人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元强化试卷检测

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元专题强化试卷检测

一、选择题

1.如图，菱形A8CD中，ZABC=60°,A8=4,对角线AC、BD交于点O,E是线段8。上

一动点，F是射线DC上一动点，若/AEF=12O。，则线段EF的长度的整数值的个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图所示，E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,AE交CD于点F,那

3.如图，NMQV=90°边长为2的等边三角形ABC的顶点A3分别在边,ONh

当5在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程

中，点C到点。的最大距离为（）

厂/-5

A.2.4B.V5c.V3+1D.-

4.正方形ABCD,CEFG按如图放置，点B,C,E在同一条直线上，点P在BC边上，

PA=PF,且/APF=9（）°，连接AF交CD于点M,有下列结论：①EC=BP；

22

②/BAP-NGFP；③AB~+CE——AF；④S正方形ABCD+S正方形CEFG=2sAPF.其中

正确的是（)

@@④c.®@@D.①②③④

5.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分/BAD,交BC于点E且AB=AE,延长AB与DE

的延长线相交于点F,连接AC、CF.下列结论：①AABC丝AEAD；②4ABE是等边三角

形；③BF=AD；@SABEF—SAABC:⑤SACEF=SAABE;其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.平行四边形的一边长是12,那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）

A.10和34B.18和20C.14和10D.10和12

7.如图所示，在四边形A8C。中，AD^BC,E、尸分别是AB、CO的中点，

AD，的延长线分别与£户的延长线交于点〃、G,则（）

A.ZAHE>ZBGEB.ZAHE=NBGE

C.ZAHE<ZBGED.NAHE与ZBGE的大小关系不确定

8.如图，在菱形A8CO中，若E为对角线AC上一点，且CE=CD,连接£>E,若

DE

AB=5,AC=S,则~=()

AD

4

D.

5

9.如图，已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10,0）,

点8（0,6）,点P为8c边上的动点，将AO8P沿0P折叠得至必。PD,连接CD、AD.则

下列结论中：①当/BOP=45。时，四边形。8PD为正方形；②当NBOP=30。时，△OAD的

面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2取-6；④当ODLAD时，BP=

2.其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在平行四边形ABC。中，AE平分44。，交于点E且A6=A£，延长

A5与OE的延长线相交于点尸，连接AC、C尸.下列结论：①△ABC也△E4D；

②AABE是等边三角形；©BF^AD-,④S△耐=5。笈；⑤5.“-=5。的；其中正

确的有（）

C.4个D.5个

二、填空题

11.如图，RtAABC中，/C=90。，AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RMAOP.当P从点D出发运动

12.如图，菱形ABCO的BC边在X轴上，顶点。坐标为（一3,0）,顶点。坐标为

（0,4）,点E在y轴上，线段防//x轴，且点尸坐标为（8,6）,若菱形ABC0沿x轴左

右运动，连接4E、DF，则运动过程中，四边形AOFE周长的最小值是.

13.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段

AB±,连接EF、CF,则下列结论：⑴NDCF+g/D=90°；⑵NAEF+NECF=90°；

⑶SBEC=2ScEF；⑷若NB=80°,则NAEF=50。.其中一定成立的是（把所有正确结

论的字号都填在横线上）.

14.如图，中，/8=90°,43=35，将248£绕点4逆时针旋转45°，得到

过。作OC_L8E交砥的延长线于点C,连接8"并延长交OC于点F，连接

DE交BF于点、0.下列结论：①。七平分NHOC；②。O=QE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE；⑤”是8F的中点，其中正确的是

15.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中线；④/EAM=/ABC.其中正确的是.

16.在ABC1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则。所的周长为.

17.如图，在矩形ABCD中，NACB=30。，BC=21J,点E是边BC上一动点（点E不与B,

C重合），连接AE,AE的中垂线FG分别交AE于点F,交AC于点G,连接DG,GE.设

AG=a,则点G到BC边的距离为（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为

18.如图,在平面直角坐标系中，直线y=gx+l与x轴、y轴分别交于A,B两点，以AB为

边在第二象限内作正方形ABCD,则D点坐标是；在y轴上有一个动点M,当

△MDC的周长值最小时，则这个最小值是.

19.如图，点£、F分别在平行四边形A8CD边BC和4?上（E、F都不与两端点重合），

连结AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点H.令——=〃，

BC

EC

一=加.若用=〃，则图中有个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

BC

rn+n=\,且四边形ABCD的面积为28,则四边形FGE”的面积为.

