=AB=6,

Ansp

:./SADFsgBF,—=—=2,:.AF=2EF,

BEEF

'''=6>BE=3,5A=SABEO=5xBExAB=9>

7

.•.阴影部分的面积=6+9=5故选：D.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）不等式g（x—2）<3的解集是—.

【答案】x<8

【详解】x-2<6.x<6+2,x<8,故答案为x<8.

12.（3分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是—.

【答案】6

【详解】设正多边形的一个外角的度数为x。，由题意得2x+x=180。，

解得x=60,360。+60。=6，所以这个正多边形的边数是6.故答案为6.

13.（3分）如图是一组有规律排列的图案，它们是由边长为1的正方形组成，第（1）个图案有边长为1

的小正方形3个，第（2）个图案有边长为1的小正方形6个，第（3）个图案有边长为1的小正方形9

个，…依此规律，则第（“）个图案中，边长为1的小正方形有一个.

第（2）个图案有边长为1的小正方形的个数为：6=3x2,

第（3）个图案有边长为1的小正方形的个数为：9=3x3,

第（4）个图案有边长为1的小正方形的个数为：12=3x4,...

第（〃）个图案有边长为1的小正方形的个数为：3n.故答案为：3〃.

14.（3分）有三把钥匙（编号分别是1,2,3）与三把锁（编号分别是A,B,C）,每把钥匙只能打开

其中一把锁，每把锁只有一把钥匙能打开.如果从三把钥匙中随机抽取两把，那么能一次性（即不能试）

打开A锁与3锁的概率是.

【答案】-

6

【详解】随机抽取两把分别打开A,5锁，所有可能的结果为：12,13,21,23,31,32,

共有6种等可能的情况数，其中能一次性（即不能试）打开A锁与5锁的有1种，

所以一次打开A锁与3锁的概率=」.故答案为：

66

15.（3分）如图，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（0,26）,与y轴相切，点C是0A上的动点，

射线3c与x轴交于点。，则如长的最大值等于—.

【答案】4G

【详解】当射线与OA相切时，BD最大,

如图，过8作OA的切线3C'交x轴于8。即为所求，再连接AC',AB.

•.♦点A的坐标为(2,0),点8的坐标为(0,26),;.。4=2,OB=2拒,

％2

tan2^480==—产=—,:.ZABO=30°,ZOAB=60°,

OB2G3

根据切线长定理，BO=BC,ZABO=ZABC'=30°,/.ZADV=30°,:.AB=Aiy,

-.■ACYBiy,:.BC=CD',:.BD'=4y/3.故答案为46.

三.解答题(共8小题，满分75分)

21

16.（1）计算：（―3—2）x（—~+2,

42

(2)下面是小祺同学化简分式------的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.

a-1。+1

解.原式=型二

L第一步

=4（a+l）-2（a-1）...第二步

=4a+4-2。+2...第三步

=2a+6...第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是

②小祺同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是

任务二：请你写出正确的化简过程.

【答案】(1)；(2)分式的基本性质，二，丢掉分母，化简过程见解析

10

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；(2)任务一：根据分式的基本性质求解即可；任

务二：根据分式的混合运算顺序和运算法则求解即可.

44113

【详解】解：(1)原式=(—5)x——4+8=------=―；

v7255210

(2)任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是分式的基本性质；

②小祺同学的求解过程从第二步开始出现错误，错误的原因是丢掉分母；

在父一.而十二4(a+l)______2(a-l)=4a+4-2。+2；2a+6_2a+6

J2

(a+l)(cz-l)(cz+l)(a-l)(a+l)(a-l)+a-1

故答案为：①分式的基本性质；②二、丢掉分母.

【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算、分式的加减等知识点，解题的关键是掌握分式的加减

运算法则及依据.

17.如图，四边形A8CO为矩形，AC为对角线，过点。作O£_LAC于点E.

