2019年山东省威海市中考数学试卷（解析版）

2019年山东省威海市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1.（3分）（2019•威海）-3的相反数是（）

A.-3B.3C.1D.-X

33

【考点】14：相反数.

【分析】依据相反数的定义解答即可.

【解答】解：-3的相反数是3.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

2.（3分）（2019•威海）据央视网报道，2019年1〜4月份我国社会物流总额为88.9万亿元

人民币，“88.9万亿”用科学记数法表示为（）

A.8.89X1013B.8.89X1012C.88.9X1012D.8.89X1011

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可

【解答】解：法一：88.9万亿=88.9X1（）4X108=88.9X1012

用科学记数法表示：88.9X1012=8.89X1013

法二：科学记数法表示为：88.9万亿=8890000000000=8.89X1（）13

故选：A.

【点评】本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成aXIO的"次哥的

形式（lWa<10,”为正整数.）

3.（3分）（2019•威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点.已

知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路的长度，下列按键顺序正

A0EUH00SB.IUHS00S

c.因臼回回叵ED.30B00H

【考点】T6：计算器一三角函数；T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA=理，则42=―曳-，即可得

ABsin20

出结论.

【解答】解：在△ABC中，sinA=sin20°=屁，

AB

：.AB=——=——Z——，

sin20sin20

按键顺序为：2+sin20=

故选：A.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算

器是解题关键.

4.（3分）（2019•威海）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进而得出答案.

【解答】解：从上面看，得到的视图是：1—1,

故选：C.

【点评】本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向.

5.（3分）（2019•威海）下列运算正确的是（）

A.（/）3=。5B.3a1+a=3ai

C.cv'^ra1—^（aWO）D.a（o+l）=/+l

【考点】35：合并同类项；47：哥的乘方与积的乘方；4A：单项式乘多项式.

【专题】11:计算题.

【分析】根据合并同类项法则，幕的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数赛

的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、（/）3=小，故本选项错误；

B、3a2+a,不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、a5-r-a2—a3（。70）,正确；

D、a（tz+1）=a2+a,故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了合并同类项法则，骞的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同

底数暴的除法的性质.熟练掌握法则是解题的关键.

6.（3分）（2019•威海）为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据

进行整理.欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（）

A.条形统计图B.频数直方图C.折线统计图D.扇形统计图

【考点】VE：统计图的选择.

【专题】541：数据的收集与整理；65：数据分析观念.

【分析】根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图.

【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图.

故选：D.

【点评】本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键.

7.（3分）（2019•威海）如图，E是边AO延长线上一点，连接BE,CE,BD,BE

交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCEO为平行四边形的是（）

A./ABD=/DCEB.DF=CFC./AEB=/BCDD./AEC=/CBD

【考点】L7：平行四边形的判定与性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】根据平行四边形的性质得到AD//BC,AB//CD,求得DE〃BC,ZABD=ZCDB,

推出于是得到四边形BC即为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得

到N。&7=NC8R根据全等三角形的性质得至于是得到四边形BCE。为平行

四边形，故5正确；根据平行线的性质得到NAE8=NC3R求得/CBF=/BCD,求得

CF=BF,同理，EF=DF,不能判定四边形8。即为平行四边形；故C错误；根据平行

线的性质得到NOEC+N5CE=NED5+NZ)3C=180°,推出N3OE=N3CE,于是得到

四边形3CEO为平行四边形，故。正确.

【解答】解：・・•四边形A5CD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

J.DE//BC,NABD=/CDB,

9：NABD=NDCE,

：.ZDCE=ZCDB,

J.BD//CE,

・・・5。皮)为平行四边形，故A正确；

■:DE//BC,

：.ZDEF=ZCBF,

'/DEF=NCBF

在ADEF与ACBF中,ZDFE=ZCFB，

DF二CF

:ADEFQXCBF(A4S),

：.EF=BF9

■:DF=CF,

・•・四边形5CED为平行四边形，故8正确；

9

：AE//BCf

：.NAEB=NCBF,

NAEB=NBCD,

：.ZCBF=ZBCD,

：・CF=BF,

同理，EF=DF,

・••不能判定四边形BC即为平行四边形；故C错误；

'：AE//BCf

：./DEC+/BCE=ZEDB+ZDBC=180°,

•・•/AEC=/CBD,

，ZBDE=ZBCE,

，四边形BCE。为平行四边形，故D正确,

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平

行四边形的判定定理是解题的关键.

