人教A版高中数学选择性必修第一册重点训练：圆切线与圆最值问题分类

7.圆切线与圆最值归类

i.圆最值1：圆上动点与圆心..............................................1

2.圆最值2：直线动点与圆................................................4

3.圆最值3：阿波罗尼斯圆................................................6

4.圆最值4将军饮马型..................................................8

5.圆最值5：定角范围...................................................11

6.圆最值6：最短总巨离...................................................14

7.切线1:入射与反射光线.................................................16

8.切线2：切点弦方程...................................................18

9.切线3：切点弦过定点.................................................20

10.切线4：切线长最值范围..............................................22

11.切线5：切线三角形与四边形面积最值.................................24

12.切线6：切点弦最值..................................................26

13.切线7：向量范围....................................................29

14.切线转化综合........................................................32

1.圆最值1：圆上动点与圆心

【典例分析】

已知圆G：(x—iy+(y+l)2=l,圆C2：(x-4y+(y-5『=9,点M、N分别是圆G、圆G上

的动点，点P为x轴上的动点，则|尸川-|尸陷的最大值是()

A.36+4B.9C.7D.375+2

【答案】B

【分析】分析可知(|PN|-|PM|)a=|pq-|PG|+4,设点G(4,5)关于X轴的对称点为

C；(4,-5),可得出照|=卜司，求出,。；卜因|的最大值，即可得解.

【详解】圆0：a-1)2+&+1)2=1的圆心为《1,—1),半径为1,圆G：(x—4>+(尸5)2=9的

圆心为G（4,5），半径为3.（|网-俨陷）皿*=|附|四一处叫,11ta，又1PMmax=|PG|+3，

:皿=阳卜1，

.•.（|9|一|加|）3=（俨6|+3）-（归。-1）=归0|-归4+4.点G（4,5）关于x轴的对称点为

<（4,-5）,

，22

|PC2|-|PC,|=|pC2|-|PCl|<|c,C2j=7（4-l）+（-5+l）=5,所以，QPNHPMIL=5+4=9,

【变式训练】

1.点M（x,y）在曲线。:/-4》+>2-21=0上运动，z=x2+/+12x-12y-150-a,且r的最大

值为b,若“，bwR；则---7+7的最小值为

a+]b

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由题意曲线C为圆，r=（x+6）2+（y-6）2-222-a,旦（x+6>+"-6）?表示曲线C上

的点M到点N（-6,6）的距离的平方，结合圆的特征可得点用（6,-3），由此可得

富M=（6+6）2+（—3-6）2-222—。=6,于是。+。=3,故（。+1）+6=4,以此为基础并由基本

不等式可得所求的最小值.

【详解】曲线C:x2-4x+V-21=0可化为（x-2『+y2=25,表示圆心为A（2,0）,半径为5的

2222

圆.z=x+y+12x-12^-150-a=（x+6）+（y-6）-222-«,

（x+6>+（y-6）2可以看作点”到点N（-6,6）的距离的平方，圆C上一点〃到N的距离的最

大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点，所以直线⑷V的方程为

）'=[（"-2），

，3

丁二一二（工一2）fx=6fx9=-2fx=6

由4，解得'a或，（舍去），，当。时，，取得最大值，且

2

（A-2）+>^25卜=一3U=31"-3

'max=(6+6)~+(—3—6)~—222—a=b,ci+b—31**•(a+1)+Z?=4,

当且仅当一也=见，且a+人=3,即。=1,。=2时等号成立.故选A.

a+1b

2.已知点A(-2,0),8(2,0),C(4,3),动点P满足P4_LPB，则|「。|的取值范围为()

A.[2,5]B.[2,8]C.[3,7]D.[4,6]

【答案】C

【分析】由题设分析知产的轨迹为/+丁=4(尸不与A,B重合)，要求|PC|的取值范围，只需

求出C(4,3)到圆f+y2=4匕点的距离范围即可.

