浙江省宁波市余姚市六校2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题

2023学年第一学期九年级第一次质量检测九年级数学试题卷卷面分值：120分考试时间120分钟一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）1.已知的半径为，若，则点与的位置关系是()A.点在外 B.点在上 C.点在内 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案.【详解】解：根据点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内．故选C．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.2.从数学观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（）A.成语“守株待兔”是随机事件 B.成语“水中捞月”是随机事件C.诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D.诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件【答案】A【解析】【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可．【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意；B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意；C：“清明时节雨纷纷”可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意；D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识．3.在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质，找出图中三角形的关键处（旋转中心）按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．4.如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，连接，若半圆O的半径为5，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了弧长公式，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再利用弧长公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∴，∴长为．故选：D．5.如图，排水管截面的直径为，水面宽，则水的最大深度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果．【详解】解：∵排水管截面的直径为，∴，∵，∴，∴，∴水的最大深度，故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长是解决此题的关键．6.四边形内接于，，则m，n满足条件（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得，所以所占的份数一定和所占的份数相等，则．【详解】解：∵圆内接四边形，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7.下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A.①② B.①②③ C.①③④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理、圆心角定理逐个判断即可．【详解】同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则命题④是假命题综上，是真命题的有①②故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理，熟记圆中的相关定理是解题关键．8.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，女女女男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男男男，女男，女男，女共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，故选：A．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．9.已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（）A. B.π﹣2 C.1+ D.1﹣【答案】B【解析】【分析】如图，标注顶点，连接AB，由图形的对称性可得阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO，从而可得答案.【详解】解：标注顶点，连接AB，由对称性可得：阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO=．故选：B．【点睛】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”是解本题的关键.10.如图，在扇形中，点A从点M出发沿着向点N运动，当点A到达点N时停止运动．以为边，顺时针方向作正方形，连结．在整个运动过程中，图中阴影部分的面积的大小变化情况是（）A.变大 B.变小 C.先变大再变小 D.不变【答案】D【解析】【分析】过点作于，于，分别记为，，可知正方形ABCD面积固定，求出△AON和△BCN的面积之和，得到，可得结果．【详解】解：如图，过点作于，于，分别记为，，由题可知，AO为半径，长度不变，则正方形ABCD面积固定，∵，，∴，∴，∴不变且为正方形面积的一半．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，解题的关键是能够表示出的面积．二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出个球是白球的概率为______．【答案】##【解析】【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意，随机从袋子中摸出个球是白球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．12.如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则______．【答案】140°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数即可．【详解】∵∠BOD=80°，∴∠A=40°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．故答案为140°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．13.边长为、、的三角形的外接圆半径等于______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，即可得外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，进而求解，掌握直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键．【详解】解：∵，∴三角形为直角三角形，∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，∴外接圆半径等于，故答案为：．14.如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用．连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接、、，∵六边形是正六边形，∴经过O点，且O是的中点，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，解得：或（舍去）．故答案为：．15.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，使斜边过点，则线段扫过的面积为______．【答案】．【解析】【分析】线段CA形成的是以C为圆心，以C为半径的扇形，求出其圆心角，按照扇形面积公式计算即可．【详解】∵，，，∴BC=4，CA==；根据旋转的性质，得，，∴△是等边三角形，∴，∴，∴，∴=8π．故答案为：8π．【点睛】本题考查了旋转问题，扇形面积问题，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，灵活运用公式是解题的关键．16.如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆于点Q，连接AQ，过点P作PSAQ交该半圆于点S，连接SB．当PSB是以PS为腰的等腰三角形时，为_________．【答案】【解析】【分析】分两种情况：①时，过点作于，则，根据等腰三角形的性质得平分，，根据平行线的性质得，，由圆周角、弧、弦的关系得，可得，则，证明，根据全等三角形的性质得，可得，即可求解；②时，过点作于，连接，根据等角的余角相等可得，则，即可求解．详解】解：①时，过点作于，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，在和中，，，，，，；②时，过点作于，连接，为直径，，，，，，，，．故答案为：或．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．三、解答题（本题有8小题．17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共66分）17.一个不透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?【答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率是；（2）取出了5个黑球．【解析】【分析】(1)根据概率公式用黄球的个数除以总球数即可；(2)设取出了x个黑球，利用概率公式得到即可．【详解】解：(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率=，(2)设取出了x个黑球．根据题意得，解得x=5，答:取出了5个黑球．【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.解决本题的关键是接着概率公式．18.如图，在中，，且点B的坐标为．（1）在图中画出绕点O逆时针旋转后的；（2）连接，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可；（2）根据勾股定理计算即可得出．【小问1详解】解：如图，为所作：【小问2详解】解：依题意得，在中，，∴．【点睛】本题考查了利用旋转的性质作图，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.19.如图，点在上，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．【详解】证明：，，，即，．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20.在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数摸到黑球的次数摸到黑球的频率（1）填空：______；当很大时，摸到黑球的频率将会趋近______（精确到0.1）；（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率；（1）根据频率概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】，当很大时，摸到黑球的频率将会趋近，故答案为：；【小问2详解】列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为21.如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．（1）求证；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．【小问1详解】证明：四边形内接于圆，，，；【小问2详解】解：，，．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．22.如图，为直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意和垂经定理得，根据得，即可得；（2）连接，根据直径的长可得，根据得，根据得是等边三角形，即可得．【小问1详解】证明：∵为的直径，，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．23.如图，是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧的中点，连接，过点C作的垂线交于点E．（1）求证：；（2），，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查圆与勾股定理的综合应用：（1）利用同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等易得，再结合已知条件，利用直角三角形性质及等角对等边即可证得结论；（2）连接交于点F，连接，结合已知条件，利用勾股定理求得的长度，然后利用垂径定理的推论可得垂直平分，进而求得，再设，则，在和利用勾股定理列得方程解得x的值，最后代入中计算即可求得答案．【小问1详解】∵D为弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】如图，连接交于点F，连