（1）尺规作图：过点3作DE的平行线，交AC于点F,要求：标明相应字母，保留作图痕迹不写作法。

（2）在（1）的条件下，求证：DE=BF.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点M,N,分别以历，N为圆心，大于

2

的长为半径画弧，两弧将于点P,连接8P并延长交4c于点F,则BFLAC,从而BF//DE

（2）根据矩形的性质即可证明。E=8F.

【小问1详解】如图，防即为所求；

【小问2详解】证明：•.•四边形ABCO是矩形，.二△ABC和AA。。的面积相等，

DE1AC,BFA.AC,:.DE=BF.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，矩形的性质，解决本题的关键是掌握垂线的作法.

18.春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众，1月26日下午，习近平总书记在霍州市师庄乡冯

南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地，临近年关，某商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍

每件的进价比乙种花馍每件的进价少6元，花18（）元购买甲种花馍的件数与花24（）元购买乙种花馍的件数

相等.（1）求甲、乙两种花馍每件的进价；（2）由于畅销，第一批购进的花馍己经售馨，现该商店决定

用4000元再购进一批甲、乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基

础上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%,则最多可购买乙种花馍多少件？

【答案】（1）甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元；（2）84件

【分析】（1）设甲种花馍每件的进价为4元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元，由题意：花180元购

买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等.列出分式方程，解方程即可；

（2）设购买乙种花馍。件，由题意：现该商店决定用4000元再购进一批甲、乙两种花馍共200件，结

果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%,

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小问1详解】设甲种花馍每件的进价为x元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元，

由题意得：出=生,,解得：x=]8，

xx+6

经检验，x=18是原方程的解，且符合题意，则x+6=24，

答：甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元；

【小问2详解】设购买乙种花馍。件，则购买甲种花馍（200—。）件，

由题意得：24a（l+5%）+18x90%x（200—a）44（XX）.解得：a<84^.

「a为正整数，a的最大值为84,答：最多可购买乙种花馍84件.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

19.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个

大项、15个分项、109个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮，某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随

机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

若干名同学的成绩频数分布表

分组频数

6()<x<7()4

70<x<8012

80<x<9016

90<x<100

请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学名；在扇形统计图中，成

绩在"90<x<100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为一。；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）

将此次竞答活动成绩在“80<xW90”的记为良好，在“90<xW100”的记为优秀，已知该校初、高

中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对冬奥知识掌握情

况达到良好或优秀的人数约为：2400x（40%+20%）=1440,请你分析她的估计是否合理，并说明理由；

（4）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022北京冬梦之约”的邮票，现有如

图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A,B,C,D,背面完全相同，将

这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画

树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是3（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

(4)-

6

【分析】（1）由成绩在“70<%,80”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人

数，即可解决问题；（2）根据成绩在“90<%,100”这一组的人数，即可解决问题；

（3）从学生的学段进行说明即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮

票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的结果有2种，再山概率公式求解即可.

【小问1详解】解：本次知识竞答共抽取七年级同学为：12+30%=40（名），

则在扇形统计图中，成绩在“90<%，100”这一组的人数为：40—4—12—16=8（名）,

Q

在扇形统计图中，成绩在“90<%,100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：360°x——=72。,

40

故答案为：40,72；

【小问2详解】由（1）可知，成绩在“90<%,100”这一组的人数为8名，

【小问3详解】不合理，理由如下：因为初、高中学生对奥运知识的掌握程度不同，该校七年级学生对

奥运知识掌握的程度不能代表全校学生，所以根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥运知识掌

握情况达到优秀等级的人数不合理.

【小问4详解】画树状图如下:

开始

ABCD

/4\/N/1\/1\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的结果有2种,

21

故小颖同学抽到的两枚邮票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容副1）的概率为一=

126

【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识.树状图法可以不重

复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是

不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.阅读与思考：请仔细阅读材料，并完成相应的任务.