【详解】由题设，户在以|AB|为直径的圆上，令P(x,y),则x?+y2=4(户不与4B重合)，

所以归。的取值范围，即为C(4,3)到圆/+丫2=4上点的距离范围，

又圆心(0,0)到C的距离d=J(4-0『+(3-(J)?=5，圆的半径为2,

所以|PC|的取值范围为[d-r,d+r],即[3,7].

3.已知点A(0,2),8(1,1),且点尸在圆C:(x-2f+y2=4上，C为圆心，则下列说法错误的是

()

A.|「川+|「川的最小值为0B.当々4B最大时，△/1/有的面积为2

C.倒卜伊。的最大值为2&D.|酬-|尸邳的最大值为友

【答案】B

【分析】根据题意，可知当P为线段AB与圆C的交点时，可求出|R1|+|P8|取得最小值，可

判断A选项；当4,与圆C相切时，NF4B最大，此时P与O重合，可求出AVB的面积，即

可判断B选项：由于|PC|=r=2,当|R4|最大时，|玄|一「。也最大，可知当A，C,尸三点

共线，艮。在人，尸之间时，求出|R4|-|PC|的最大值，即可判断C选项；当尸为射线BC与

圆C的交点时，求得|削-|P同取得最大值|4叫=0,即可判断D选项.

【详解】解：如图，当尸为线段AB与圆C的交点时，即|R4|+|PB|=|AB|=&时，

此时|网+「网取得最小值为a,故A正确：

由题可知点B在圆C内，当AP与圆C相切时，ZPAB极大,此时尸与O重合，

此时打,=3、2x1=1，故B错误；

因为点尸在圆C:(x-2)2+V=4上，C为圆心，则归q=r=2,

所以当|PA|最大时，|PA|-|PC|也最大，

当A,C,P三点共线，且C在A,尸之间时，其最大值为|AC|=2忘，故C正确;

当户为射线BC与圆C的交点时，||削-|尸网取得最大值|AB|=VL故D正确.

2.圆最值2：直线动点与圆

【典例分析】

（2022・江苏•高邮市第一中学高二期末）已知圆C：f+y2=2,点A（W,〃L3）,则点A到圆C

上点的最小距离为（）

A.1B.2C.—D.逑

22

【答案】C

【分析】写出圆c的圆心和半径，求出距离的最小值，

再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.

【详解】由圆C：X2+/=2,得圆C（0,0）,半径r为血，

所以|AC|=yjm2+（w-3）'=42m。-6,"+9=不2卜”-尚）＞

所以点A到圆C上点的最小距离为逑-0=也.故选：C.

22

【变式训练】

1.（2022・广东深圳•高二阶段练习）已知点尸是圆例：f+y2-8x-6y+21=°上的动点，直线

/办+3丫-6=0与、轴、》轴分别交于4,8两点，当最小时，帜A卜（）

A.娓B.2&C.V10D.713

【答案】A

【分析】求出圆心、半径，根据直线与圆的位置可知，当NR4B最小时，R4与圆M相切,

最后用勾股定理求|刻即可

【详解】圆时：一+/一8尸6舛21=0化成标准形式为(》一4)2+()'-3)2=4,故圆心为M(4,3),

半径为2,直线与坐标轴交于点4(3,0),点8(0,2),如下图所示：

则当N/V3最小时，R4与圆”相切，连接可知

PM1PA,\AM\=^(3-4)2+(0-3)2=VlO,|A7P|=2,

由勾股定理可得|AP|=J|AM『一|加〃『=卡,故选：A

2.若直线/：『)42—20与圆C：x2+y2_4x_2y_4=0交于A,8两点，则当A8C周长最

小时，k=()

A.!B.--C.1D.-1

22

【答案】C

【分析】由直线方程可得直线/恒过定点。。,2),由圆的几何性质可得当时，,ABC周

长最小，由此可求％的值.

