简单的三角恒等变换(2) 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.通过三角恒等变形将形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数.2.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．3.通过对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力．活动方案思考1►►►三角函数y＝sinx，y＝cosx的周期、最大值和最小值是多少？活动一辅助角公式的推导及理解【解析】

y＝sinx，y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.思考2►►►函数y＝asinx＋bcosx的变形与应用是怎样的？例1求下列函数的最小正周期、最大值和最小值：设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.活动二恒等变换与三角函数图象性质的综合三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.思考3►►►用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？活动三三角函数在实际问题中的应用【解析】

通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．思考4►►►建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？【解析】

化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．【解析】

在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，所以S＝2acosθ·asinθ＝a2sin2θ.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项：(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；②注意实际问题中变量的范围；③重视三角函数有界性的影响.活动四三角恒等变换与三角形的结合三角恒等变换与三角形的结合的解题模板：利用辅助角公式化简f(x)→研究f(x)的相关性质→结合条件求解三角形内角→利用正、余弦定理求解相关问题→反思解题过程注意规范化．检测反馈2451324513【答案】B245132.把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，则面积y表示为θ的表达式为(

)A.y＝50cos2θ B.y＝25sinθC.y＝25sin2θ D.y＝50sin2θ【解析】

由题意，得OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，所以在Rt△AOB中，OA＝5cosθ，AB＝5sinθ，所以矩形木料的面积y＝2OA×2AB＝4×25sinθcosθ＝100sinθcosθ＝50sin2θ.【答案】D2453