8.（3分）（2019•威海）计算（g-3）0+&?-（-”的结果是（）

3

A.1+断B.1+273C.MD.1+473

3

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数嘉；6F：负整数指数塞.

【专题】511：实数；66：运算能力.

【分析】分别根据零次幕、二次根式的性质以及负指数幕化简即可求解.

【解答】解：原式=1+3>&+/5=1+5年.

故选：D.

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题

目的关键是熟练掌握负整数指数幕、二次根式、绝对值等考点的运算.

‘3-x》4①

9.（3分）（2019•威海）解不等式组［22…时，不等式①②的解集在同一条数

■②

,JJ

轴上表示正确的是（）

11L11111k

A.-3-2-101234名

<I।11j1।1।

B.-3-2-1012345

111」1」」」人

C.-3-2-1012345

111」11］」4

D.-3-2-1012345

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用；62：符号意识；66：运算能力；68：模型思

想.

【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：%<5,

将两不等式解集表示在数轴上如下：

।1jI1111A.

-3-2-1012345

故选：D.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要

注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了.

10.（3分）（2019•威海）已知a,6是方程d+x-3=0的两个实数根，则6+2019的值

是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

【考点】AB：根与系数的关系.

【专题】52：方程与不等式.

【分析】根据题意可知b—3-b2,a+b=-1,ab-3,所求式子化为a2-Z?+2019=a2-

3+廿+2019=Ca+b'）2-2M+2016即可求解；

【解答】解：a,6是方程3=0的两个实数根，

:.b=3-b2,a+b—-1,ab=3,

-6+2019=/-3+庐+2019=（a+b）2-2aZ?+2016=1+6+2016=2023；

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进

行化简代入是解题的关键.

11.（3分）（2019•威海）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路.在施工过

程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修

路任务.下表是根据每天工程进度绘制而成的.

施工时间/天123456789

累计完成施工量/米3570105140160215270325380

下列说法错误的是（）

A.甲队每天修路20米

B.乙队第一天修路15米

C.乙队技术改进后每天修路35米

D.前七天甲，乙两队修路长度相等

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用；68：模型思想；69：应用意识.

【分析】根据题意和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

甲队每天修路：160-140=20（米），故选项A正确；

乙队第一天修路：35-20=15（米），故选项8正确；

乙队技术改进后每天修路：215-160-20=35（米），故选项C正确；

前7天，甲队修路：20X7=140米，乙队修路：270-140=130米，故选项O错误；

故选：D.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

解答.

12.（3分）（2019•威海）如图，。尸与无轴交于点A（-5,0）,B（1,0）,与y轴的正半

轴交于点C.若/AC3=60°,则点C的纵坐标为（）

A.V13+V3B.2“丐班C.472D.272+2

【考点】D5：坐标与图形性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】连接B4,PB,PC,过产作POLAB于。，PELBC于E,根据圆周角定理得到

ZAPB=120°,根据等腰三角形的性质得到/抬8=/尸54=30°,由垂径定理得到

=BD=3,解直角三角形得到PD=M，E4=P2=PC=2b，根据勾股定理得到CE=

Jp,2_pE2=412-4于是得到结论.

【解答】解：连接B4,PB,PC,过P作尸于。，PELBC于E,

VZACB=60°,

/.ZAPS=120°,

"：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA=3Q°,

VA(-5,0),B(1,0),

：.AB=6,

：.AD=BD^3,

:.PD=M，PA=PB=PC=?M，

'：PD±AB,PE±BC,ZAOC=90°,

四边形PEOO是矩形，

：.OE=PD=M，PE=OD=2,

CE=pQ2_pg2=(^12-4=2V2>

?.OC=CE+OE=2&+V5，

点C的纵坐标为2A/2+V3.

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出

辅助线是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）

13.（3分）（2019•威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置

（直角顶点在直尺的一条长边上）.若Nl=23°,则N2=68°.