【详解】直线/：心一共2—2=0的方程可化为y-2=A(x-l)。所以直线/恒过定点。(1,2),

gl^l2+22-4xl-2x4-4=-ll<0«所以点。在圆内,

由圆的性质可得当CO_L/时，|A3|最小，ABC周长最小，

又C(2,l),。(1,2)所以％=T,此时％=1.故选:C.

3.(2022・安徽•高二开学考试)已知直线/：/nr+y-3»i-2=0与圆M:(x-5>+(y-4)2=25交

于A,B两点，则当弦A8最短时，圆M与圆N:(x+2⑼?+y2=9的位置关系是()

A.内切B.外离C.外切D.相交

【答案】B

【分析】由直线/：用+y-3m-2=0过定点P(3,2)且定点在圆“内，当弦AB最短时直线/垂

直尸M，根据斜率乘积为-1求出机，进而求出圆N的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系

确定答案.

【详解】易知直线/：如c+y-3加-2=0即他(x—3)+y—2=0过定点P(3,2),因为

(3-5)2+(2-4)2<25,故尸(3,2)在圆M:(x-5)2+(y-4)2=25内.故弦AB最短时直线/垂直

PM，又y=3=1，所以1-（T〃）=-1,解得机=1,

5—3

此时圆N的方程是（x+2）2+），2=9.两圆圆心之间的距离MN=J（5+2）2+（4-0）2=而，半

径分别为5,3

乂而〉病=5+3,所以这两圆外掰.故选：B.

3.圆最值3：阿波罗尼斯圆

【典例分析】

已知点A（T,0）,B（-LO）,C（43）,动点P,Q满足黑=粤=2,则|CP+C@的取值范围

|尸\QLS\1

（）

A.[LI6]B.[6,14]C.[4,16]D.[瓦,3番]

【答案】B

【分析】根据题意，求出点尸和。的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.

【详解】设P（x,y），则|PA|=J（x+4y+y2,网=&+炉+〉2,

PA*/（x+4）~+y~

®—=2,所以，I=2,即f+y2=4,因此点p在以原点o为圆心，2为半径

PBJ（x+l），y2

的圆上，

同理可得点。也在以原点O为圆心，2为半径的圆上.

乂因CP+CQ=2CO+OP+O。，所以当P和Q重合，且C、O、P三点共线时，|CP+C可取

得最值，

因此|CP+CQL=2（|oc|+2）=14,|CP+C<2|min=2（|OC|-2）=6.

【变式训练】

1.（2022・全国•高二课时练习）已知边长为2的等边三角形ABC,。是平面ABC内一点，且

满足£>8:"=2:1,则三角形曲面积的最小值是（）

A.g51）B.*百+1）C.竽D.乎

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，设Q（x,y）,写出的坐标，利用£>B:£Q=2:1列式得关于x,y

的等式，可得点D的轨迹为以为圆心，以|■为半径的圆，写出直线AB的方程，"算|A3|

和点。距离直线AB的最小距离d-r,代入三角形面积公式计算.

【详解】以8c的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（0,6）,B（T,O）,C（1,O）,

设因为£）B:Z）C=2:1,所以（x+l『+y?=4（X-1Y+4y?,得卜-胃+/=为，

所以点。的轨迹为以［I，。］为圆心，以々为半径的圆，当点。距离直线A8距离最大时，

△ABO面积最大，已知直线AB的方程为：Bx-y+石=0,|4?|=2,点。距离直线A8的

5小।向

最小距离为：34464,所以△ABO面积的最小值为

d-r=-------=-----

2333

»=：>2x］竽用'GM.

2.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，

他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动

点〃与两个定点A,8的距离之比为2（A>0,且2#1）,那么点”的轨迹就是阿波罗尼

斯圆.若平面内两定点A,6间的距离为2,动点P满足肾=百，则|尸A「+|P3『的最大值为

（）

A.16+8N/3B.8+4&C.7+46D.3+73

【答案】A

【分析】设A（-1,O）,B（1,O）,P（%y），由扃=6,可得点P的轨迹为以（2,0）为圆心，半

径为百的圆，又附『+|冏2=2（/+9+1）,其中f+y可看作圆（x_2『+y2=3上的点

（x,y）到原点（0,0）的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.

