人教A版高中数学必修二 73《复数的三角表示课时1》教学设计

《复数的三角表示》教学设计

课时1复数的三角表示式

必备知识学科能力学科素养高考考向

学习理解能力

直观想象

【考查内容】

观察记忆

1.复数的三角表

数学运算

—:—IX复数的三角表示，复数乘、除运算的

不武概括理解

逻辑推理几何意义,复数与代数、三角、向量、

应用实践能力

几何之间的联系

分析计算

【考查题型】

迁移创新能力

直观想象选择题、填空题

2.复数乘、除运

算的三角表示数学运算

及其几何意义

逻辑推理

一、本节内容分析

本节内容从复数的向量表示出发，结合三角函数知识，得到复数的另一种重要

表示形式——三角表示，进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.复数

乘、除运算的三角表示形式简洁，在很多情况下可以简化复数的乘、除运算;其几

何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此，可以方便地解决很多平面向量与平面几

何问题.本节侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.本节虽然

被定位为选学内容，但是建议还是应加强学习复数与代数、向量、三角、几何的

联系，使得学生通过复数的三角表示的学习，在直观想象和数学运算素养方面得到

提升.

本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核直观想象核

1.复数的三角表示式

心心

数学运算

2.复数乘、除运算的三角表示及其几

知素

何意义

识逻辑推理养

二、学情整体分析

学生掌握了复数的四则运算的基本要领,但是大部分学生缺乏用联系的观点

看问题的思维习惯.将复数与向量、三角函数、几何之间进行联系,是一个理解上

和运用上的难点，学生对复数的三角表示理解不清，复数的代数形式与三角形式的

转化不灵活,运用复数乘、除法的几何意义解决综合问题也是一个难点.而充分注

意到复数本质上是一对有序实数，从复数的向量表示出发理解,并突出复数与向量、

三角函数、几何之间的联系，是突破这个难点的关键.

学情补

充：________________________________________________________________________

三、教学活动准备

【任务专题设计】

1.复数的三角表示式

2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

【教学目标设计】

1.了解复数的三角表示式,理解复数与三角函数之间的关系.

2.理解复数乘、除运算的几何意义,会用三角表示其乘、除运算.

【教学策略设计】

复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，从复数的运算

看,复数代数形式的加、减运算的几何意义，就是相应平面向量的加、减运算.复数

乘、除运算的三角形式的几何意义,就是平面向量的旋转、伸缩.复数的代数表示、

三角表示及其运算都具有明显的几何意义，注重在关键点上强化数形结合,要注重

引导，注重联系，有助于学生深刻地认识、理解复数的表示与运算，提升学生的数学

运算、直观想象、逻辑推理核心素养.

【教学方法建议】

情境教学法、问题教学法，还有

【教学重点难点】

重点1.复数的三角表示式.

2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

难点1.复数与三角、向量、几何相关知识间的联系.

2.利用乘、除的几何意义解决问题.

【教学材料准备】

1.常规材料：多媒体课件、

2.其他材

料:__________________________________________________________________

四、教学活动设计

教学导入

师:前面我们研究了复数。+万及其四则运算，同学们都了解到复数和平面向

量的联系很大，我们知道，复数可以用。+历（a,he/?）的形式来表示，复数。+历与

复平面内的点Z（a,。）是对应的，与平面向量OZ=（a,也是对应的.

大家思考这样一个问题:借助复数的几何意义，复数还能不能用其他形式来表示

呢？

【学生回顾复习，交流讨论】

师:我们知道复平面内向量的坐标可以唯一确定一个复数，而向量也可以由它

的大小和方向唯一确定,那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数

呢？如何表示？这将引出我们本节课重点:复数的三角表示.

【设计意图】

以向量和复数做对比，引出课程主题,让学生形成数学系统，并引出复数的另

一种表示方式

教学精讲

师:同学们，向量的大小可以用模来刻画,那么向量的方向如何刻画?联系一下

《三角函数》一章中的任意角表示，我们可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向

量0Z所在射线（射线0Z）为终边的角0来刻画0Z的方向.

