2021高考数学考点精讲精练《17正余弦定理》（练习）（解析版）

考点17正余弦定理

【题组一正余弦定理选择】

1.在AABC中，a=2y/3>6=2及，ZB=45°,则ZA为

【答案】60°或12()。

【解析】由正弦定理可得:

sinA-sinBsinA=

2V2

0<A<135。，.•.NA=60°或44=120。

2.在AABC中，a=3,b=5,sinA=1,则sinB=

【答案w

35.八5

【解析】由正弦定理得T=G'smB=g,故选&

3.已知a,4c分别为ABC三个内角A,6,C的对边且〃+c,2—百加=",则44=

【答案】30（或?）

6

【解析】因为〃+c2-y/3hc=a2，所以Z??+c2-/=J%c，所以2bccosA=,所以cosA=

7171

・•.A=—・故答案为二.

66

4.在AA3C中，角A，B,C的对边分别为。，b,c,若8=8,c=3,A=60°,则此三角形的外接

圆的面积为.

【解析】在乙43。中，由余弦定理可得：/=Z?2+c?—2〃ccos4=49解得：ci=7；

a=2R,解得/?=拽，

再由正弦定理可得:

sinA3

049乃497r

由圆面积公式解得外接圆面积为：S=7TR-=——.故答案为：——.

33

5.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.若。=l,c=百,NC=言，则。=.

【答案】1

277*cbI

【解析】因为b=l,c=JLc=——，那么根据正弦定理可知——=——，可知sinB=-，因为b<c,那么角

3sinCsinB2

TTTT

B二一，A二一然后利用余弦定理可知a2=c2+bL，-2cbcosA=l,故a=l.

66

6.AA8C中，角A&C成等差数列，则sin?A+sin?C-sin?8=_____

sinAsinC

【答案】1

.如/“▼$叫上r>71sin2A+sin2C-sin2Ba1-\-(r-b11

【解析】由题意，B=—,-------------------=----------=2cosB=l.

3sinAsinCac

【题组二边角互换】

1.在AABC中，如果511124:91115:S111。=2:3：4,那么cosC等于o

【答案】--

4

【解析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4

可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0)由余弦定理可得，CosC=—。

4

2.在中，角4B,。所对的边分别为ab,a若2a=》+2ccos8,则。=0

【答案】V

3

【解析】在AABC中，2c8s8=2。一人，:.由余弦定理可得2cx“十。一一.=2。—-,

lac

.-.a*2+b2-c2=ab,:.cosC=a2+b2~c2=-,又CG(O,I),，C=£.

lab23

3.在△力8c中，三个内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,且加c=acos3+acosC,则4=o

71

【答案】-

2

+r2—b~cr+b~—c~

【解析】由加c=acos班acos。根据余弦定理可得，b+C=a^—^——+a=—^——,

2aclab

2c2h

b_a2(b+c)+bc(b+c)-(b3+，*)

2hc

=。地+少儿伍+力伍+0)("—A+c),进一步化简可得标="2+’2

2bc

7t

为直角三角形，A=一.

2

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=gacosB，则角8的大小为.

【答案】60°.

/-一abbI-

【解析】由已知。sinA=G<zcos8，根据正弦定理得：——7=_7=~=—~~,则sin8=&BSB,

sinAV3cosBsinB

即任—=tan8=G,所以8=60。.故答案为60°.

cosB

5.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且匚匹.”A则B=。

c-asmC+sinB--------

【答案】-

3

【解析】根据正弦定理-三=七=三可得.胃"口=唉,由已知可得T=去,整理可得a?+c2-从=

sin4sinfisinCsmC+sinBc+bc-ac+b

ac,

二cosB=~—=上-=二,・••在/ABC中B=g.

Zac2ac23

6.在AABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a=2G,c=20，1+幽4=主

tanBb

则角C=_

【答案】-

4

■A-.2ctanA+tanBsinAcosB4-cosAsinBsinC2sinC

【解析】V1+----二一，即-------------------------------------------------

tanBbtanBsinBcosAsinBcosAsinB

1即A为锐角，2A吟

/.cosA二一>

2

a=25/3>c=2起,・••由正弦定理，一二一--得：sinO？J^x1二

sinAsinC云万2

71,7[

•/a>c,...A>C,C=—.故答案为：一.