【详解】解：由题意,设A（-l,0）,8（l,0）,P（x,y）,

=6,即(x-2)~+y2=3,

所以点尸的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为6的圆，

^]^\PAf+\PBf=(x+l)2+/+(x-l)2+/=2(x2+y2+1),其中炉+产可看作圆

(x-2)2+丁=3上的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方，

所以仁+力皿=(2+6丫=7+4百，

22

所以［2(/+/+1)］皿*=16+86，gp|PA|+|PB|的最大值为16+86,

3.已知两定点A(-l,0),8(l,0),如果平面内动点C满足条件|C4|=W|CB|,则的最大值

是_____

【答案】抬

【解析】设动点C坐标，再由几何条件|C4|=6|C8|,可得。轨迹方程，进一步可得所求解.

22

【详解】设C(x,y),由|CA|=G|CB|,可得5/(x+l)+(y-O)=6小一寸+(y时,

整理得：/+V-4x+1=0,即(x-2『+丁=3所以SMBC=gx|AB|x矶(矶表示，ABC中AB

边上的高)，

显然(感》)2=日所以50亦最大值为由.故答案为:G.

4.圆最值:4：将军饮马型

【典例分析】

已知圆O:d+y2=4上的动点M和定点4-1,0),8(2,2)，则21MAi+|朋8|的最小值为

A.2瓜B.2手C.4X/2D.2M

【答案】D

【分析】取点K(-4,0),连接。M,MK,由AMOK~AAOM,可得萼=等=2,推

MAOA

出MK=2M4,在&W8K中，MB+MKNBK，推出21M4|+可q=的最小值为怛K|

的长.

如图，取点K(-4,0),连接

/MOK=ZAOM,:.AMOK〜J\AOM,------=------=2,-MK=2MA,

MAOX

;.\M^+2\M^=\M^+\MK\,因为\MB\+\MK\耳BK|,当且仅当三点共线时等号成立,

:.\MB\+2\M^=\MB\+\MK\的最小值为忸毛的长，网2,2),仪工0),

/.\BK\=,J(-4-2)2+(O-2)2=2710.故选D.

【变式训练】

1.已知圆C是以点”(2'2码和点N(6「2百)为直径的圆，点尸为圆。上的动点，若点

4(2,0),点5(1,1),则2附一网的最大值为()

A.后B.4+72C.8+5应D.应

【答案】A

【分析】由题设可知圆C：(x-4)2+/=16,在坐标系中找到。(-4,0),应用三角线相似将21PH

转化到IP。I，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.

22

【详解】由题设，知：C(4,0)H|MN|=7(-2^3-2^3)+(6-2)=8，即圆C的半径为4,

圆C：(x-4)2+y2=[6,

—=—=即AAPC2PCD,故您；.2|胸-|PB|=|P£)|-|P8|,在△P8Z)中

CPDC2PD21111

.•.要使IPDHPBI最大,28，。共线且最大值为|8D|的长度.

，||=J(1++1=而.故选:A

2.(2022.湖南省临澧县第一中学高二开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥

曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯

圆是他的研究成果之一，指的是：己知动点M与两定点A,8的距离之比为2">0,

那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：/十

产=1上的动点M和定点4(-g,0),8(1,1),则21MAi+|MB|的最小值为()

A."B.近

C.而D.而

【答案】C

【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(—2,0),

可以根据三角形的相似性得到^^=2,进而得到2|历4|+|MB|=|M8|+|MK，最后

|MAI\OA\

根据三点共线求出答案.

【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(一1，0)或(1,0).

若点M的坐标为(一1,0),则21MAi+=2x)+J(1+1y+.=1+石;

若点M的坐标为(1,0),则21MAi+|M8|=2x.+=4.