【要点知识】

复数的三角表示式

/7—rCCS0

记向量的模|OZH"+bi|=r,由图可以得到,八’

Z?=rsin3.

【以学定教】

从学生的角度出发，以向量和三角作知识铺垫，引入复数的三角形式相关概念,

有助于学生对概念最初的把握

师:设复数z=a+匕i,大家试着将。和b以这种形式代回到复数的代数形式中，

写出表达式.

【学生思考问题，展开计算、讨论】

生:得到。+历=rcos8+irsin8.

师:正确!我们再进行一下简化.

【归纳总结】

复数的三角表示式的推导

a+bi-rcos，+irsin6=r(cose+isin0),

其中r=y/a2+b2,

cos^=—,sin^=—.

【观察记忆能力】学生通过完成思考题目，形成完整的思路，通过观察图形可

以建立对复数三角形式的认识，培养观察记忆能力

师:当点Z在实轴或虚轴上时,这个结论还成立吗?

生:成立，当点Z在实轴上时功=0,sin8=sin0=0;

JT

当点Z在虚轴上时,a=0,cos6=cos—=0.

2

师:正确!这样，我们就可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角。表示

了复数z.

【要点知识】

复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+isin(9)的形式.

其中,r是复数z的模;。是以x轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线(射线

0Z)为终边的角，叫做复数z=a+历的辐角;r(cos8+isin8)叫做复数z=a+bi的

三角表示式,简称三角形式.a+例叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

师:显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,联系前面所学任意角

的概念，这些角相差为哪个数的整数倍?例如复数i的辐角怎么表示?复数1+i呢？

【学生积极思考，教师指定一名同学回答】

生:相差2〃的整数倍，复数i的辐角是2+2%乃伏eZ),复数1+i的辐角是

2

兀

—+2k兀(kGZ).

师:非常好!那么复数0呢?因为复数0对应着零向量，而零向量的方向是任意的,

所以复数0的辐角也是任意的.

【以学论教】

从学生的角度出发，以学生熟悉的任意角的概念引入，把复数的辐角概念展示

出来，有助于后面对辐角主值的理解

【要点知识】

复数的辐角主值

我们规定在0,,。<2〃范围内的辐角6的值为辐角的主值，通常记作argz.

注意：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2"的整

数倍.

(2)复数0的辐角是任意的.

(3)0,,argZ<2TV.

rr477

师：所以我们在表示时这样书写：2年1=0m啕=5皿8(-1)=乃,唯(-。=了.

师:同学们，我们明白了复数的三角表示式后，来通过几个题目练习一下，加深

印象.

【典型例题】

复数的三角表示式

例1画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

1V3.

(1)-+—1；

22

(2)l-i.

【情境学习】

学生在具体问题情境中，巩固所学概念,深入理解复数的三角表示式

师:同学们注意，只需要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转

化为三角形式.同学们认真思考，稍后请两位同学到黑板上书写.

【学生积极思考、练习计算，教师指定学生在黑板上完成作答并予以肯定和

点评】

师:很好，同学们完成得都非常好！我们配合图示可以更清晰地、直观地了解

它的几何意义.

【典例解析】

复数的三角表示式

解:⑴

⑵

【概括理解能力】

学生通过独立完成练习题目，再结合形象的图示，可以建立对复数三角形式的

认识，培养概括理解能力

师:注意到第⑴题中,「=」42+［走］=l,cose=L因为与对应的

Y⑵I2J222

点在第一象限，所以arg［；+手］=所以;+qi=cosg+ising.而第⑵题中,

r=yjt2+(—I)2=A/2,COS0=-j==.但与1-i对应的点在第四象限，所以

ai-g(l-i)=所以l-i=01c°s?+isin?).

师:以上是将复数的代数形式转化为三角形式，概括一下步骤,可以总结为.

【归纳总结】

复数的代数形式化三角形式的步骤

复数的代数形式化三角形式的步骤：

(1)先求复数的模.