【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】由等腰直角三角形的性质得出/A=/C=45°,由三角形的外角性质得出/AGB

=68°,再由平行线的性质即可得出N2的度数.

【解答】解：ABC是含有45°角的直角三角板，

AZA=ZC=45",

VZ1=23°,

：.ZAGB=ZC+Z1=68°,

'：EF//BD,

.•.N2=NAGB=68°；

故答案为：68.

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，

关键是掌握两直线平行，同位角相等.

14.（3分）（2019•威海）分解因式：2/-2X+L=2（尤-1）2.

22

【考点】57：因式分解-十字相乘法等.

【专题】512：整式.

【分析】直接提取公因式2,再利用公式法分解因式即可.

【解答】解：原式=2（x2-x+1）

4

—2（x--）2.

2

故答案为：2（x-2）2.

2

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

15.（3分）（2019•威海）如图，在四边形A3C。中，AB//DC,过点C作CE_L8C,交A。

于点E,连接BE,ZBEC=ZDEC,若AB=6,则CD=3.

DC

且

AB

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】11：计算题；551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】延长BC、AD相交于点F,可证△EBCgZkEFC,可得BC=CF,则CD为AABF

的中位线，故可求出.

【解答】解：如图，延长BC、AO相交于点凡

FX

；・/BCE=NFCE=9b°,

♦：/BEC=NDEC,CE=CE,

:•△EBC"AEFC（ASA）,

：.BC=CF,

'JAB//DC,

：.AD=DF,

•'-DC=7TAB=6X-^=3-

故答案为：3.

【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等

知识，解题的关键是正确作出辅助线.

16.（3分）（2019•威海）一元二次方程3/=4-2尤的解是凡=,羽=.

33―

【考点】A7：解一元二次方程-公式法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】直接利用公式法解方程得出答案.

【解答】解：3?=4-2%

3/+2x-4=0,

则■-4ic=4-4X3X(-4)=52>0,

故L盘厘

6__

解得：11+呵X2=-1WT3

33

故答案为：xi=-----"1」，x2~~—]3-

【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键.

17.（3分）（2019•威海）如图，在四边形48C。中，AB//CD,连接AC,BD.若/ACB=

90°，AC=BC,AB=BD,则/A£>C=105°.

【考点】JA：平行线的性质；KO：含30度角的直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】作DE±AB于E,CF±AB于F,则DE=CF,由等腰直角三角形的性质得出

CF^AF^BF^—AB,得出DE^CF^—AB=^BD,ZBAD=ZBDA,由直角三角形的

222

性质得出NAB£）=3（r,得出/8AD=N8D4=75°,再由平行线的性质即可得出答案.

【解答】解：作DELA8于E,CFLABF,如图所示：

贝I]DE=CF,

；CF_LAB,ZACB=90°,AC=BC,

：.CF^AF^BF=1-AB,

2

\'AB=BD,；.DE=CF=LAB=LBD,ZBAD=ZBDA,

22

/.ZABD=3Q°,

：.ZBAD=ZBDA=15°,

'."AB//CD,

：.ZADC+ZBAD=1SQ°,

AZAZ)C=105°；

故答案为：105°.

DC

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的

性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出NABO=30°是解

题的关键.

18.（3分）（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A,8在反比例函数y=k（人力0）

X

的图象上运动，且始终保持线段A8=4料的长度不变.M为线段48的中点，连接OM.则

线段OM长度的最小值是—及国—（用含左的代数式表示）.

【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】如图，当时，线段长度的最小.首先证明点A与点8关于直线y

=x对称，因为点A,8在反比例函数y=K"/0）的图象上，AB=4^,所以可以假

X

设A（m,—）,则5（m+4,—-4）,则有」£_=，—，解得％=毋+4处推出A（m,

minnrl-4in-4

m+4）,B（m+4,m）,可得M（m+2,m+2）,求出OAf即可解决问题.