②当点M不在x轴上时，取点K(-2,0),如图,

连接。M,MK,因为|OM=1，QA|=J,|OK|=2,所以需7=两第=2.因为/MOK=

乙\||UM|

ZAOM,

所以AMOKs△AO/W,则二^=塔^=2,所以|M/q=2|MA|,则2\MA\+\MB\=\MB\+\MK\.

IMA\\OA|

易知IMBI+IM用之|5K，所以+的最小值为18Kl.因为B(l,1),K(一2,0),所以⑵MA|

+|A/B|)min

==y/(-2-l)2+(O-l)2=Vio.又加＜1+石＜4,所以21MAi+|M8|的最小值为布.

3.已知动点尸(利〃)在圆O:x"2=i上，若点f),点3(1,1),则2附+照的最小值

为.

【答案】M

【解析】2|网+|尸@中两系数不相同,需要转化为,可作出图形,取点Q(-2,0),利用相似

三角形性质得2|网=|尸。，这样有2|网+仍叫=P。+归5区忸(2|,结合图形得出结论.

【详解】当户在x轴上时，有片(TO),g(l,O),2山山+山卸=24+&2+12=1+石,

2|^A|+|/>B|=2x|+l=4,当尸不在x轴上时，在x轴上取点Q(-2,0),连接PQ,OP,AP,

OA1OP|PA||。4|1

则万万=5=石。'又NAOP=/POQ,所A以△OQP、所以场=横=5'即

|P9=2|网,

所以2|PA|+\PB\=\PQ\+\PB\<\BQ\=A/32+12=M,三点Q,P，B共线时等号成立.

综上2|刻+|尸8|的最小值为故答案为：Vio.

5.圆最值5：定角范围

【典例分析】

已知圆0：*2+丫2=2,48为圆。上两个动点，且IA8|=2,M为弦AB的中点，C(石,4-1),

力(百,〃+3),当A,B在圆O上运动时，始终有NCMO为锐角，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-3)l(1,+co)B.(-00,-2)!1(0,+oo)

C.(-3,1)D.(-2,0)

【答案】A

【分析】先确定点"是在以。为圆心,1为半径的圆匕根据当48在圆O上运动时，始

终有NCM£>为锐角，可知点”应在以C£>的中点N为圆心，2为半径的圆外，由此可列出关

于参数。的不等式,即可求得答案.【详解】连接OM,则

=T=1,所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，设CD的中点为N,则

N(区a+1),fi|CD|=4，因为当A,B在圆O上运动时，始终有NCAm为锐角，

所以以O为圆心，1为半径的圆与以N为圆心，2为半径的圆相离，

故4+(.+1)2>]+2,解得。<_3或a>1,即ae(-8,-3)(1,-KO),故选:A.

【变式训练】

1.设点若在圆°：/+货=1上存在点%,使得/0削=45。，则方的取值范围是()

A.B.[),+<»)C.[-忘，&]D.[-1,1]

【答案】D

【分析】以。加为一边作正方形OMPQ,然后把问题转化为正方形的中心在圆上或圆内，从

而求出％的取值范围.

【详解】以QM为一边作正方形。“尸。，若对角线与圆有交点，则满足条件的N存在,

此时正方形的中心在圆上或圆内，即所以所以*+41,所以

2.(2023•全国•高二专题练习)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=l和两点A(-m,0),B(〃?,0),

(/«>0).若圆C上存在点尸，使得NAP8=90。，则〃，的最小值为()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】由NAP3=90。，知动点尸的轨迹是以AB为直件的圆O,乂点尸在圆C上，故点尸是

圆。与圆C的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.山两圆的位置关系可以得到代数

关系，从而求出〃?的取值范围，进而找到，”的最小值.【详解】

.NAPg=90。，，力P的轨迹是以AB为直径的圆O,又点P在圆Cl：,故点P是圆O引回c

的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即帆-1区序不4机+1,解得：

4<zn<6.，机的最小值为4.故选：D.