44

7.在A4BC中，角A，B,C的对边分别为。，b,C,若/=%2+3c2_2&sinA，则。=

冗

【答案】7

O

【解析】根据〃2=3b2+3c?-2>/§fecsinA…①余弦定理储=解+J-2Z?ccosA…②

由①一②可得：2b2+2c2=2>/3Z?csinA-2bccosA化简：b2+c2=V3Z?csinA-becosA

ob2+c2=2Z?csin(A--)

b+c二.2bc,••sin(A—)—1,0<A<,/.-----<A.-----<—,/.A-----——,A=—,

6666623

2万

此时〃+c2=»c，故得力=c,即8=C,.「厂3.故答案为：7-

••v--------——6

26°

【题组三三角形面积】

1.锐角△ABC中角AB,C的对边分别是a,b,c,若a=4b3，且AABC的面积为36，则。=_

【答案】m

【解析】由题意得3G=LabsinCnsinC=3，乂锐角AABC，所以。=工，由余弦定理得

223

c2=a2+b2—2abcosC=25—12=13,c=\/V3.

2.A4BC中，AB=6,AC=1,8=30，A4BC的面积为之，则。=

2

【答案】60-.

\/

【解析】由题意，在A48C中，A3=6,AC=l,3=30。,

所以AABC的面积为5=,43・8。・$由5=!*6乂5。乂,=也，解得BC=2,

2222

由余弦定理得cosC=JC?+BU—AB=1+y又由Ce(0,180°),所以C=60°.

2ACBC2x1x42

3

3.AABC中，a、b、c成等差数列，ZB=30°,SMliC=-,那么6=.

【答案】V3+1

【解析】Va>b>c成等差数列,・・.2b=a+c,.••4bJJ+c'+Zac,①

13

VS=—acsinB=—,，ac=6②

22

Vb2=/+c2-2accos6,③由①②③得〃=4+2后,，/?=石+1.

〃2序—2

4.已知△/%中，角人&C的对边分别为a,b,c,且s=幺二_土，那么

ZVAOC]

【答案】-

4

222

a+Z?-c2abcosC1,「

【解析】--------------=------------=—abcosC

442

=—absinC—abcosC^—absinC=>cosC=sinC=>tanC=1

222

TTTT

NC为三角形内角，ZC=-故答案为巴

44

『4扇2

5.设。也c分别是AABC的内角A民C的对边,其面积为幺士--,则sinC=

4

【答案】①

2

帅

【解析】S»8c"+"—l=LcosC='absinC,tanC=1,0<C<C=-,sinC=—.

42242

6.在AA8C中，a、h>c分别是角A、B、C的对边，若b=2c,a=V6»A=一，则AA8C的面积

3

为.

【答案】百

【解析】由余弦定理可得/-b1+c2-2/?ccos4=4<?+c2-2x2cxcx—,

2

即3/=6,解得c=J5,则〃=2C=2A/5,因此，AA8C的面积为

百

SMBC=-^-Z?csinA=-^-X2A/2x>/2x^-=

7.在AABC中，已知sin?A+sin?sinAsin5=sin?C，且满足"=4,则AABC的面积为_«_

【答案】A/3

【解析】在AABC中,已知sin?A+sin?B-sinAsinB=sin2C，.•.由正弦定理得痴+/—,

,2,•z-a^+b'-c-ab1n

la!n|lcr2+b~2-c=ab>••cosC=---------------=.即C=；

lab2ab23

ab=4,AABC的面积S=』a》sinC=Lx4x^^=\/5.

222

3

8.在AABC中，a,仇c分别为AB,C的对边，如果a,"c成等差数列，8=3()°,AA8C的面积为一那

2

么h=o

【答案】i+G

【解析】由余弦定理得/=cr+c2-2ccosB=(«+c)2-2ac-2accosB,又面积=—acsinB

13

=-ac=-=>ac=6,因为a，人，c成等差数列，所以a+c=2〃，代入上式可得力？=4/一12—6百，

42

整理得从=4+2内，解得b=l+G.

9.在锐角三角形ABC,a,b，。分别为内角A，B,C所对的边长，-+-=6cosC,则更二C/匚6

abtnAtnB

【答案】4

【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角点6和边a、。具有轮换性.