D

20.如图，在RtZVlBC中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,点。为平面内动点，且满足AD

=4,连接BD,取BD的中点£,连接CE,则CE的最大值为.

三、解答题

21.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且/DAF=60。，连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

①NBCF=

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若AB=6,

CD=；BC,请直接写出C尸的长及菱形ADEF的面积.

图（2）图（3）

图（1）

22.如图，平行四边形A8CO的对角线AC、BD交于点0,分别过点C、。作

CF//BD,DF//AC,连接3F交AC于点E.

⑴求证：FCE^BOE；

（2）当NADC等于多少度时，四边形OCRD为菱形?请说明理由.

23.如图1,在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM、AN分别交BD于点

P、Q，连接CQ、MQ.且CQ=MQ.

（1）求证：/.QAB=Z.QMC

（2）求证：NAQM=90°

图1图2

24.正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点。，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个

动点（点P不与点B,0,D重合），连接CP并延长，分别过点D,B向射线作垂线，垂

足分别为点M,N.

（备用图）

（1）补全图形，并求证：DM=CN；

（2）连接OM,ON,判断OMN的形状并证明.

25.如图，在矩形A8CO中，E是AD的中点，将AABE沿破折叠，点A的对应点为

（1）填空：如图1,当点G恰好在边上时，四边形A8G£的形状是；

（2）如图2,当点G在矩形A88内部时，延长BG交。。边于点

①求证：BF=AB+DF.

②若A。=GAB,试探索线段与尸c的数量关系.

26.如图平行四边形A8CD,E,F分别是AD,8c上的点，且4E=CF,EF与AC交于点0.

（1）如图①.求证：OE=OF；

（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点4落在4处，点8落在点防

处，设FB交CD于点G.4B分别交CD,DE于点H,P.请在折叠后的图形中找一条线

段，使它与EP相等，并加以证明；

（3）如图③，若AAB。是等边三角形，AB=4,点F在BC边上，且8F=4.则——

OF

（直接填结果）.

图①

27.已知如图1,四边形A8CO是正方形，NE4R=45".

（1）如图1,若点E,厂分别在边BC、CD上，延长线段C8至G,使得若

BE=3,BG=2,求£尸的长;

图I

（2）如图2,若点瓦F分别在边CB、。。延长线上时，求证：EF=DF—BE.

（3）如图3,如果四边形4BCD不是正方形，但满足

46=4。,/54。=/88=90°,/胡尸=45°,且8。=7,OC=13,CF=5,请你直接

写出班的长.

28.在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1,M点坐标为（m,0）,C点坐标

为（0,n）,已知m,n满足A—5+|5-同=。.

（2）①如图1，P,Q分别为OM,MN上一点，若NPCQ=45。，求证：PQ=OP+NQ；

②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点，SR,HG交于点D.若NSDG=

135°,HG=W^，则RS=:

2

(3)如图3,在矩形OABC中，0A=5,0C=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动

点P在线段OF是(动点P与。，F不重合)，动点Q在线段0A的延长线上，且AQ=

FP,连接PQ交AF于点N,作PMLAF于M.试问：当P,Q在移动过程中，线段MN的

长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由.

29.阅读下列材料，并解决问题：

如图1,在RtMBC中，NC=90°,AC=8，8C=6,点。为AC边上的动点(不与

4n

A、C重合)，以A。，3。为边构造ADBE，求对角线OE的最小值及此时的值

AC

是多少.

图1

在解决这个问题时，小红画出了一个以A。，BO为边的ADBE(如图2),设平行四

边形对角线的交点为0,则有AO=BO.于是得出当ODJ_4c时，OD最短，此时

£)£取最小值，得出DE的最小值为6.

图2

参考小红的做法，解决以下问题：

(1)继续完成阅读材料中的问题：当。E的长度最小时，-=；

AC

(2)如图3,延长到点尸，使AF=1cM.以OR,为边作FDBE，求对角线

An

OE的最小值及此时——的值.

AC

30.已知：如图，在A6C中，直线PQ垂直平分AC,与边A3交于点E,连接CE,

过点。作。///84交P。于点F，连接

⑴求证：四边形AEC尸是菱形；

(2)若AC=8,AE=5,则求菱形AECF的面积.

B

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.c

解析：c

【解析】

【分析】

连结CE,根据菱形的性质和全等三角形的判定可得AA8用ACBE,根据全等三角形的性质

可得AE=CE,igzOCE^a,ZOAE^a,ZAEO=90°-a,可得NECF=NEFC,根据等角对

等边可得CE=EF,从而得到AE=EF,在R3A8。中，根据含30。的直角三角形的性质得到

40=2,可得2aE",从而得到EF的长的整数值可能是2,3,4.