3.在平面直角坐标系xQy中，A为直线/：y=2x上在第一象限内的点，B（5,0）,以AB为直

径的圆C与直线/交于另一点。.若NO84245。，则点A的横坐标的取值范围为

【答案】［3,物）.

【解析】由直径所对的圆周角为^•可求得直线8。的方程，进而解得。点的坐标，设舟A点

的坐标，再利用向量的数量积即可求出点A的横坐标的取值范围.

【详解】解：如图所示：

兀

4ADB=-

.点。在以A3为直径的圆上，2,即5£>J_AO,

-kAD-kRD=-\f又.A,。均在直线y=2x，.•.心〃=2,.・.原"二一；，又8（5,0），

15

——X+—

22

y=2x

x=\

联立：15，解得:,/.D(l,2)；设A(a,2tz)(Q>0),则BD=(-4,2),

V=——x+—y=2

22

BA=(a-5,2a),

人BDBA10Jo

..cos/06A=|「=又NOMN45,-1<cosZDBA<—,

忖砌J25矿-50a+1252

即-14//°$,解得：a>3^a<-\(舍去)，

J25a2—50“+1252

故A点的横坐标取值范围为：［3,+8).故答案为：［3,+8).

6.圆最值6：最短距离

【典例分析】

1Q

已知点也…八R,点E是圆一+丁丁上的动点，点歹是圆(一)2+(尹1)七上的动

点，则归口-归目的最大值为

5

A.2B.—C.3D.4

2

【答案】D

【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆。关于直线对称的圆。|,把|PF|-|P£|转化为

|PF|-|pr|,若卢尸卜仍研最大,必须|PF|最大，|尸团最小.【详解】如图:

依题意得点:P(f,f-l)JeR在直线y=x-l|二，点E)<f点线y=x-l对称的点E,

点£在圆V+产=!关于直线卜=》_1对称的圆o：(x+l)2+(y_l)2=!上，

则|「£|=|尸同，设圆(x-3)2+(>,+1)2='的圆心为。2,因为闫「。卜旧《|,

\PF\<\PO2\+\FO2\,

所以1%-归耳=|叩_归©<(|PO/+但到)_(归。卜但21)=忸。2|-归0+2引0«|+2=4,

当P,£,尸,五点共线，£在线段。h,。2在线段尸产上时"=”成立.因此，|「耳-|「耳的

最大值为4.

【变式训练】

1.一束光线，从点4-2,2)出发，经x轴反射到圆C：(x-3)2+(y-3)?=l上的最短路径的长

度是()

A.5a-1B.5a+1C.372+1D.3忘-1

【答案】A

【分析】求出点A关于x轴对称点A,再求点A与圆C上的点距离最小值即可.

【详解】依题意，圆C的圆心c（3,3）,半径r=l,

于是得点A与圆C上的点距离最小值为A'B=A'C-r=7（-2-3）2+（-2-3）2-1=5应-1，

在x轴上任取点尸，连AP,A'P,PC,尸C交圆C于点8'，而AO=AO,AP=AP,

AO+OB=A'O+OB=A'B=A!C-r<A'P+PC-r=AP+PB',当且仅当点P与。重合时取“=",

所以最短路径的长度是50-1.故选：A

2.已知点P在直线y=x-2上运动，点E是圆f+y2=］上的动点，点?是圆

（x-6>+（y+2）2=9上的动点,则IP尸HP©的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】作出炉+9=1关于直线y=x-2的对称圆，把归国转化到与|"|直线y=x-2同侧

的卢同，数形结合找到|P用-|PE|取最大值的位置，求出|P*-|PE|的最大值.