(2)决定辐角所在的象限.

(3)根据象限求出辐角.

(4)复数的三角形式.

【分析计算能力】通过不断练习之后，教师总结做题步骤，更有助于学生提升

自己的分析计算能力

师:但是同学们要注意:把一个复数表示成三角形式时，辐角。不一定取主值，

例如:及cosf-^+zsinf-^也是l-i的三角形式.接下来，我们再练习几道由

三角形式转化为代数形式的题目.

【典型例题】

复数的代数表示式

例2分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复

数表示成代数形式：

(l)cos;r+isin；T；

(2)6(cos+isin.

I66)

师:由三角形式转化为代数形式，那也就是上述步骤逆过程了.请另外两名同

学到黑板上作答.

【教师指定学生回答，并予以肯定，教师展示解答】

【少教精教】

教师在教授相关知识方法之后，让学生先自主完成典型题目，使学生在独立计

算中，加深对这一部分概念的理解程度，教师少教，达到精教的目的

【典例解析】

复数的代数表示式

解:(1)复数cos/r+isin)的模r=1,一个辐角对应的向量如图①所示.

所以

cos7r+isin%=—1+Oi=—1.

y

1/

0x

①

⑵复数61cos坐+isin当］的模r=6,一个辐角”小，对应的向量如图

k66J6

②所示.所以

bfcos—+isin—1=6cos—+f6sin—1i=6x—+6xf—L\=3V3-3i

I66J6I6J2L2j

师:同学们再思考这样一个问题:两个用三角形式表示的复数在什么条件下相

等？

【学生积极思考,同学间互相交流讨论，教师总结并展示】

【自主学习】

教师在具体的问题情境中启发学生主动思考，学生进行了自主思考之后，对这

一部分的知识理解会更加深入

【归纳总结】

三角形式的复数相等条件

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主

值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

师:好了,同学们，理解了复数的这种表示方式后，我们进行一下练习，来看一下

这几道题.

【巩固练习】

复数的三角表示

1.把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：

(1)4；

(2)-i;

⑶2G+2i;

(4)[一字.

2.下列复数是不是三角形式?如果不是，把它们表示成三角形式:

1(7711..7711\

(1)—cos----isin—;

2(444)

小、1(7n1

⑵一5cosy4-isin—;

33J

(3)；|sin5£4+icos5£万;

12127

/八771..7TC

(4)cos-----FIsin——;

55

71

(/5c)o2cos—乃+Ii•si•n—.

I36

3.把下列复数表示成代数形式:

⑴6"5+isin

5万..5万\

(2)21cos——FisinI.

【分析计算能力】

在具体的问题中,不断加强练习复数的三角形式与代数形式，加深对概念的理

解，培养分析计算能力

师:同学们,现在梳理一下本节主要内容，请同学们分组讨论，梳理出本节的几

个核心知识点以及做题方法.

【学生分组交流，查阅课本、笔记，总结重要知识点】

【课堂小结】

复数的三角表示式

1.复数的三角表示式

2.复数的代数形式化为三角形式的步骤

3.三角形式的复数相等条件

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主

值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等

【设计意图】

通过本节课的学习，学生理解复数的三角表示式、会进行复数的代数形式与

三角形式的互化、掌握三角形式的复数相等条件等知识,通过课堂小结，锻炼了学

生的归纳总结能力

【课后作业】教材P89习题7.3第1~2题

师:本节课我们主要学习了复数的三角表示式，注意复数和向量、三角函数、

几何之间的密切联系，在不同的问题情境中可以选用恰当的形式进行化简、计算,

必要时画出复平面坐标系中的向量图示，方便理解.

教学评价

本节课主要学习复数的三角形式，属于复数一章的选学部分，但是对于理解复

数与其他知识间的关系意义重大，也很重要，本节深入研究了复数与实数、向量、

三角函数、几何之间的关系,除了复数的代数形式，在有些问题情境下，其三角形式

会更加直观、简便.通过复数的三角形式，可以赋予其乘、除运算的几何意义，即是

平面向量