【详解】

解：如图，连结CE

C

..,在菱形A8CD中，AB=BC,ZABE=NCBE=30°,BE=BE,

△ABE^△CBE,

AE=CE,

0CE=a,Z0AE=a,ZAEO=90°-a,

：.ZDEF^120°-(90°-a)=30°+a,

/.ZEFC=ZCDE+NDEF=30°+30°+a=60°+a,

ZECF=NDCO+ZOCE=60°+a,

：.ZECF=NEFC,

：.CE=EF,

：.AE=EF,

■■■AB=4,ZABE=30°,

在RtAABO中,40=2,

OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

.•・A£的长的整数值可能是2,3,4,即EF的长的整数值可能是2,3,4.

故选：C.

【点睛】

考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30。的直角三角形的

性质，解题的关键是添加辅助线，证明448艮△CBE.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据等边对等角的性质可得NE=NCAE,然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出/E=22.5。，再根据三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】

解：VCE=AC,

.,.ZE=ZCAE,

VAC是正方形ABCD的对角线，

.".ZACB=45°,

.•.ZE+ZCAE=45°,

AZE--X450=22.5。，

2

在ACEF中，/AFC=/E+NECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对

角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是

解题的关键.

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

如图，取AB的中点D.连接CD.根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC,只

有当0、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD,由等边三角形的边长为2,

根据D为AB中点，得到BD为1,根据三线合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD

中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的

长，进而求出DC+OD,即为OC的最大值.

【详解】

解：如图，取AB的中点D,连接CD.

ABC是等边三角形，且边长是2,；.BC=AB=2,

:点D是AB边中点，

.•.BD=-AB=1,

2

CD=ylBC2-BD2=产了=6即CD=也；

连接OD,OC,有OCWOD+DC,

当0、D、C共线时，0C有最大值，最大值是OD+CD,

由（1）得，CD=G，

又「△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，

AOD=-AB=1,

2

.•.OD+CD=1+百，即OC的最大值为1+6.

故选：C.

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定

理，其中找出0C最大时的长为CD+OD是解本题的关键.

4.D

解析:D

【分析】

①由同角的余角相等可证出RF=84P,由此即可得出所=BP，再根据正方形的性

质即可得出①成立；②根据平行线的性质可得出NGEP=NE尸尸，再由=即

可得出②成立；③在RtAABP中，利用勾股定理即可得出③成立；④结合③即可得出④成

【详解】

解：①ZEPF+ZAPH=90°,ZAPB+ZBAP=90°,

：.ZEPF=ZBAP,

在和A班P中，

'/EPF=NBAP

<NFEP=NPBA,

PA=PF

:.AEPF^^BAP(AAS),

:.EF=BP,

四边形C£FG为正方形，

：.EC=EF=BP,即①成立；

②FG//EC,

:.Z.GFP=Z.EPF,

又ZEPF=ZBAP,

:.ZBAP=ZGFP,即②成立；

③由①可知£C=8P,

在RtAABP中，AB2+BP2=AP2>

B4=PF-S.NAPE=9O°,

.♦.△APb为等腰直角三角形，

AF2=AP2+FP1=2AP2,

AB'+BP2AB1+CE1AP-AF1,即③成立；

2

222

④由③可知：AB+CE^AP^

..5正方形48CO+S正方mcGFE=2S,MPF，即④成立.

故成立的结论有①②③④.

故选：D.

D,A

ECpB

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题

的关键是逐条分析五条结论是否正确.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，

通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键.