利用数学知识求电阻的阻值

数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数学为物理提供了

计量、计算的工具和方法.

例如：已知两个电阻R1和&串联后的总电阻为7Q,并联后的总电阻为3。，求这两个电阻的阻值各是

多少.

根据串联电路中电阻之间的关系，得4+4=7,①

根据并联电路中电阻之间的关系，得=+丁=~^『=7②

R2叫&6

把①代入②，得与尺2=6③

以上问题也可以通过以下两种数学方法求解.

方法1：设R1阻值为X,则此的阻值为7-x.根据③可将问题转化为X(7-X)=6是否有正数解的问题.

方法2：设两个电阻阻值分别为％和丁，则根据③，得x+y=7,根据③，得孙=6.所以同时满足要求

的正数x和y的值可以看成反比例函数y=勺的图象与一次函数y=-x+7的图象在第一象限内的交点

X

坐标(x,y).

12

任务：(1)已知两个电阳凡和&串联后的总电阻为10Q，并联后的总电阻为一。，请你借助“方法1”,

求这两个电阻的阻值各是多少.

(2)是否存在两个电阻R|和&,使串联后的总电阻为4C，并联后的总电阻为？

小明借助“方法2”解答如下：

假设存在，设这两个电阻的阻值分别为x和y,

根据①，得x+y=.根据③，得冲=.

在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数y=9和一次函数y=-x+4的图象.

X

观察图象可知，（填“存在”或“不存在”）满足条件的两个电阻.

【答案】（1）4。和60；（2）4.6,不存在.

【分析】（1）根据题意，得方程x（10—x）=24解方程即可；

（2）根据题意可得x+y=4,xy=6,求x与y的值即求一次函数y=-x+4与反比例函数y=9有无交

点，根据图象判断即可.

,x+y=10

【小问1详解】解：设兄=》，则耳=00一%），根据题意得＜x+y=5,

xy-12

得肛=24,将x+y=10代入，得x(10—x)=24,解方程得x=4或％=6,

•••这两个电阻的阻值分别为：4Q和6Q.

y=4

【小问2详解】设4=1，则凡=y,根据题意得《/，

xy=6

A

求解x和y的过程即为求一次函数y=-X+4与反比例函数y=—的交点问题，

x

根据图象可知，两函数没有交点，，不存在满足条件的两个电阻.故答案为：4，6,不存在.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，将实际问题转化为函数模型是解决本题的关键.

21.2021年是中北大学建校80周年，某校“综合与实践”小组的同学来到中北大学参观学习，他们在德怀

楼前的广场上参观了彭德怀元帅的雕像（如图D,并计划测量“彭德怀元帅雕像”的高度.他们制定了测量

方案并完成了实地测量.如图2，该小组同学在点C处用测角仪（高度不计）测得该雕像顶端A的仰角

ZA£M=61°,向雕像的另一侧前进9.5m到达点。处，再次测得该雕像顶端A的仰角NAGN=45°,

己知该同学的眼晴到地面的距离为1.5加，请根据上述测量数据，求彭德怀元帅雕像的高度.（结果精确

到O.bw；参考数据：sin610*0.87,cos61°»0.48,tan610*1.80）

【答案】7.6m

【分析】连接,过点A作AB_LEG,垂足为5,可得四边形ECDG是矩形,从而得EG=CD=9.5m,

然后设A3=xm，在和用△ABE中，分别表示出£B，BG的长，列出关于％的方程，进行

计算即可解答.

【详解】解：连接MN,过点A作ABLEG，垂足为B，

A

ARx

设=在中，ZAGB=45°：.BG=------=-=xm,

tan4501

ASx5

在RfAABE中，ZAEB=61°:.EB=-------=—=-xm

tan6101.89

•;EB+BG=EG:.-x+x=9.5解得xa6.ll..AB=6.11

9

，AB+EC=6.11+1.5a7.6m：.彭德怀元帅雕像的高度为7.6加.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅

助线是解题的关键.