当力=8或时满足题意，此时有：cosC=-,tan2—=--CQS^=—,

321+cosC2

CJ2tanA=tanS=—二■=>/2tanCtanC

tan—=»«C，7~4•

(方法二)—+—=6cosC=>6abcosC=a2+/?2,6abi+。———=a2+b2,a2+b2=^—

ah2ab2

tanCtanCsinCcosBsinA+sinBcosAsinCsin(A+B)1sin2C

--------1--------=--------------------------------------=----------------------=----------------------.

tanAtan3cosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

i222

_1c_c_c

由正弦定理得：上式—cosCab_1(。2+/)1里.故答案为：4

$6'V

【题组四三角形形状判断】

1.在AABC中，设内角A,B,C的对边分别为仇c,若acos3=Z?cos4,则AABC的形状是三

角形

【答案】等腰三角形

【解析】根据题意acos3=Z?cosA，结合正弦定理可得sinAcos3=sinBcosA,

即sinAcos3-cosAsinB=0,所以sin(A-6)=0,结合三角形内角的取值范围，可得A=B，

所以AABC是等腰三角形.

2.在AABC中，已知初=2。sin&且Qcos5=Z?cosA,则AABC的形状是三角形

【答案】等边三角形

【解析】；3Z?=2百々sin5,，山正弦定理得3sin8=2GsinAsin8，sinB0,sinA=—，

若A为钝角，则cosAvO,由acos3=/?cosA得cos3<(),8也为钝角，不合题意.

7C

故A为锐角，A=一,又由acos3=Z?cosA得sinAcos3=sinBcosA,「•li/b=B、：.B=A=—

3

71

从而C=§,AA8C为等边三角形.

3.在AABC中，已知2sinAcos3=sinC,那么AA8C一定是三角形

【答案】等腰

【解析】2sin4cos8=sinC，由正弦定理可得2acosB=c,

^22_.2

由余弦定理得2ax巴士-L=c，化简得a=b,所以二角形为等腰三角形，

2ac

4.在AABC中，角A，B,C所对的边的长分别为。，b,c,若“sinA+6sin8vcsinC,则AA8C的

形状是三角形

【答案】钝角

^2,2_2

【解析】由正弦定理得：/+。2<。2由余弦定理得：COSC=<0

2ab

CG(0,^).1C为钝角，则A48C为钝角三角形

5.设ABC的内角A，8,C所对的边分别为若匕oC心Bw=A..13.sin25=sin2C，

则ABC三角形

【答案】等腰直角

【解析】因为。85。+£^€«3=。5亩24,所以51118(：05。+5皿。(：058=51112/4，

BPsin(B+C)=sin2A,即sinA=si>A，所以sinA=l,因此角A为直角;

又sin25=sin2。，所以〃=/,所以方=c；因此，A6C是等腰宜角三角形.

6.若(a+6+c)3+c—a)=30c,且sinA=2sin3cosC，那么ABC是三角形

【答案】等腰直角

,2221

【解析】由题设可得趣+可-YuancosAu+'"='=4=1,

2bc23

j义序2

由题设可得。=2/?cosCna=2。巴士——^b2-c2=0=>b=c,即该三角形是等边三角形.

lab

7.在AABC中，若sin?A+sin28Vsin?C，则AABC的形状是二角形

【答案】钝角

【解析】因为在A45C中，满足sinZA+sinB'vsii?。，

2

由正弦定理知5皿4=/-,5皿8=-^~,5111。=--,代入上式得4/2+62<c,

2R2R2R

又由余弦定理可得cosC="—C二<0,因为C是三角形的内角，所以Ce（1,万），

2ah2

所以A4BC为钝角三角形.

【题组五三角形个数】

1.已知a,b,c分别为AABC的三个内角A8,C的对边，已知NC=45。，c=J5，a=x>若满足条件的

三角形有两个，则》的取值范围是-

【答案】^2<x<2

【解析】在AABC中，由NC=45。，c=6,。=%，则asinC=xsin45°=工1，

2

要使得三角形有两个，则满足也x<c<x，即也x<JI<x，解得&<x<2,即实数。的取值范围

22

是（立2）.

2.在AABC中，角A，B,C所对边分别是。，b,c,若b=d，c=3,且sinC=±叵，满足题

意的AABC有-

【答案】一个

【解析】b=y/Fi>c=3，b>c,C为锐角，且sinC=之也1，bsinC=JUx豆五=3=c>满足题意

1111

的AABC有一个.