5.B

解析：B

【分析】

根据平行四边形的性质可得AD〃BC,AD=BC,根据平行线的性质可得NBEA=NEAD,根据

等腰三角形的性质可得ZABE=NBEA,即可证明/EAD=NABE,利用SAS可证明

△ABC^AEAD；可得①正确；由角平分线的定义可得NBAE=NEAD,即可证明

ZABE=ZBEA=ZBAE,可得AB=BE=AE,得出②正确；由SAAEC=SMEC,SAABE=SACEF得出

⑤正确；题中③和④不正确.综上即可得答案.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

/.ZBEA=ZEAD,

：AB=AE,

.,.ZABE=ZBEA,

；./EAD=/ABE,

AB=AE

在4ABC和AEAD中，<ZABE=ZEAD,

BC=AD

/.△ABC^AEAD（SAS）；故①正确；

VAE平分/BAD,

/BAE=NDAE,

NABE=NBEA=NBAE,

.,.ZBAE=ZBEA,

，AB=BE=AE,

...△ABE是等边三角形；②正确；

AZABE=ZEAD=60°,

:△FCD与^ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

SAFCD=SAABC>

VAAEC与4DEC同底等高，

•,«SAAEC=SADECJ

**«SAABE=SACEF:⑤正确.

若AD二BF,则BF=BC,题中未限定这一条件，

，③不一定正确；

如图，过点E作EH_LAB于H,过点A作AGJ_BC于G,

VAABE是等边三角形，

AAG=EH,

若SMEF=SMBC,则BF二BC,题中未限定这一条件,

，④不一定正确；

综上所述：正确的有①②⑤.

故选:B.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练

掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键.

6.B

解析：B

【分析】

作CE〃BD,交AB的延长线于点E,根据平行四边形的性质得到4ACE中，

AE=2AB=24,再根据三角形的三边关系即可得到答案.

【详解】

解：如图，作CE〃BD,交AB的延长线于点E,

VAB=CD,DC/7AB

...四边形BECD是平行四边形，

；.CE=BD,BE=CD=AB,

.•.在4ACE中，AE=2AB=24<AC+CE,

四个选项中只有A,B符合条件，但是10,34,24不符合三边关系,

故选:B.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，利用平行线将对角线及边转化为三角形

是解题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

连接BD,取中点I,连接IE,IF,根据三角形中位线定理得IE=^2AD,且平行AD,IF=

2

^BC且平行BC,再利用AD>BC和IE〃AD,求证NAHE=NIEF,同理可证/BGE=

2

ZIFE,再利用IE>IF和NAHE=NIEF,/BGE=NIFE即可得出结论.

【详解】

连接BD,取中点I,连接IE,IF

VE,F分别是AB,CD的中点，

.'IE,IF分另lj是AABD,ABDC的中位线,

—2AD,且平行AD,IF=，BC且平行BC,

22

VAD>BC,

VIE/7AD,

/AHE=NIEF,

同理NBGE=NIFE,

;在AIEF中,IE>IF,

.".ZIFE>ZIEF,

VZAHE=ZIEF,ZBGE=ZIFE,

AZBGE>ZAHE.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有一定

的拔高难度，属于难题.

8.B

解析：B

【分析】

连接BD,与AC相交于点0,则ACLBD,A0=-AC=4,由A£)=AB=5,根据勾股

2

定理求出D0,求出E0,由勾股定理求出DE,即可得到答案.

【详解】

解：连接BD,与AC相交于点。，则ACLBD,

在菱形A8CD中，A0=-AC=4,

2

'：AD=AB=CD=5,

在RtAAOD中，由勾股定理，得：

DOfj?=3,

;CE=CD=5,4c=8,

AE=8—5=3,

.•・O£=4—3=1,

在RtAODE中，由勾股定理，得

DE=S+f=715,

.DEVio

••---=----.

AD5

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段的和差关系，解题的关键是正确作出辅助

线，利用勾股定理求出DE的长度.

9.D

解析：D

【分析】

①由矩形的性质得到NO3C=90°，根据折叠的性质得到0B=0D,

1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,推出四边形是矩形，根据正方形的判定

定理即可得到四边形08叨为正方形；故①正确；

②过。作于H,得到。4=10,08=6,根据直角三角形的性质得到

!。。=3,根据三角形的面积公式得到△Q4Z)的面积为g映10=15,

故②正确；

③连接0C,于是得到8+CD.OC,即当OD+CD=OC时，8取最小值，根据勾

股定理得到CO的最小值为2后-6；故③正确；

④根据已知条件推出P,D，A三点共线，根据平行线的性质得到？。尸82P0A,等量

代换得到？OR41POA,求得公=3=10,根据勾股定理得到

BP=BC-CP=10-8=2,故④正确.