【详解】如图所示，圆（x-6）?+（y+2）2=9的圆心为“（6,-2）,

半径为3,圆f+y=l关于直线丫=》-2的对称圆为圆丛其中设圆心3坐标为（利〃），则

-=-1

m

n_mhn=2

-22,解得：1〃=-2,故圆B的圆心为（2,-2）,半径为］,由于此时圆心4与圆心8

的距离为4,等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时"点的对称点为鸟，且归月|=|「同，

所以附一附=附一啕，在P点运动过程中，当尸，B,A,片，尸五点共线时，且片在

圆8左侧，点尸在圆A右侧时，仍尸卜忸叫最大，最大值为4尸=4B+BA+AF=l+4+3=8

7.切线1:入射与反射光线

【典例分析】

自点A(-2,l)发出的光线/经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆

用:犬+9_41-6)，+9=0相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为()

48

A.-B.2C.-D.4

33

【答案】C

【分析】求出圆心与半径，点A关于x轴的对称点的坐标，设出直线方程，利用圆心到直线

的距离等于半径，即可求得结论.

2

［详解】圆M:_?+V_©-6y+9=0可化为(x-+(y-3)=4,圆心为M(2,3),半径为r=2.

点A(-2,l)关于x轴对称的点为^(-2,-1)，所以设反射光线所在直线的方程为y+1=A(x+2),

即"-y+2"l=0.由反射光线正好与圆M相切，得.7：211=2,

\lk2+1

即女2-8%+3=0,解得k1上立居=生旦,于是勺+&,='也+生电=号.故选：C.

,33333

【变式训练】

1.已知圆C：(x+2)，(y-3)2=2,从点P(l,3)发出的光线，经直线y=x+l反射后，光线恰

好平分圆C的周长，则入射光线所在直线的斜率为()

A.—2B.—C.-4D.—

24

【答案】C

【解析】根据光路可逆，易知圆心C(-2,3)关于直线y=x+l的对称点在入射光线上，由

此可求得结果.

【详解】圆C：(x+2Y+(y-3)2=2,圆心为C(-2,3),由已知，反射光线经过C(-2,3),

二一1

故C点关于直线y=x+l的对称点M在入射光线上.设M(a,b),贝『露”2「解得

------=-------+1

22

\a=2

1=T，即M(2,—1),

且光.源P(l,3),所以入射光线的斜率氏=T9=-4,故选：C.

2.一条光线从点尸(-2,4)射出，经直线x-y+2=0反射后与圆工2+丫2+4》+3=0相切，则反

射光线所在直线的方程的斜率为()

A.土叵B.叵或姮C.土叵D.-晅或一叵

315315153

【答案】C

【分析】先求得尸关于直线x-y+2=0的对称点Q,由此设出反射光线所在直线的方程，利

用圆心到反射光线所在直线的距离等于半径列方程，由此求得反射光线所在直线的斜率.

【详解】设。(2,0),kPQ=^-=-\,直线x-y+2=O的斜率为1,所以出线P。和直线

-2-2

x-y+2=0垂直；PQ的中点坐标为即(0,2),(0,2)在直线X-y+2=0上，所

以点P(-2,4)关于直线x-y+2=0的对称点为Q(2,0),由题可知反射光线所在直线的斜率存

在，点Q在反射光线所在直线上.

设反射光线所在直线方程为>=依工-2),即依-y-2%=0.

•••圆的方程可化为。+2-+丁=1,圆心为(-2,0),半径为1,

；.一目1=1,解得A=土石，即忆=士詈.故选：C

3.(2023•全国•高二专题练习)过点A(-2,l)的直线经x轴反射后与圆C:(x-2y+(y-3)2=4相

切，则切线的斜率为()

A.UB."C,1D.好

3333

【答案】D

【分析】由题意可知切线/的斜率存在，可设切线/的斜率为人,由点斜式得切线/

kx-y+2k-\=0,再根据直线与圆相切，圆心C到/的距离为d=r代入计算.

【详解】圆C:(x-2>+(y-3)2=4的圆心C(2,3),半径r=2

点A(-2,1)关于x轴对称的点为3(-2,-1),则过点8与圆C相切的直线即为所求.

由题意可知切线/的斜率存在，可设切线/的斜率为k贝ij/的方程为y+l=k(x+2)即

kx-y+2k-\=Q

解得7

圆心。到/的距离为d

8.切线2：切点弦方程

【典例分析】

过点(3,1)作圆(x-l『+y2=i的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为()

A.2x+y—3=0B.2x—y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

【答案】A

【解析】求出以(3』)、C(L0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦A3的方程.