3.在ABC中，角力,民。所对的边长分别为a/,c,若。=15,8=24,A=60°,则这样的三角形解

的个数为«

【答案】0

【解析】因为。=15，8=24,A=600所以由正弦定理得：，一=—也即=2—解得

sinAsinBsin60°sinB

sinB=^—^->1，故无解

5

4.△/回中，已知下列条件：①b=3,c=4,企=30°；②a=5,b=8,J=30°；③c=6,6=36，B=

60°；④c=9,6=12,。=60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是-

【答案】①②

342

【解析】AA8C中，0)»=,c=4,B=30。，可得------二-----,sinC=->sin30°

sin30°sinC3

故满足条件的角。有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确

584

(2)。=5,〃=8,A=30°,可得------二——，sinB=->sin30°

sin30°sinB5

故满足条件的角。有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确

(3)c=6，。=3W，3=60°，可得」_=sinC=l,则。=工，一角形有唯一的解故错误

sinCsin6002

912o/i

(4)c=9，b=12,C=60°，可得------=——，sinB=±>l，则8不存在，三角形无解故错

sin60°sinB3

误

5.△钻C的内角A，C的对边分别为。，c,若/。=45°,c=0，且满足条件的三角形有两个，则。

的取值范围为。

【答案】（四,2）

【解析】由正弦定理得：」一=」一即4_=_乙所以sinA=1a

sinCsinAsin45°sinA2

由题意得，当45°<A<135。时，满足条件的三角形有两个所以4解得、伤<。<2

JT

6.在A48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若4=一，a=5,c=4,则满足条件的AABC的

4

个数为_____「

【答案】1

5_4.2石V2_.Ar4

【解析】由正弦定理得；^'=氤:'^'.smc=K2<3■=smA,...C<A,所以c只有一解，所以三角形

T

只有一解.

7.已知△4笈中，炉比60°,若此三角形有两解，则。的取值范围是-

【答案】V3<fl<2

【解析】做出示意图如下图所示：做于“，则。”=44113=45山60，

要使△4独有两解，则需asin3<Z?<a，因为从於60°,所以解得6<〃<2，

【题组六取值范围】

1.在锐角△49C中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且才—江炉=1,c=l,则a-6的取值

范围为.

【答案】(1.V3)

【解析】因为八岛〜』，C"所以/+"八岛小学考

ab1

八_冗一4------=-------=-------=2

因为0<C<一,所以C=—.又因为sinAsinB.n,所以a=2sinA,〃=2sin3,

26sin-

o

8=9乃-A.

6

下)a—b=25/3sinA—2sinB=2邪>sinA—2sin(——A)

6

=273sinA-2(sin—,zrcosA-cos—sinA)

66

=V3sinA-cosA=2sin(A-.

0<A<-

因为《2所以《<A<g

7C

0<*4-4<—

62

—<A——<—,,<sin（A—工）<■所以—Z?w故答案为：

663262

2.在锐角三角形AABC中，4、B、C成等差数列，b=l,则的取值范围-

【答案】（耳目

TT

【解析】力、B、。成等差数列所以A+C=25,又4+8+C=万所以3=—

3

a_b_c_l_273

由正弦定理得sinAsinBsinC63

T

Z?sinAbsinC2y/3.‘.一、

/.a+c=--------1----------=------（zsmA+sinC）

sinBsinB3

=~~[sin4+sin一A—6）]=~~sinA+~~sin（A+三）=6sin4+cosA=2sin（A+

7727r7T7T7T7T7T27r

AABC是锐角三角形，所以0<A<2且0<C=——A<—,所以一<A<一,所以一<4+—<——

23262363

<sinA+—<1>/3<2sinfA+—^<2L!jJ^3<a+c<2

2II6；

3.A43C中角A，B,C的对边分别是a,b,c,若sinA=3sinCss3,且c=3,则的面积

最大值为.

27

【答案】—

4

【解析】由正弦定理可知，sinA=—,5皿。=£且。=3

2R2R

sinA=3sinCeos变形为a=3ccosB,即a=9cosB

又8为AABC内角，cos5=^->0/.,ae（0,9）

sin2B+cos2B=1sinB=vl-cos2B=

2

SM8C=—acsinB=—xax3x—y/si-a-—Ji(81-/)

当足卷即0=乎时（s®c"［吟呼故答案为:Y

4.已知A6C中，sinA,sinB,sinC成等比数列，则少-------的取值范围是

sinB+cosB

述

【答案】

F

【解析】由sinA，sinB,sinC成等比数列，得si/BusinAsinC，由正弦定理可得b?=ac.