【详解】

解：①四边形。ACB是矩形，

.•.NOBC=90。，

将bOBP沿OP折叠得到AOPO,

：.OB=OD,1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,

Q?BOP45?,

\?DOP?BOP45?,

:.ZBOD=90°,

\?BOD?OBP?ODP90?,

.••四边形O3PD是矩形，

OB=OD,

二四边形OBPD为正方形；故①正确；

②过。作于

点4(10,0),点6(0,6),

.•.OA=10,OB=6,

\OD=OB=6,?BOP?DOP30?,

\?DOA30?,

\DH=-OD=3,

2

.•.△Q4O的面积为:OAgD4=拗10=15,故②正确：

③连接OC,

则O£>+CD..OC,

即当OO+8=OC时，CD取最小值，

QAC=OB=6,04=10,

\OC=-JOA2+AC2=V102+62=2A/34，

\CD=OC-OD=2>/34-6,

即CO的最小值为2后-6;故③正确；

④OD1AD,

ZADO=90°,

Q?ODP?OBP90?,

\?ADP180?,

:.P,D，A三点共线，

QOA//CB,

\?OPB?POA,

Q?OPB?OPD,

\?OPA?POA,

\AP=OA=10,

AC=6,

\CP=V102-62=8-

\BP=BC-CP=10-8=2,故④正确;

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的

面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.

10.B

解析：B

【分析】

由平行四边形的性质和角平分线的定义得出得出AB=8E=AE,得出②正确；

由AABE是等边三角形得出NA8E=/EAD=60。，由5As证明△ABCg/XEAD,得出①正确；由

SAA£C=SAO£C,5A48£=5AC£F得出⑤正确；③和④不正确.

【详解】

解：...四边形A8CD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZEAD=ZAEB,

又■平分NBA。，

：.ZBAE=ZDAE,

：.ZBAE=ZBEA,

：.AB=BE,

"：AB=AE,

...△ABE是等边三角形；②正确；

ZABE=ZEAD^60°,

在和小。中，

AB=AE

<NABE=ZEAD,

BC=AD

：./\ABC^/\EAD（S4S）；①正确；

•.•△/<。与2^8（7等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

•'•S^FCD=S^ABC9

又•:△AEC与△£＞或同底等高,

S/\4EC=SAD£C,

S/^BE=S^CEF；⑤正确.

若A。与BF相等，则BF=BC,

题中未限定这一条件，

...③不一定正确；

若S^BEF-S^ACD;贝!JSABEF=S.ABC.

则AB=BF,

:.BF=BE,题中未限定这一条件，

...④不一定正确；

正确的有①②⑤.

故选：B.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三

角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析.

二、填空题

11.272

【解析】

分析：过。点作OELCA于E,OFLBC于F,连接C。，如图，易得四边形OECF为矩形，

由ZiAOP为等腰直角三角形得至ljOA=OP,NAOP=90°,则可证明AOAE丝△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分NACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=g(AC+CP),然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过。点作OE_LCA于E,OFJ_BC于F,连接C。，如图，

'••△AOP为等腰直角三角形,

AOA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形,

ZEOF=90",CE=CF,

/.ZAOE=ZPOF,

.•.△OAE^AOPF,

，AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径为一条线段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

CE=—(AC+CP),

2

/y

.\0C=J2CE=—(AC+CP),

2

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1),

22

当AC=2,CP=CB=5时，0C=—x(2+5)=£1,

22

...当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长=述-£1=20.

22

故答案为2后.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

12.18

【分析】

由题意可知AD、EF是定值，要使四边形ADFE周长的最小，AE+DF的和应是最小的，运

用"将军饮马"模型作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,此时AE+DF的和即为

EiFi,再求四边形A0EE周长的最小值.

【详解】

在RtZ\COD中，0C=3,0D=4,

CD-7OC2+OD2=5-

A8CO是菱形，

.".AD=CD=5,

•.•尸坐标为(8,6),点E在轴上，

；.EF=8,

图1

作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,

则Ei(0,2),Fi(3,6),

则EiFi即为所求线段和的最小值，

在RtAAEiFi中，E1F1=JEEJ+E甲=J(6-2)2+(8-5)2=5，

四边形ADEE■周长的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本题考查菱形的性质、"将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大.

13.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出⑴正确；

由ASA证明4AEF丝△DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜边上的中线性质得

出CF='EM=EF,由等腰三角形的性质得出NFEC=NECF,得出⑵正确；

2

证出SAEFC=SACFM,由MC>BE,得出SABECV2sAEFC,得出⑶错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出⑷正确；即可得出结论.