22.综合与实践

问题情境：四边形A8C0是正方形，对角线AC,BD相交于点O，F是正方形内一点，/BFC=90。.

将4BFC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到ADEC,点B，F的对应点分别为点D,E,直线所

经过点。.

特例分析：（1）如图1,当点F与点。重合时，判断四边形CEO/的形状，请说明理由，并直接写出跖

与。石的数量关系.

深入探究：（2）如图2,当点尸与点。不重合时，试判断DE，EO,F0之间的数量关系，并说明理

由.

类比迁移：（3）如图3,将正方形A8CD改为菱形，对角线AC,3。相交于点。，厂是菱形内一点,

NBEC=90°,将△3FC绕点C按顺时针方向旋转60。得到△OEC，点B,尸的对应点分别为点O,E.

请直接写出。E，E0,尸。之间的数量关系.

E

【答案】(1)四边形CEO/是正方形，理由见解析，EF=^DE；

(2)E0-F0=6DE,理由见解析；(3)OE+OF=gDE，理由见解析

【分析】(1)由正方形的性质可得BO=CO=DO,BC=CD，ZBC£>=90°.由旋转的

性质可得CO=£)O=CE=OE，可得结论；

(2)由“S4S”可证△0OE丝ABOH,可得DE=BH，由旋转的性质可得FC=CE，

NECF=90°=NBCD,BH=BF=DE，可求N”M=90°,由等腰直角三角形的性质可求

HF=41BH•即可求解；

(3)山“S4S”可证AAD归段△□>£,可得NAWD=NZ)EC=90°,由四边形内角和定理可求

Z.G=ZFCE=60°,由“AS4”可证AAOHgACOF，可得OH=OF,可得结论.

【小问1详解】四边形CEDF是正方形，理由如下，

•••四边形ABC。是正方形，.•.ACJ_8D,BO=CO=DO,BC=CD，/BCD=90。，

•••将ZXBFC绕点、C按顺时针方向旋转一定角度得到ADEC,

.-.CO=CE,BO=DE,：.CO=DO=CE=DE,；.四边形CODE是菱形,

又•.•AC人BO,...四边形CODE是正方形，即四边形CEDE是正方形，.•.£：/=QOE；

【小问2详解】EO-FO=6DE，理由如下：

如图2，延长所至“，使EO=HO,连接8H，

:EO=HO,/DOE=/BOH，DO=BO,

:.ADOE经ROH(SAS),：.DE=BH,:.ZBHF=ZBFH，

•••将4BFC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到ADEC,

:.FC=CE,NECF=90°=NBCD，BF=DE-..NCEE=45。，BH=BF=DE，

ZBFC=90°.ZBFH=1800-ZCFE-ZBFC=45°=ZBHF，

:./HBF=9QP,HF=y/2BH.:.HF=OH—OF=OE—OF=^DE，

即：OE-OF=6DE；

图2

【小问3详解】OE+OF=6DE，理由如卜，

如图3,过点。作NEDH=120°,交EF的延长线于点“，连接AH，并延长交EC的延长线于点

G，DPA.EH于点P，•••将ABFC绕,点、C按顺时针方向旋转60°得至UADEC,

:.CE=CF,ED=BF，NECF=/BCD=60°,/BFC=QEC=9伊,

.-.△BCD,MEF都是等边三.角形，：.NCFE=NCEF=60°，NDCH=/DEC-NCEF=30°，

­.•ZHZ)E=120°.：.ZDHE=3Q°=ZDEH,：.DE=DH,

义•.DPLEH，4DEP=3V,:.HP=PE=SDP，DE=2DP，:.HE=6DE，

•••四边形ABC。是菱形，ZBCD=60。，：.AD=CD，ZADC=120°=ZEDH,AO=CO,

:.ZADH=NCDE,.•.△AD"ACDE(SAS),