2oj22〉

IA-_p.,-r,口_ct~+c~_b~ci~+c--

由余弦定理可得cosB=----------=-------

2ac2ac

所以Be0,1

0sin(3+?}5+7€(7,77,所以缶也［，+1)*(1,应］.

令t=sinB+cosB-

sin2B+2IsinBcosB+2(sinB+COSBY+1,11(3\［：

---------=------------=---------L——=stnB+cosB+=r+-e2,—

sinB+cosBsinB+cosBsinB+cosBsinB+cosBf(2

5.已知AB,C,。四点共面，BC=2,AB2+AC2=20.C0=3CA，贝”5。|的最大值为—

【答案】10

【解析】设AC=m,由题意可得：DC=3m,AB=\120-m2，

m+2>，20->2

「AC2+BC2-AB2m2-8

则:cosC=-----------------=--，-A--B-C构成三角形，则:，解得:2<m<4,

2ACxBC2m|m-2|<\l2O-m2

由余弦定理:

BD=ylBC2+CD2-2BCxCDxcosC=、4+9irr-2x2x3/nx=752+3m2，

V2m

当加=4时，取得最大值为10.

6.在A4BC中，A5=l,BC=2,则角C的取值范围是()

（冗冗、7171

B.C.

62)

【答案】A

【解析】

3-=匹~,所以sinC=」sinA,所以0<sinC«,，因AB<8C,C必定为锐角，故

sinCsinA22I6

7.在△48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3B,贝哈的取值范围是—

【答案】（1,3）

sin4sin3Bsin(28+B)sin28cos8+cos28sinB2sinKcos2S+cos2Fsinfi

【解析】A=3B=------=---------------------=2cos23+cos28=

sinBsinBsinBsinBsinB

2cos2B+位哼=舞=2cos2B+1又4+BC(O,zr),即48e(O,TT)n2Be(0()=>cos2Be

(0,1)..I6(1,3)

cin~4

8.已知锐角M8C中,角ABC所对的边分别为若后=a（a+c）,则的贰不的取值范围是.

【答案】（］_,立）

22

【解析】b2=a2+c2-laccos5,:.ac=c2-laccosB,.\a=c-2asin5,

sinA=sinC_2sinAcosB=sin(A+3)-2sinAcosB=sin(3-A),

因为AASC为锐角二角形，所以A=8-A/.8=2A,

TTTT7T

0<A<一,0<B=2A<—,0<;r—A—B=%—3A<一,

222

7t71

4sin2A◎、

•・一<A<一,故一;sinA,GJ

64sin(8-A)

【题组七解析几何中运用】

cFj

1.如图所示，四边形力四中，AC=AD=CO=7,ZABC=120°.sinZBAC=—.则A4BC的

14

面积为，BD=

【答案】上叵8

4

5C

【解析】在MBC中，AC=7,ZABC=120°,sinZBAC=—

14

7BC

A「-----=---

由正弦定理.=.，代入得sin1205g

sinZABCsinABAC-----

14

r5百

7x-----

解得BC=-^―=5,而cosZABC=cos120=——

V32

T

山余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-8c•cosZABC

代入可得49=AB?+25-10•ABxI

解方程可求得"=3则5180=,*43、4。*5山/区4。=1*3*7*也=生心

22144

且sinZBCA=sin(ABAC+ZABC)

则cosZDCB=cos(ZDCA+ABAC)=cosZDCA-cosZBCA-sinZDC4-sinZBCA

=9搐一孝*当=3由余弦定理可知皿2=℃2+.2-2力。虚-3/。以

代入可得6。2=49+25—2x7x5x1=64所以30=8故答案为：虫叵；8

74

2.如图，A，B,C,O为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°,AB=6,BC=4,CD=5,

45=5,则四边形ABC。面积是一.

D

B

【答案】10#

【解析】连接BD,在AABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=60-60cosA.

在A5CQ中，BD2=BC2+CD2-28C-C0cosC=41-41cosC，所以6()-60cosA41-41cosC，

因为A+C=180°,所以cosA=—cosC,所以cosA='，则sinA=马色，

55

所以四边形AB。面积5=5_+53)=；48><仞><而4+/0><8><而0

=—x6x5x+—x4x5x=10>/6，故答案为10而.