【详解】圆(x-l)2+y2=l的圆心为C(l,()),半径为1,以(3,1)、C(l,0)为直径的圆的方程为

,1,5

(x-2)2+(y--)2=-,

因为过点(3,1)圆(x-1丫+丁=1的两条切线切点分别为A,B,所以，A8是两圆的公共弦，

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y-3=0,故选：A.

【变式训练】

1.过点M(2,3)作圆Y+y=4的两条切线，设切点分别为A、B,则直线AB的方程为()

A.x+2y-2=0B.2x+3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0

【答案】B

【分析】根据题意，可知圆一+)2=4的圆心为。(0,0),半径“2,由切线长公式求出AM的

长，进而可得以M为圆心，M4为半径为圆，则AB为两圆的公共弦所在的直线，联立两个

圆的方程，两方程作差后计算可得答案.

【详解】解：根据题意，可知圆V+y2=4的圆心为0(0,0),半径r=2,过点/(2,3)作圆

x2+r=4的两条切线,设切点分别为A、B，而=V22+32=拒，贝\MA\=-4=3,

则以“为圆心，M4为半径为圆为(》-2)~+(y-3)-=9,即圆x?+y?-4x-6y+4=0,

X2+y2=4

所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有＜

%2+y2-4x-6y+4=0

作差变形可得：4x+6y-8=0；即直线AB的方程为2x+3y-4=0.故选：B.

2.过直线x=2上任一点P作圆O：/+丁=2的两条切线，切点分别为A,B,若直线A8与

圆M：(x-f)2+(y-2)2=8恒有公共点，则r的取值范围是()

A.(-1,3)B.[-1,3]C.[0,3]D.(0,3)

【答案】B

【分析】先求出切线方程，然后求出直线48方程，根据直线和圆有公共点解出f的取值范围.

【详解】解：设A(XQJ,5伍,以)，「(2M),过直线x=2上任意一点尸作圆O：/+炉=2

的两条切线分别为4，%,则勺=-2，K=-—，结合x：+城=2,xJ+yJ=2,可得切线

M%

[2x.+my,=2

/|:x]x+y,y=2,切线右：&x+y2y=2,又.《鼠=尸，二<1_,'.从而直线AB的方

\2X2+fny2=2

程为2x+my=2,且过定点(1,0),

因为直线A8与圆M：(X7)2+(>-2)2=8恒有公共点，故有定点(1,0)在圆M上或是圆内，

故可得(lT)2+(0-2)*8,解得—则f的取值范围是[-L3].

3.过直线x+y=4上一动点向圆0:/+丁=4引两条切线，A、B为切点,则圆

C:(x+3)2+(y-3)2=l的动点尸到直线相距离的最大值为()

A.2逐+1B.6

C.8D.2娓+T

【答案】A

【分析】根据题意设点尸(%与在直线x+y=4上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求

出该圆的方程，联立圆。的方程得出直线的方程，进而可得直线4B恒过定点

将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出

结果.

【详解】由题意知，设点尸3,3在直线*+)，=4上，则a+A=4,

过点P作圆的两条切线，切点分别为A、8,则P4LQ4,PBLOB,

所以点A、B在以。尸为直径的圆上，且该圆的方程为：。-92+(y-夕=；(/+〃)，

又圆。的方程为f+y2=4,这两个圆的方程相减，得公共弦的方程为公+刀=4,

即以+公」4=0,因为“+b=4,所以b=4-a,所以a(x-y)+4y-4=0,

当x=y艮4y-4=0即x=y=l时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点N(L1),

所以点M到直线A8距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径，

又C(-3,3),2=1,所以|C7V卜2石，即点M到直线AB距离的最大值为26+1.故选：A

9.切线3：切点弦过定点

【典例分析】

已知