【解答】解：如图，当。A3时，线段OM长度的最小，

•・・〃为线段A3的中点，

：.OA=OB,

二•点A,5在反比例函数y=竺（ZW0）的图象上,

x

・••点A与点5关于直线y=x对称，

・・・A8=4&,

...可以假设A(m,—则B(利+4,—-4),

inm

irr+4m-4

解得k—tir+^m,

'.A(m,m+4),B(机+4,m),

'.M(.m+2,m+1),

的最小值为V2k+8.

故答案为A/2k+8.

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19.（7分）（2019•威海）列方程解应用题：

小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米,

3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前

4分钟出发，求小明和小刚两人的速度.

【考点】B7：分式方程的应用.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小

明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案.

【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3尤米/分钟，根据题

意可得：

1200_3000

x3x

解得：x=50,

经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150,

答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟.

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.

20.（8分）（2019•威海）在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1,2,3.每

次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内.小明现已取球三次，得

分分别为1分，3分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分,

请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率.

【考点】W1：算术平均数；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出发生“五次取球得分的平均

数不小于2.2分”的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：树状图如下：

123

/T\/T\

123123123

共有9种等可能的结果数，

由于五次得分的平均数不小于2.2分，

五次的总得分不小于11分，

.•.后2次的得分不小于5分，

而在这9种结果中，得出不小于5分的有3种结果，

发生”五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率为虫=1.

93

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果

求出n,再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或8

的概率.

21.（8分）（2019•威海）（1）阅读理解

如图，点A,8在反比例函数y=1的图象上，连接A8,取线段A8的中点C.分别过点

X

A,C,8作x轴的垂线，垂足为E,F,G,CF交反比例函数y=L的图象于点。.点E,

X

F,G的横坐标分别为几-1,几,n+1（n>l）.

小红通过观察反比例函数y=L的图象，并运用几何知识得出结论：

AE+BG=2CF,CF>DF

由此得出一个关于」一,」一,2,之间数量关系的命题：

n-ln+1n

若">i,则.

-n-l-n+l-n-

(2)证明命题

小东认为：可以通过“若>20,则。的思路证明上述命题.

小晴认为：可以通过“若a>0,b>0,且则的思路证明上述命题.

请你选择一种方法证明(1)中的命题.

【考点】G2：反比例函数的图象；G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】(1)求出AE,BG,DF,利用AE+8G=2CR可得」

n-ln+1n

(2)方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小.

【解答】解：(1)\'AE+BG^2CF,CF>DF,。/=工,

n-ln+1n

n-ln+1n

故答案为：

n-ln+1n

999

(2)方法一：•••，+，-2=n+[+n己-2n+2=__2__

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

Vn>l,

・••孔(n-1)(n+1)>0,

；'L.+-L--2>o,

n-ln+1n

n-ln+1n

11

方法二：•.•亘4=4>1,

一n-1

n

n-ln+1n

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.(9分)(2019•威海)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货

厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与

地面的夹角N548=a,木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米.通过计算

判断：当sina=上，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触

5

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BM+EN的长度，再

与2比较大小即可解答本题.

【解答】解：：8H=0.6米，sina=2,

5

BH0.6

：.AB=.=1米,

sinaQ3

T

：.AH=Q.S米,

：AF="=2米,

；.BF=1米,

作FJ1BG于点J,作EKLFJ于点K,

ZEKF=ZFJB=ZAHB=90°,/EFK=NFBJ=NABH,BF=AB,

，AFBJcz,AABH,△尸8修AABH,

AEF^FK_EK_；BJ=BH=0.6米,

ABBHAH

gpl.6_FK_EK

1=0.6=0.8'

解得，EK=1.28,

：.BJ+EK=0.6+1.28=1.88<2,

，木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，

利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.

23.(10分)(2019•威海)在画二次函数y=a?+bx+c(aWO)的图象时，甲写错了一次项

的系数，列表如下

X......-10123......

y甲......63236......

乙写错了常数项，列表如下：

X......-10123......

............

y乙-2-12714

通过上述信息，解决以下问题：

(1)求原二次函数y=a，+b.t+c(aNO)的表达式；

(2)对于二次函数y=/+6x+c(aWO),当尤2-1时,y的值随x的值增大而增大;

(3)若关于X的方程a^+bx+cu笈(cz#O)有两个不相等的实数根，求左的取值范围.