2525

3.如图，在三角形AABC中，〃为BC边上一点，ADLAB且BD=2CD,tan/C4O=g,则tanB为

【解析】如图，延长AD,过点C作CE_LAD,垂足为E,

QtanNCAD=；CE_1

A£-5

设CE=x，则AE=5x,

QZCDE=ZBDAtNCED=NBAD,

-NCDE〜VBDA，则匹=生

ADBD

DECDI

QBD=2CD、

~AD~~BD~2

DE=—x,/.DE=—x

33y

tanB=—.

3

故答案为：3.

3

4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶。在北偏西45°的方向上，

仰角为a,行驶3()0米后到达3处，测得此山顶在北偏西15。的方向上，仰角为〃，若夕=45。,则此山

的高度8=米，仰角a的正切值为.

【答案】30072V3-1

【解析】设山的高度CD=x(米),

由题可得：ZC4B=45，ZABC=105，AB=300（米），ZCBD=45

在A4BC中，可得：NAC8=180-45-105=30，利用正弦定理可得:

ABCBAC解得：CB=300>/2（米），4。=150（而+夜）（米）

sin30sin45sin105

在RtABCD中,由NC8O=45可得：x=C8=300痣（米）

tanj300夜

在RA4co中，可得:=—1

AC150（76+^）

5.如图，四边形ABC。中，AB=4,BC=5,CD=3,ZABC=90°,ZBCD=120°,则AD的长

【答案］,65-126

【解析】连接”;设NACB=6,则NAC£>=120—8,如图:

45

故在&AABC中，sin6»=-=,cos6>=-=,

Vr41V741

8s（120叫」能+―/提+与:军,

,7222向2向2a

(A/41)2+32-AD2

4舁5,解得A02=65-1273,

又在川。。中由余弦定理有cos(120-0)=

2x3x2^/41

即AD=，65-12G>故答案为765-12A/3•

6.如图所示，在平面四边形ABCO中,AB=BC,NA3C=60°,8=2,AD=4,则四边形ABC。

的面积的最大值为

【答案】5石+8

【解析】连接AC，在三角形ABC中,'：AB=BC，/4BC=60°,

AABC为等边二角形，在八48中,CD=2,A£>=4,

巾余弦定理可得AC?=4)2+82—24。.8.8$。=16+4-2x4x2cosD=20-16cos£>.

则四边形ABCD的面积为S=S+S=走AC?+2A。.c。.inD

MBCMCD42s

-16cosD)+4sinD=56+8—sin£>-省小5V3+8sin(D-60°),

2J

当。一60。=90。，即0=150。时，sin(。-60。)取得最大值1,

四边形ABC。的面积取得最大值为5豆+8.

故答案为5有+8.

D,

B

7.在AABC中，已知3=45°,。是BC边上一点，如图，N5AO=75。,OC=1,AC=J7,则A3=

【答案】V6

【解析】NA£>C=120°，根据余弦定理AC?=AC>2+£)C2-2AZ>£>C-COS120°，AZ^+AD-6=0,

AD=2,NAZ)C=60°，根据正弦定理,则48=国缥黑=—声=瓜・

sin60=si"n4"5osin45<2

万

8.如图，在△?!回中，己知点〃在勿边上，ADVAC,sin/540=平,48=3/，力。=3,贝U破的长为

【答案】A/3

【解析】sin/物C=sing+N的功=cosN刈〃，二cosN员切

统=4片+陋一248,A%osN&4D=(3巾V+3?-2X3用X3X乎,即加=3,9=,.

【题组八综合运用】

1.已知/（力=65后1以九%-8521-3，（》61<）若418。的内角4，B,C的对边分别为。，b.

（1）若c=2,/（C）=0,且AA8C的面积为有，求。，b的值.

（2）若sinC+sin（B—A）=sin2A,试判断小钻。的形状.

【答案】（1）a=b=2-.（2）直角三角形或等腰三角形

【解析】（1）由正弦的二倍角及余弦的降幕公式，结合辅助角公式化简可得

f（x）=>/3sinxcosx-cos2x~~-sin2x-cos2x-1=sin（2x一石）—1,

又/©=而（20-看卜1=0,