【详解】

⑴；F是AD的中点,

；.AF=FD,

•.,在。ABCD中，AD=2AB,

.♦.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

.".ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

ZDCF=ZBCF,

I

AZDCF=—ZBCD,

2

AZDCF+-ZD=90°,故⑴正确；

2

(2)延长EF,交CD延长线于M,如图所示：

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

ZA=ZMDF,

为AD中点，

；.AF=FD,

在4AEF和△DMF中，

NA=NFDM

<AF=DF,

ZAFE=NDFM

.♦.△AEF名△DMF(ASA),

；.EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

r.CF=-EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故⑵正确；

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM,

VMOBE,

SABEC<2S&EFC,故⑶错误；

⑷：NB=80。，

/BCE=90°-80°=10°,

VAB/7CD,

AZBCD=180<,-80°=100°,

1

：.ZBCF=-ZBCD=50°,

2

，/FEC=NECF=50°-10°=40°,

/.ZAEF=90°-40o=50",故⑷正确.

故答案为：⑴⑵⑷.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性

质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明

△AEF丝△DMF是解题关键.

14.①②④⑤

【分析】

根据/B=90。，AB=BE,AABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得AABEWAAHD,并且

△ABE和ZiAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确;

利用AAS证明ADHE三ADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDMHF,所以③错误；

根据AABE是等腰直角三角形，川J_JE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,得IUAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

「R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

ZBAE=ZBEA=45",

又二将AABE绕点A逆时针旋转45°,得到MHD,

.".△ABE^AAHD,并且ZkABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45",AE=AD,/AHD=90°,

.\ZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

/.AD//BC,

，NADE=NDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

ZDCE=ZDHE=90°

二由三角形的内角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

，NADC=90。，

，/HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=-x45°=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=ZAHB=(180°-ZBAE)=—x(180°-45°)=67.5,>,

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，NAED=y(180°-ZEAD)=；x(180°-45°)=67.5°,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

.,.OE=OH,

，OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<NHDE=NCDE,

DE=DE

.".△DHE=ADCE(AAS),

，DH=DC,NHDE=NCDE」x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.".ZDFH=180°-ZHDF-ZDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

...△DHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CDxHF,所以③不正确；

如图，过H作HUBC于J,并延长HJ交AD于点I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中点，H是BF的中点,

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

；.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中点，

:四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

：.J是BC的中点，

，H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

15.①②③④

【分析】

根据正方形的性质和SAS可证明aASG丝△AEC,然后根据全等三角形的性质即可判断①；

设8G、CE相交于点N,AC、8G相交于点K,如图1,根据全等三角形对应角相等可得

NACE=NAGB,然后根据三角形的内角和定理可得/CNG=/CAG=90。，于是可判断②；

过点E作EPA.HA的延长线于P,过点G作GQLAM于Q,如图2,根据余角的性质即可判

断④；利用AAS即可证明岭△)「，可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP

=GQ,再利用AAS可证明丝△GQM,可得EM=GM,从而可判断③，于是可得答

案.

【详解】

解：SABDEACFG41，AB=AE,AC=AG,ZBAE^ZCAG=90°,

：.NBAE+NBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=NBAG,

A/\ABG^/\AEC(SAS),

：.BG=CE,故①正确；

设BG、CE相交于点N,AC、8G相交于点K,如图1,

图1

ZVI8Gg"EC,

ZACE=ZAGB,

"?NAKG=NNKC,

：.ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG±CE,故②正确；

过点E作EPLHA的延长线于P,过点G作GQJ_A/W于Q,如图2,

图2

\'AH1BC,

：.ZABH+ZBAH=90°,

'：ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=90°,

:.NABH=NEAP,即NEAM=NA8C,故④正确；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

：./\ABH^/\EAP(A4S),

：.EP^AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

•.•在和△GQM中，

"NP=NMQG=90。

<NEMP=NGMQ,

EP=GQ

.♦.△EPM丝△GQM(AAS),

：.EM=GM,

是AAEG的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线

构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

16.15.5

【分析】

先根据折叠的性质可得AE=0E,NE4£>=NEZM,再根据垂直的定义、直角三角形的性

质可得NB=NBDE，又根据等腰三角形的性质可得3E=DE,从而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出OF=AF=CF=5,然后根据三角形中位线定理可得

EF=-BC=4.5,最后根据三角形的周长公式即可得.

2

【详解】

由折叠的性质得：AE=DE,ZEAD=ZEDA

AD是BC边上的高，即

Z5+ZEAD=90°,ZBDE+NEDA=90°

.-.ZB=ZBDE

:.BE=DE

：.DE=AE=BEAB=-x12-6

22

同理可得：=AE=C/=』AC=LX10=5

22

又AE=BE,AF=CF

二点E是AB的中点，点F是AC的中点

:.EF是ABC的中位线

,-.EF=-BC=-x9=4.5

22

则。所的周长为。E+O尸+防=6+5+4.5=15.5

故答案为：15.5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知

识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出8E