【考点】AA：根的判别式；H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式;

HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】(1)由甲同学的错误可知c=3,由乙同学提供的数据选尤=-1,y=-2；x=l,

y=2,代入解析式求出a和6即可；

(2)y=-3/+2x+3的对称轴为直线》=上，抛物线开口向下；

3

(3)-3x?+2x+3-4=0有两个不相等的实数根，判别式△>()即可;

【解答】解：(1)由甲同学的错误可知c=3,

由甲同学提供的数据选x=-1,y=6；x=l,y=2,

有16=a-b+3

12=a+b+3

・・〃=1,

由甲同学给的数据a=l,c=3是正确的；

由乙同学提供的数据，可知c=-l,

x=~1,y=~2；x=1fy=2,

有卜2=a-b+c,

(2-a+b+c

.•尸，

lb=2

・・d~~1fZ?=2,

；.y=x~+2x+3；

(2)y=f+2x+3的对称轴为直线尤=-1,

...抛物线开口向上，

当尤2-1时，y的值随x的值增大而增大；

故答案为三-1；

(3)方程尤+c=笈(aWO)有两个不相等的实数根，

即/+2尤+3-k=Q有两个不相等的实数根，

.,.△=4-4(3-%)>0,

：.k>2；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，熟练函数图

象是解题的关键.

24.(12分)(2019•威海)如图，在正方形ABCD中，AB=10cm,E为对角线8。上一动点，

连接AE,CE,过E点作EFLAE,交直线8C于点?E点从2点出发，沿着2D方向

以每秒2c机的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止.设ABE尸的面积为yc相2,E

点的运动时间为X秒.

备用图

（1）求证：CE=EF；

（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求面积的最大值.

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEA/gzXEFN和△ADEgZkCQElSAS）,

可得AE=CE=EF；

（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股

定理计算BD的长可得x的取值；

（3）根据（2）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论.

【解答】（1）证明：如图1,过E作交AD于M,交BC于N,

:四边形ABCD是正方形,

C.AD//BC,AB±AD,

：.MN±AD,MNLBC,

：./AME=ZFNE=90°=ZNFE+ZFEN,

,：AE1EF,

：./AEF=ZAEM+ZFEN=90°,

ZAEM=ZNFE,

VZ£)BC=45°,ZBNE=90°,

：・BN=EN=AM,

：.AAEM^AEFN(A4S),

：.AE=EF,

•・•四边形A3CD是正方形，

：.AD=CD,NADE=NCDE,

•：DE=DE,

：.AADE^ACDE(SAS),

：.AE=CE=EF；

(2)解：在RtABCD中，由勾股定理得：5。={102+]02=10&,

・・・0«加,

由题意得：BE=2x,

:.BN=EN=4^,

由(1)知：AE=EF=EC,

分两种情况：

①当OWxwEZ时，如图1,

2

;AB=MN=1O,

:.ME=FN=10-，扬,

：.BF=FN-BN=TQ--扬=10-2、后,

•■•v=yBF'EN=y(10-2V2x)'V2x=-2/+5每

②当写2Vx《5g时，如图2,过E作EN_LBC于N,

:.EN=BN=4^K,

:.FN=CN=10-、&

:.BF=BC-2CN=10-2(10-扬)=2匹'-10,

•••尸牺回瑟(2后x-10)•后x=27-5扬；

产-2x2+5&x(04x《)

综上，y与尤之间关系的函数表达式为：厂

y=2x2-5V2x(-^-<X<5V2)

(3)解：①当OWxW且0时，如图1,

2

尸-2?+5V5C=-2(x--^2.)2+空,

44

:-2<0,

.•.当苫=平时，y有最大值是蓍；

②当岑2VxW5加时，如图2,

，尸2/-5扬=2(x--^-)2-空,

44

V2>0,

当尤>勺返时，y随尤的增大而增大

4

当尤=5加时，y有最大值是50；

综上，△BEF面积的最大值是50.

图2

【点评】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，

勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握

正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键.

25.(12分)(2019•威海)(1)方法选择

如图①，四边形ABC。是。。的内接四边形，连接AC,BD,AB^BC^AC.求证：BD

^AD+CD.

小颖认为可用截长法证明：在。8上截取连接AM…

小军认为可用补短法证明：延长CZ)至点N,使得ON=A。…

请你选择一种方法证明.

(2)类比探究

【探究11

如图②，四边形ABC。是。0的内接四边形，连接AC,BD,BC是。。的直径，AB=

AC.试用等式表示线段AD,BD,CZ)之间的数量关系，井证明你的结论.

【探究2】

如图③，四边形ABC。是。。的内接四边形，连接AC,BD.若是。。的直径，Z

ABC=30°,则线段A。，BD,CD之间的等量关系式是BD=^^CD+2AD.

(3)拓展猜想

如图④，四边形ABC。是。。的内接四边形，连接AC,BD.若BC是。。的直径，BC-.

AC：AB=a：b：c,则线段A。，BD,CD之间的等量关系式是BD=&CD+2AD.

bb

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)方法选择：根据等边三角形的性质得到NACB=/ABC=60°,如图①，

在上截取。EMA。，连接AM,由圆周角定理得到NAO8=/ACB=60°,得到AM

=A。，根据全等三角形的性质得到于是得到结论；

(2)类比探究：如图②，由2C是O。的直径，得到/BAC=90°,根据等腰直角三角

形的性质得到/ABC=/ACB=45°,过A作交8D于推出是等腰

直角三角形，求得DM=GD根据全等三角形的性质得到结论；

【探究2】如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到NBAC=90°,NACB=60°,

过A作AM±AD交BD于M,求得NAM£)=30°,根据直角三角形的性质得到MD=2AD,

根据相似三角形的性质得到BM=4^CD,于是得到结论；

(3)如图④，由BC是。。的直径，得到NBAC=90°,过A作交8。于

求得/MAO=90°,根据相似三角形的性质得到BM=&CD,DM=^-AD,于是得到结

bb

论.

【解答】解：(1)方法选择：'：AB=BC=AC,

：.ZACB^ZABC^60°,

如图①，在8。上截取连接AM,

VZADB=ZACB=60°,

・•.△AOM是等边三角形，

：.AM=AD,

'：ZABM=NACD,

VZAMB=ZADC=120°,

AABM^AACD(AA5),

：.BM=CD,

：.BD=BM+DM=CD-^-AD；

(2)类比探究：如图②，

・・・5C是OO的直径，

ZBAC=90°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

过A作AM±AD交BD于M,

VZADB=ZACB=45°,

・・・AADM是等腰直角三角形，

：.AM=ADfZAMD=45°,

：.DM=^2AD,

：.ZAMB=ZADC=135°,

•・•ZABM=ZACD,

：.AABM^AACD(AAS),

；.BM=CD,

・・・BD=BM+DM=CD-^/2AD；

【探究2】如图③，:若5C是。。的直径，ZABC=30°,

AZBAC=90°,ZACB=60°,

过A作AM±AD交BD于M,

VZADB=ZACB=60°,

ZAMD=30°,

：.MD=2AD,

VZABD=ZACDfZAMB=ZADC=150°,

，AABM^/\ACD,

，典4s

CDAC

:.BM=MCD,

：.BD=BM+DM=y/3CD+2AD；

故答案为：BD=^f3CD+2AD；

(3)拓展猜想：BD=BM+DM=&CD+且AD；

bb

理由：如图④，：若8C是。。的直径，

/.ZBAC=90°,

过A作AM1AD交BD于M,

：.ZMAD=90°,

：.ZBAM=ZDAC,

：.^ABM^AACD,

•BM_AB_C

,百『V

b

VZADB=ZACB,ZBAC=ZNAD=90°,

AADM^/\ACB,

.AD=AC=b_

"DMBC7'

：.DM=—AD,

b

：.BD=BM+DM=SCD+AAD.

bb

故答案为：BD^CD+^-AD

bb

国④

A

D

C

图③

【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等

腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（m+n）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：oXIO",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

5.塞的乘方与积的乘方

（1）事的乘方法则：底数不变，指数相乘.

S）n=amn〃是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

6.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下